3.2.4利用向量知识求空间中的角
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向量方法在高中数学解题中的应用
作者：黄第& 日期： 19:09:26& 点击：
向量方法在高中数学解题中的应用
钦州二中数学组& 黄 第
摘要:向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它融数、形于一体, 是一个具有几何和代数双重身份的概念，通过运用向量对传统问题的分析, 可以帮助学生更好的建立代数与几何的联系, 使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介，因此,向量的引入大大拓宽了学生解题的思路和方法。 本文通过对相关文献的总结，以例题的形式阐述了向量在代数、解析几何和空间几何中的具体应用，着重体现向量在高中数学解题中的具体应用，在某种程度上揭示了应用向量解题的简便性和易掌握性，同时也使学习者能够更清晰地掌握向量的应用。
关键词:高中；数学解题；向量方法
向量的引入,有利于处理几何问题. 它可以把一些复杂的逻辑推理过程转化为简单的计算,有利于学生克服空间想象力的障碍和作图的困难，既直观又容易接受,降低了几何学习的难度,有利于丰富学生的思维结构,提高学生运用数学解决问题的能力。数学高考命题注重知识的整体性和综合性, 重视知识的交互渗透，在知识网络的交汇点上设计试题，由于向量具有代数与几何形式的双重身份,使它成为中学数学知识的一个交汇点, 成为联系多项知识的媒介。同时它为我们解题提供了一个有力的工具，对于许多问题,若能合理地引入向量,借助向量的运算法则和性质,常常使解题思路清晰, 过程简洁, 收到事半功倍的效果。利用向量分析传统问题,可以帮助学生更好的建立代数与几何的联系,也为中学生以后进一步学习高等数学奠定直观的基础。笔者在此就向量在代数、几何（平面与立体）中有关应用略作归类, 以供读者参考。
1. 向量在代数中的应用
1.1. 用向量法证明代数不等式
利用向量数量积公式：& （ 为向量 ， 的夹角），显然， ，等号在 ， 共线且同向时成立,注意观察所给不等式的结构,设法构造出合理的向量,利用数量积可以巧妙给出证明。&
例1.1 设 ，求证：
证明：（方法一） 两边同时加上 ，有
（方法二）利用向量证明& 设 的夹角为
注:方法一采取常规做法, 运算复杂, 特别是配凑上不易掌握,而方法二中,只要合理地构造出 ，利用数量积,不等式便可水到渠成,巧妙证明。类似的,通过向量可证明 。
1.2. 用向量法求有关三角问题
例1.2 求函数 &的最值。
解：原式可根据二倍角公式化为
假设& &&构造向量&
例1.3 已知 &，且 ，求 的值。
解：原等式可化为 ，
&& 整理得 ,所以 &&可得 ， .
1.3. 用向量法求解无理函数的最值
求无理函数最值问题，按常规方法求解具有一定的难度，若能用向量知识求解将会使求解变得容易。
例1.4 求函数 的最大值.
解：构造向量 ,
&&&&&&&&& 当且仅当 ，即 时， .
例1.5 求函数 &的最小值。
解： 构造向量& &&应用向量不等式的性质
&& 当且仅当 和 同向平行时，等号成立&& 所以 （此时 ）.注：此题要将向量积与向量的基本不等式 结合起来使用。
用向量解代数问题时，主要是将数量关系转化为向量关系，利用向量的性质来求解。在这个过程中，关键是由向量的性质设出恰当的向量，从而将题中的代数式转化为向量形式相乘、相加等，然后再结合向量知识来解决。
2. 平面向量在解析几何中的应用
2.1. 平面向量在公式方面的应用
2.2.1. 用向量法求点到直线的距离公式
例2.1 求点P0 到直线
解：设点 ， 是直线 上任意
两点，则有 &（1）
由向量数量积的知识可知: &
即 是与 垂直的向量
当 与 的夹角 为锐角时，
（如图2.1）；
当 与 的夹角 为钝角时（如图2.2）
又因为 所以
2.1.2. 用向量法求两直线平行、垂直的判定公式
例2.2& 已知两直线 不重合，且斜率分别为 ，求直线 与 互相垂直、互相平行的判定公式。
解：由向量的知识可知： 的方向向量为 ， 的方向向量为
再由平面向量的有关知识得& // &
2.2. 用向量法求动点轨迹方程
2.2.1. 用向量法求直线方程
例2.3& 求过点 ，斜率为 的直线方程。
解：因 为所求直线的一个方向向量，设 为直线上任一点，则向量 与 共线
由向量共线的充要条件可得： 为点斜式方程。特殊地，当点 为点 时，可得直线的斜截式方程为： .
