已知如图抛物线l1与x轴的交点的坐标为（-1，0）和（-5，0），与y轴的交点坐标为（0，2.5）．
（1）求抛物线l1的解析式；
（2）抛物线l2与抛物线l1关于原点对称，现有一身高为1.5米的人撑着伞与抛物线l2的对称轴重合，伞面弧AB与抛物线l2重合，头顶最高点C与伞的下沿AB在同一条直线上（如图所示不考虑其他因素），如果雨滴下降的轨迹是沿着直线y=mx+b运动，那么不被淋到雨的m的取值范围是多少？
（3）将伞的下沿AB沿着抛物线l2对称轴上升10厘米至A1B1，A1B1比AB长8厘米，抛物线l2除顶点M不动外仍经过弧A1B1（其余条件不变），那么被雨淋到的几率是扩大了还是缩小了，说明理由．
（1）由图可得到抛物线l1图象上的三点坐标，利用待定系数法即可求得抛物线l1的解析式；
（2）由于抛物线l1、l2关于原点对称，那么它们的开口方向，顶点横、纵坐标，与y轴交点坐标都互为相反数，而开口大小没有变化（即二次项系数的绝对值），由此可求得抛物线l2的解析式；已知了C点的纵坐标，将其代入抛物线的解析式l2中，即可求得A、B的纵坐标；设抛物线对称轴与x轴交于点N，根据A、B、N三点坐标，即可求得直线AN、BN的斜率，从而确定出m的取值范围．
（3）此题只需比较∠A1NB1与∠ANB的度数关系，若∠A1NB1＞∠ANB，说明被淋到的几率减小，反之则增大，可连接AN、A1N1，通过比较∠A1NC、∠ANC的正确值的大小，来得到两个角的大小关系，由此得解．
（1）由于抛物线l1经过（-1，0），（-5，0），（0，2.5），
设其解析式为：y=a（x+1）（x+5），则有：
a（0+1）（0+5）=2.5，即a=0.5；
∴抛物线l1：y=0.5（x+1）（x+5）=0.5x2+3x+2.5．
（2）∵抛物线l1：y=0.5（x+3）2-2，且抛物线l1、l2关于原点对称，
∴抛物线l2：y=-0.5（x-3）2+2=-0.5x2+3x-2.5；
当y=1.5时，-0.5x2+3x-2.5=1.5，
整理得：x2-6x+8=0，
解得x=2，x=4；
即A（2，1.5），B（4，1.5），M（3，2）；
设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，则N（3，0）；
则直线AN的斜率：k1=$\frac{0-1.5}{3-2}$=-1.5，
直线BN的斜率：k2=$\frac{0-1.5}{3-4}$=1.5；
若要不被雨淋到，m的取值范围为：-1.5＜m＜1.5．
（3）由题意知：tan∠A1NC=$\frac{1.04}{1.6}$=$\frac{13}{20}$=$\frac{39}{60}$，
tan∠ANC=$\frac{1}{1.5}$=$\frac{2}{3}$=$\frac{40}{60}$；
故∠A1NC＜∠ANC，∠A1NB1＜∠ANB，
所以被雨淋到的几率增大了．如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与x轴、y轴分别相交于A（-6，0）、B（0，-8）两点．（1）求出直线AB的函数解析式；（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；（3）设（2）中的抛物线交x轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得S△PDE=S△ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】．【专题】．【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）首先根据抛物线的顶点在圆上且与y轴平行即可确定抛物线的顶点坐标，再根据待定系数法求函数解析式；（3）三角形ABC的面积为15，所以假设三角形PDE的面积为1，因为DE长为2，所以P到DE的距离为1，则P的坐标是（x，1），代入抛物线解析式即可求解．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得，所以直线AB的解析式y=-x-8；（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c，∵A（-6，0）、B（0，-8），∴AB=10，∴⊙M的半径为5，∴M（-3，-4），∵由函数图象可知抛物线的顶点在圆上，函数图象的对称轴与y轴平行，∴抛物线的顶点C（-3，1），且因抛物线的点对称性有一点与B点关于抛物线的轴对称为F（-6，-8），由三点代入抛物线方程的a=-1，b=-6，c=-8．所以y=-x2-6x-8；（3）连接AC，BC，根据（2）得：B（0，-8），直线BC的解析式为：y=-3x-8，∴点K（-，0），∴AK=6-=，∴S△ABC=S△AKC+S△ABK=××1+××8=15，所以假设三角形PDE的面积为1，因为DE长为2，所以P到DE的距离为1．当y=1时，-x2-6x-8=1，解得x1=x2=-3，∴P1（-3，1）；当y=-1时，-x2-6x-8=-1，解得x1=-3+，x2=-3-，∴P2（-3+，-1），P3（-3-，-1）．综上所述，这样的P点存在，且有三个，P1（-3，1），P2（-3+，-1），P3（-3-，-1）．【点评】本题主要考查了待定系数法求直线和抛物线的解析式，正确求得抛物线的解析式是解决本题的关键．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　日期：11年06月20日难度：0.38真题：2组卷：6
解析质量好解析质量中解析质量差如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点． （1）求直线与抛物线的解析式； （2）若 - 同桌100学习网
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如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点． （1）求直线与抛物线的解析式； （2）若
