将上题中角一等于40度这个条件换成以下条件其它不变

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-03-08 11:08 标签： 换一个角度看问题作文
（2000o大连）（1）如图1，已知正方形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，求证：EF=GH；
（2）如图2，若将“正方形ABCD”改为“菱形ABCD”，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；
（3）如图3，若将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AD=mAB，其他条件不变，探索线段EF与线段GH的关系并加以证明；
附加题：根据前面的探究，你能否将本题推广到一般的平行四边形情况？若能，写出推广命题，画出图形，并证明，若不能，说明理由．
（1）可通过构建全等三角形来求解．分别过G、F作GN∥AD，FM∥CD，那么FM=GN，∠EMF=∠GNH=90°，而∠OGN和∠OFM都是等角的余角，因此三角形EFM和HGN全等，那么可通过全等三角形EFM和HGN来得出GH=EF．
（2）（3）（4）方法同（1）都是分别过G、F作AD、CD的垂线，根据∠GOF=∠A，来得出三角形HGN和EFM中的∠HGN和∠EFM相等，然后再得出全等或相似．
证明：（1）如图1，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，
则FM=GN=AD=BC，且GN⊥FM，设它们的垂足为Q，设EF、GN交于R
∵∠GOF=∠A=90°，
∴∠OGR=90-∠GRO=90°-∠QRF=∠OFM．
∵∠GNH=∠FME=90°，FM=GN，
∴△GNH≌△FME．
（2）如图2，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°
∴∠ADC+∠MQN=180°．
∴∠MQN=∠A=∠GOF．
∵∠ORG=∠QRF，
∴∠HGN=∠EFM．
∵∠A=∠C，AB=BC，
∴FM=ABosinA=BCosinC=GH．
∵∠FEM=∠GNH=90°，
∴△GNH≌△FME．
（3）如图3，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
∵∠GOF=∠A=90°，
∴∠OGR=90°-∠GRO=90°-∠QRF=∠OFM．
∵∠GNH=∠FME=90°，
∴△GNH∽△FME．
已知平行四边形ABCD，E是AD上一点，F是BC上一点，G是AB上一点，H是CD上一点，线段EF、GH交于点O，∠EOH=∠C，AD=mAB，则GH=mEF．
证明：如图，过点F作FM⊥AD于M，过点G作GN⊥CD于N，设EF、GN交于R、GN、MF交于Q，
在四边形MQND中，∠QMD=∠QND=90°，
∴∠BDC+∠MQN=180°．
∴∠MQN=∠A=∠GOF．
∵∠ORG=∠QRF，
∴∠HGN=∠EFM．
∵∠FEM=∠GNH=90°，
∴△GNH∽△FME．
即GH=mEF．如图，点E、D分别是正三角形ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE=CD，DB延长线交AE于点F．
（1）求图1中∠AFB度数，并证明CD2=BDoEF；
（2）图2中∠AFB的度数为90°，图3中∠AFB度数为120°，在图2、图3中，（1）中的等式成立；（填“成立”或“不成立”，不必证明）
（3）若将条件“正三角形、正四边形、正五边形”改为“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为（n-2）o180°n&．（可用含n的代数式表示，不必证明）
（1）利用△ABE≌△BCD与△FBE∽△CBD得出CDEF&=BDEB&，从而得出原式正确；
（2）利用上面证明方法，可分别得出角度；
（3）由正三角形、正四边形、正五边形时，：∠AFB的度数分别为60°，90°，108°，可得出“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为（n-2）o180°n&．
（1）证明：在正三角形ABC中，AB=BC，∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ABE=∠BCD=120°，
又∵BE=CD，
∴△ABE≌△BCD，
又∵∠FBE=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠FBE=∠D+∠CBD=∠ACB=60°
由∠FBE=∠CBD，∠E=∠D得：△FBE∽△CBD
∴&&，又BE=CD，
∴CD2=BDoEF；
（2）由以上不难得：△AEB≌△BDC进一步证出，
△BEF∽△BDC，得出，∠AFB的度数等于∠DCB=90°，
同理可得：∠AFB度数为180°，（1）中式子成立；
故填：90°，120°，成立；
（3）由正三角形、正四边形、正五边形时，：∠AFB的度数分别为60°，90°，108°，可得出“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为（n-2）o180°n&．
故填：（n-2）o180°n&．（2005o辽宁）如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D． （1）求证：∠DAC=∠BAC； （2）若把直线EF向上平行移动，如图②，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其它条件不变，这时与∠DAC相等的角是哪一个？为什么？ - 同桌100学习网
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（2005o辽宁）如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D． （1）求证：∠DAC=∠BAC； （2）若把直线EF向上平行移动，如图②，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其它条件不变，这时与∠DAC相等的角是哪一个？为什么？
（2005o辽宁）如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D．
（1）求证：∠DAC=∠BAC；
（2）若把直线EF向上平行移动，如图②，EF交⊙O于G、C两点，若题中的其它条件不变，这时与∠DAC相等的角是哪一个？为什么？
提问者：zkye
追问：因为是∠ACD是四边形的外角，外角等于内对角
：外角等于内对角？ 我没记得我学过这个，是初中的么。
补充：圆内接四边形有对角互补的性质.