例2.4& 求过两定点 ， 的直线方程
解：设 为所求直线上任一点,则
因为向量 与 共线，用向量共线的充要条件得:
为直线的两点式方程
特殊地，当两点为 和 时，可得直线的截距方程： &
2.2.2. 用向量法求圆的方程和圆的切线
例2.5 已知一个直径的两端点为 ， ，求圆的方程。
解: 设 为圆上异于 的两点 ，由周角定理有：
若 是与点 或点 重合的点，则 或 &故都有 成立
所以 &即 为所求圆的方程，对其进行整理配方，可得圆的标准方程： ，其中 为圆的圆心坐标， 为半径。
例2.6& 已知圆的方程为 ，求经过圆上一点 的切线方程。
解：设 为切线上异于 的任一点，那么
因为 ，所以
整理可得：
显然，当 与 重合时，其坐标也满足此方程
故所求切线方程为： .
2.3. 平面向量在具体解题中的应用
例2.7 如图2.3所示，求证： 的三条中线 、 、 相交于一点 .
证明：在平面内任取一点 设 ， ，
又设 为 上一点，且 ，则
因为 是 的中点，故 ，
同理 &， & 即&
故& 三点重合
特别地，当 为原点时，由此推出 的重心 的坐标公式：若三角形的三定点分别为 ， ， ，则重心 为&&& .
可见当运用平面几何知识证明三线或点问题较复杂叙述也繁时用向量共线充要条件来解决则显得十分方便、简洁、思路清晰
例2.8 如图2.4，已知椭圆: ,直线 ： ， 是 上的一点，射线 交椭圆于 ，又点 在 上，且满足 ，当点 在 上运动时，求 的轨迹方程。
解：设 ，那么 , （ 为正实数）
，即 &&&&&&&& &&&& 即 &&& （1）
又因点 分别在直线与椭圆上 ，
&& （2）& &&&（3）
将(2)(3)带入(1)得：
整理可得： （其中 不同时为0）。
注：利用平面向量的运算解决圆锥曲线相关问题，可使繁琐的运算得以简化。
3. 向量在空间立体几何中的应用
在新研制的高中《数学课程标准》（实验稿）中空间向量是《标准》中选修课程系列2 的重要内容之一。 从结构上看，它虽然不是必修内容，但是希望在理工(包括部分经济类) 等方面发展的学生，必须选修。 实际上，如果按照以往的文理分科，&空间向量&是理工科学生必修的知识，可见它是限制性的选修内容，虽然选学的主动权由学生个人掌握；从内容上看,空间向量是新知识，用它解决立体何问题,有着其自身的特点，&提供了新的视角&。
3.1. 求空间角
引理1：设向量 与 的夹角为 （通常用 表示），则有 ,即 .
引理2: 设 ， 是与轴 同方向的向量， 在 上的射影为 ， 在 上的射影为 ，则 叫做向量在轴 或 上的正射影，简称射影。设向量 与 的夹角为 ，则CD= （这是 变成有向线段CD，方向与 或轴 的方向要么相同要么相反）。
3.1.1. 求两异面直线所成的角
向量内积公式可方便用于求两异面直线所成的角。
例3.1 在平行六面体 中， ， ，
， ，若P、Q分别是 、 的中点，求：
（1） ； （2）对角线 与 的夹角。
分析：此题若通过解三角形求解，过程复杂利用向量方法可轻松求得；
解：（1）如图3.1 ， ，
根据向量内积公式得：
同理求得& ，
将有关数据代入得 ，故 .
（2）根据（1）所求 ，
同理可得& ，
设 与 的夹角为 ，则 .