如图所示，抛物线y=ax2+bx+c经过原点O，与x轴交于另一点N，直线y=kx+4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于B（1，m）、C（2，2）两点．
（1）求直线与抛物线的解析式；
（2）若抛物线在x轴上方的部分有一动点P（x，y），设∠PON=α，求当△PON的面积最大时tanα的值；
（3）若动点P保持（2）中的运动路线，问是否存在点P，使得△POA的面积等于△PON面积的815？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
提问者：sunflower521
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（1）根据C点的坐标可确定直线AD的解析式，进而可求出B点坐标，将B、C、O三点坐标代入抛物线中，即可求得此二次函数的解析式；
（2）此题的关键是求出P点的坐标；△PON中，ON的长为定值，若△PON的面积最大，那么P点离ON的距离最远，即P点为抛物线的顶点，根据（1）所得的抛物线解析式即可求得P点的坐标，进而可求出α的正切值；
（3）设出点P的横坐标，根据抛物线的解析式可表示出P点的纵坐标；根据直线AD和抛物线的解析式可求出A、N的坐标；以ON为底，P点纵坐标为高可得到△OPN的面积，以OA为底，P点横坐标为高可得到△OAP的面积，根据题目给出的△POA和△PON的面积关系即可求出P点的横坐标，进而可求出P点的坐标．
解：（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4，可得k=-1
所以直线的解析式为y=-x+4
当x=1时，y=3，
所以B点的坐标为（1，3）
将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，
所以所求的抛物线为y=-2x^2+5x
（2）因为ON的长是一定值，
所以当点P为抛物线的顶点时，△PON的面积最大，
又该抛物线的顶点坐标为（5/4,25/8），此时tan∠PON=y/x=(25/8)/(5/4)=5/2
（3）存在；
把x=0代入直线y=-x+4得y=4，所以点A（0，4）
把y=0代入抛物线y=-2x^2+5x
得x=0或x=5/2，所以点N（ 5/2，0）
设动点P坐标为（x，y），
其中y=-2x^2+5x （0＜x＜5/2）
则得：S△OAP=1/2 |OA|ox=2x
S△ONP=1/2 |ON|oy=(1/2)*(5/2) o（-2x^2+5x）=5/4（-2x^2+5x）
由S△OAP= 5/18S△ONP，
即2x=(5/18)*(5/4)（-2x^2+5x）
解得x=0或x=1，舍去x=0
得x=1，由此得y=3
所以得点P存在，其坐标为（1，3）．
回答者：teacher012（2012o南通）如图，经过点A（0，-4）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（-2，0），C两点，O为坐标原点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线y=x2+bx+c向上平移个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；
（3）设点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的长．
（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解．
（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，进而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围．
（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长．
解：（1）将A（0，-4）、B（-2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：
∴抛物线的解析式：y=x2-x-4．
（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：y=（x+m）2-（x+m）-4+，即：y=x2+（m-1）x+m2-m-；
它的顶点坐标P：（1-m，-1）；
由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）；
那么直线AB：y=-2x-4；直线AC：y=x-4；
当点P在直线AB上时，-2（1-m）-4=-1，解得：m=；
当点P在直线AC上时，（1-m）-4=-1，解得：m=-2；
∴当点P在△ABC内时，-2＜m＜；
又∵m＞0，
∴符合条件的m的取值范围：0＜m＜．
（3）由A（0，-4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；
如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°；
∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠NBA=∠OMB；
如图，在△ABN、△AM1B中，
∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，
∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=ANoAM1；
易得：AB2=（-2）2+42=20，AN=OA-ON=4-2=2；
∴AM1=20÷2=10；
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，
∴OM1=OM2=6，AM2=OM2-OA=6-4=2．
综上，AM的长为10或2．