每对对角所对的弧合起来都是一个整圆,所对圆心角的和为360°。根据每个圆周角等于同弧所对圆心角的一半可以知道,每组内对角的和为180°
外角与相邻内角也有互补的关系，所以等于内对角
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（1）连接OC
因为∠DAC+∠DCA=90
∠DCA+∠OCA=90
所以∠DAC=∠OCA
又因为∠OCA=∠OAC
所以∠DAC=∠BAC
因为是∠ACD是四边形的外角，外角等于内对角
所以∠ACD=∠CBA
又因为∠GBA+BAG=90
∠ACD+∠CAD=90
所以∠CAD=∠BAG
回答者：teacher013（1）如图1所示，△ABC是正三角形，E，D分别是以C为顶点的CB和AC延长线上的点，且BE=CD，连接DB并延长，交AE于F．求∠AFB的度数；（2）若将（1）中正△ABC改成正四边形ABCM，如图2&所示，E，D分别是以C为顶点的CB和MC延长线上的点，且BE=CD，连接DB并延长，交AE于F．求∠AFB的度数；（3）若将（2）中正△ABC改成正五边形ABCMN，如图3&所示，其它条件均不变，则∠AFB的度数为108°；（4）若将（1）中正△ABC改成正n边形ABCM…N，如图4所示，其它条件均不变，根据（1），（2），（3）中所展现的规律用含字母n的代数式表达∠AFB的度数，并说明理由．（5）若将（2）中正四边形ABCM改成正六边形ABCMKN，其它条件均不变，则∠AFB的度数为120°．
解：（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，∴∠ABE=∠BCD，∵，∴△ABE≌△BCD，∴∠E=∠D，∵∠EBF=∠CBD，∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠ACB=60°；（2）在正四边形ABCM中，∠ABC=∠ACB=90°，AB=BC∴∠ABE=∠BCD，∵，∴△ABE≌△BCD，∴∠E=∠D，∵∠EBF=∠CBD，∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=90°；（3）在正五边形ABCM中，∠ABC=∠ACB=108°，AB=BC，∴∠ABE=∠BCD，∵，∴△ABE≌△BCD，∴∠E=∠D，∵∠EBF=∠CBD，∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=108°．故答案为：108°；（4）结论：∠AFB=∠MCB=在正n边形ABCM…N中，∠ABC=∠MCB=，AB=BC，∴∠ABE=∠BCD，∵，∴△ABE≌△BCD，∴∠E=∠D，∵∠EBF=∠CBD，∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=；（5）由（1）同理即可得出：∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=120°．故答案为：120°．（1）可通过证三角形AEB和BDC全等得出∠E=∠D，再根据∠EBF=∠CBD，那么这两个三角形的外角∠AFB，∠ACB就应该相等．从而得出∠AFB的度数．（2）都和（1）相同，都要先证明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等来求解．（3）都和（1）相同，都要先证明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等来求解．（4）由正三角形、正四边形、正五边形时，∠AFB的度数分别为60°，90°，108°，可得出“正n边形”，其它条件不变，则∠AFB度数为=；（5）都和（1）相同，都要先证明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等来求解．

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