注：直线夹角有时与两向量夹角为互补关系，需予注意。
3.1.2. 求线面角
设 为平面 的法向量， 为平面 的斜线，则 （ ）满足 &&因此 斜线 与平面 所成的角为 。
例3.2& 已知正方体 的边长为4，M、N、E、F分别是 、 、 、 的中点。
(1)求证平面 //平面 ；(2)求 与平面 所成的角。
解：建立空间直角坐标系，如图3.2所示：
(1)易证四边形 为梯形
设 为平面 的法向量
取 ，则 ， ，所以
又 ， &因为& ， &
所以& 也为平面 的法向量&& 所以& 平面 //平面 .
(2) 因为& ， ，
所以& 与平面 所成的角为 .
3.1.3. 求二面角
设向量 、 分别是二面角 的两个面 与 的法向量，则 满足： ，则二面角的大小为 或 。
例3.3（2001年高考题）如图，在地面是直角梯形的四棱锥 中， ， 垂直平面 ， ， ，求平面 与平面 所成的二面角的正切值。
解：如图3.3所示，建立空间直角坐标系
易证 垂直平面 ，则
为平面 的法向量
设 为平面 的法向量，
则 ，即 ，取 &则& ， ， ,
故 &所以 平面 与平面 所成的二面角的正切值为 .
3.2. 求空间的距离
3.2.1. 空间两点之间的距离
直接用公式 ，或 可易于求空间两点之间的距离，在此再次就不举例了。
3.2.2. 点到平面的距离
如图3.4，P是平面 外一点，过P分别
作 的斜线QP(Q为斜足)，和垂线PO（O为垂足），设 为平面 的法向量，
则 必为直线PO的方向向量。由于OQ垂直于OP，所以OP为向量 在
上的射影，于是 .
例3.4 求例3.2中平面 与平面 的距离。
解：因为 ， 又&
所以& 平面 与平面 的距离& .
&两异面直线之间的距离
如图3.5，a、b为异面直线，设 为a与
b的公垂线， 为 的方向向量， 为a、b
上任意两点的连线。由于AB垂直 ， 垂直
，所以 为向量 在 上的射影，
例3.5 在棱长为1的正方体 中，P为 的中点， 、 、 分别是正方形 , , 的中心，求异面直线 与 的距离。
解：如图3.6所示，建立空间直角坐标系
由题意： ，
设 是异面直线BD与 的
公共法向量，则& ，即
取 ，则 ， 所以
又因为 所以 异面直线 与 的距离为 .
3.2.4. 线面距离和面面距离
转化为求点到面得距离。
注：要用空间向量解决立体几何问题，首先必须根据问题的特点，以适当的方式把问题中涉及的点、线、面等元素用空间向量表示出来，建立起空间图形与空间向量的联系；然后通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（夹角和距离等问题）；最后对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题。
3.3. 根据相等向量证线共点
欲证线共点，可先在某线上找出一定点（常是唯一的特殊点），再证其余各线都过这一定点。
例3.6 　求证四面体不共面的三对棱的中点连成的三条线段相交于一点,且都在此点平分。
证明：如图3.7，在四面体 中，
、 、 、 、 、 分别是棱 、
、 、 、 、 的中点&
、 、 的中点依次为 、 、 &则
同理可推得 ， ，故 、 、 重合，即 、 、 共点与 ，且被 点平分。
3.4. 根据共线向量定理证点共线
欲证点共线, 通常先构造共始点的向量, 再根据共线向量定理证之。
例3.7& 已知，如图12，在长方体 中， 为 的中点， 在 上，且 ， 为 的中点，求证 、 、 三点共线。
证明：设 ， ， ，则
所以& ，故 、 、 三点共线。
3.5. 根据共线向量定理证点（或线）共面
例3.8& 已知，如图3.9， 、 、 、 、 、 分别为正方体 的棱 、 、 、 、 、 的中点。求证 、 、 三线共面
证明：设 ， ， ，则
因为& &&故& 、 、 三线共面。
3.6. 根据共线向量定理证两直线平行
欲证两直线平行, 只需证明分别在两直线上的非零向量共线即可。
例3.9& 如图3.10，已知五边形 中， 、 、 、 分别是边 、 、 、 的中点， 、 分别是 、 的中点，求证 // ，且 .
证明：任取一点 ，则
故& // ，且 .
3.7. 做法小结
如果图形中垂直关系较多且容易建立空间直角坐标系时首先建立空间直角坐标系用坐标表示向量这是最简便的方法。如果图形中没有垂直关系或不太容易建立空间直角坐标系时可以根据条件以三个不共面的向量作为基向量用基向量表示空间向量并利用条件求出这三个向量间模数和数量积的关系。
无论在初等代数、初等几何还是三角中,利用向量的性质和运算法则,构造合理的向量,对证明不等式而言,又多了一个有力工具。这不仅拓宽了我们的解题思路和方法,而且加深了我们对不等式的理解和认识,优化了我们的学习策略,使得学习如鱼得水,更上一层楼。
参考文献：
［1］田建.房翰婕.浅谈用向量方法证明不等式［J］.四川教育学院学报.2007.
［2］郭梅竹.向量在代数中的应用［J］.数学中的思想和方法.数理天地（高中版）.2006.
［3］杨新兰.平面向量在三角求值中的应用［J］.数理化学习(高中版).2005.
［4］陈楚.向量在解析几何中的应用［J］. 案例解读.2007.
［5］杨刚. 关于平面向量的研究--处理解析几何问题的基本工具之一［J］.考试周刊.2007.
［6］刘士华.唐冰清.例析向量在不等式中的应用［J］.上海中学数学.2006
［7］黄玉芳.利用向量方法解决立体几何问题［J］.合肥市职教中心分校.1999.
［8］魏延祥.空间向量在求角与距离中的应用［J］.青海教育数学天地.2005.
［9］蒋建伟.利用向量方法解立体几何问题［J］.中学数学教学.2002.
［10］罗建宇.用向量方法求空间的角和距离［J］.技巧与方法.
来源：教学反思
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用向量法求证：菱形的两条对角线互相垂直.
用向量法求证：菱形的两条对角线互相垂直.
设菱形两条边的向量分别为a b（菱形相互平行的对边向量相同）其中a b的长度相等两条对角线分别为a+b a-b对角线的向量积为（a+b)(a-b)=a^2-b^2a,b长度相等,故a^2-b^2=0故,俩对角线向量积为0向量积为0的两向量相互垂直,因此菱形两对角线相互垂直当前位置：
＞＞＞已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点．(1)..
已知E ，F ，G ，H&& 分别是空间四边形ABCD 边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．&&
(1) 用向量法证明：E ，F ，G ，H 四点共面．&&(2) 用向量法证明：BD ∥平面EFGH ，&&(3) 设M 是EG 和FH 的交点，求证：对于空间任意一点O，有
题型：解答题难度：中档来源：期末题
证明：(1) 如图所示，连结BG ，则由共面向量基本定理的推论可知E，F，G，H四点共面．∴EH∥BD.∵EH平面EFGH，BD平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.(3)连结OM、OA、OB、OC、OD、OE、OG，由(2)可知，同理，所以，同理可得∴EG、FH交于点M且被M平分，∴
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据魔方格专家权威分析，试题“已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点．(1)..”主要考查你对&&用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系，空间向量的线性运算及其坐标表示，共面向量&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系空间向量的线性运算及其坐标表示共面向量
用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系：
设直线l，m的方向向量为a，b，平面α，β的法向量为u，v，则 （1）线线平行l∥m a∥b a=kb； （2）线面平行l∥α a⊥u a·u=0； （3）线面垂直l⊥α a∥u a=ku； （4）面面平行α∥β u∥v u=kv； （5）面面垂直α⊥β u⊥v u·v=0。证明平行的其他方法：
①根据线面平行的判定定理：（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量；②根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可．空间向量的线性运算的定义：
空间向量的线性运算是指空间向量的加、减、数乘的运算
坐标表示：
设，任意的实数λ，m，n ，则。 空间向量的线性运算的理解：
（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同。共面向量定义：
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的。 共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数x，y，使。
如图，空间中的一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)使
或对空间任一定点O，有&在平面MAB内，点P对应的实数对(x，y)是唯一的， 式叫做平面MAB的向量表示式。
空间中的一点P与不共线的三个点A，B，C共面的充要条件是存在唯一的有序实数组（x,y,z）使 （其中O为空间任一点）。
共面向量定理的延伸：
如果三个不共面的向量满足等式
发现相似题
与“已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点．(1)..”考查相似的试题有：
826313891274835511810522823092810160