已知e1,e2是夹角为120度的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=e2-2e1的夹角的余弦值为_百度作业帮
已知e1,e2是夹角为120度的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=e2-2e1的夹角的余弦值为
已知e1,e2是夹角为120度的两个单位向量,则a=2e1+e2和b=e2-2e1的夹角的余弦值为
let a=2e1+e2和b=e2-2e1的夹角 = x|a|^2 = (2e1+e2).(2e1+e2) = 4|e1|^2+|e2|^2+ 4|e1||e2|cos120度 = 4+1-2=3=>|a| =√3 |b|^2 = (e2-2e1).(e2-2e1) = 4|e1|^2+|e2|^2- 4|e1||e2|cos120度 = 4+1+2=7=>|b| =√7 a.b =|a||b|cosx(2e1+e2).(e2-2e1) =√21cosx-4|e1|^2+|e2|^2 = √21cosx-3 =√21cosxcosx = -√21/7设向量a与向量b是两个夹角为120度的单位向量,且p+q=1（p、q属于R）则（p•向量a+q•向量b）的绝对值是多少?麻烦各位给个具体过程,感激不尽!_百度作业帮
设向量a与向量b是两个夹角为120度的单位向量,且p+q=1（p、q属于R）则（p•向量a+q•向量b）的绝对值是多少?麻烦各位给个具体过程,感激不尽!
麻烦各位给个具体过程,感激不尽!给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120度。_数列吧_百度贴吧
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给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120度。收藏
点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。若OC=x*OA十y*OB，其中x,y为实数，求x十y的取值范围。
用平面坐标表示一下 就是一个求不等式最值的题设OA=(-1,根号3) OB=(2,0)OC=xOA+yOB=(2y-x,根号3*x)|OC|^2=4x^2+4y^2-4xy=4因为在OA、OB之间 所以x、y大于等于0x^2+y^2-xy=1(x+y)^2-3xy=1利用均值不等式分别推出(x+y)^2/4≤1和(x+y)^2≥1所以2≥x+y≥1
(x+y)^2-3xy=1因为x、y大于等于0所以(x+y)^2=1+3xy≥1 1=x^2+y^2-xy≥xy≥(x+y)^2/4或者1=(x+y)^2-3xy≥(x+y)^2-3(x+y)^2/4=(x+y)^2/4其实第二个更好，一步到位。但第一个也没错，两个大于等于都是在x=y时取等号。
第一个错了 我脑袋进水了.......
1=(x+y)^2-3xy≥(x+y)^2-3(x+y)^2/4=(x+y)^2/4只有这个是正确的上一行是错的 不等号方向反了
OA×AB的值为多少？
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& 数学：第三章《空间向量与立体几何》同步练习一（新人教A版选修2-1）
数学：第三章《空间向量与立体几何》同步练习一（新人教A版选修2-1）
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资料概述与简介
《用空间向量法求解立体几何问题典例及解析》
以多面体为载体，以空间向量为工具，来论证和求解空间角、距离、线线关系以及线面关系相关问题，是近年来高考数学的重点和热点，用空间向量解立体几何问题，极大地降低了求解立几的难度，很大程度上呈现出程序化思想。更易于学生们所接受，故而执教者应高度重视空间向量的工具性。
首先，梳理一下利用空间向量解决立体几何的知识和基本求解方法
一：利用空间向量求空间角
(1)两条异面直线所成的夹角
范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是
向量求法：设直线的方向向量为，其夹角为，则有
(2)直线与平面所成的角
定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是
向量求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与法向量所成角的余弦值为直线与平面所成的角为，则有或在平面内任取一个向量，则.
二面角的取值范围是
二面角的向量求法：
方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的
即为所求的二面角的大小；
方法二：设，分别是两个面的
，则向量与的夹角(或其补角)即为所求二面角的平面角的大小。
二：利用空间向量求空间距离
（1）点面距离的向量公式
平面的法向量为n，点P是平面外一点，点M为平面内任意一点，则点P到平面的距离d就是
（2）线面、面面距离的向量公式
平面∥直线l，平面的法向量为n，点M∈、P∈l，平面与直线l间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=
平面∥β，平面的法向量为n，点M∈、P∈β，平面与平面β的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.
（3）异面直线的距离的向量公式
设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是在向量n方向射影的绝对值，即d=.
三：利用空间向量解证平行、垂直关系
1：①所谓直线的方向向量，就是指　　　　　　　　　　　　的向量，一条直线的方向向量有　　　个。
②所谓平面的法向量，就是指所在直线与平面垂直的直线，一个平面的法向量也有　　　　　个。
:2．线线平行
证明两条直线平等，只要证明这两条直线的方向向量是　　　　　　　　　，也可以证这两条直线平行于同一个平面的法向量。
证明线面平行的方法：
（1）证明直线的方向向量与平面的法向量　　　　　　　　　　　；
（2）证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量　　　　　　　　　；
（3）利用共面向量基本定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量是　　　　　　　　　　　　　。　
4．面面平行的证明方法：
（1）转化为　　　　　　　　　、　　　　　　　　　处理；
（2）证明这两个平面的法向量是　　　　　　　　　　。
5利用空间向量解证垂直关系
⑴．线线垂直：证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是　　　　　　　　；
⑵．线面垂直的证明方法：
①证明线面垂直的方法是证明这两条直线的方向向量是　　　　　　　　　　　；
②证明直线与平面内的　　　　　　　　　　　　　　；
⑶．面面垂直的证明方法：
①转化为证明　　　　　　　、　　　　　　　　　；
②证明这两个平面的法向量是　　　　　　　　。
:典题赏析：
题目1：.[2011·四川如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连结AP交棱CC1于点D.
(1)求证：PB1平面BDA1；
(2)求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值．
解：如图－，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－xyz，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，P(0,2,0)．
(1)在PAA1中有C1D＝AA1，即D.
＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)．
设平面BA1D的一个法向量为n1＝(a，b，c)，则
令c＝－1，则n1＝.图1－7n1·＝1×(－1)＋×2＋(－1)×0＝0，
PB1∥平面BDA1，
(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1＝.
又n2＝(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量，
cos〈n1，n2〉＝＝＝.故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为.中，底面为矩形，
侧棱底面，，，，
（Ⅰ）求直线与所成角的余弦值；
（Ⅱ）在侧面内找一点，使面，
并求出点到和的距离.
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则的坐标为、
设的夹角为，则
∴与所成角的余弦值为.
（Ⅱ）由于点在侧面内，故可设点坐标为，则
，由面可得，
即点的坐标为，从而点到和的距离分别为.
所以线段BM的长||＝.的棱长为a．
(1)求点到平面的距离；
(2)求平面与平面所成的二面角余弦值
(1)按如图3-1所示建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、
、，向量，，．
设是平面的法向量，于是，有
令得．于是平面的一个法向量是
因此，到平面的距离．(也可用等积法求得)
(2) 由(1)知，平面的一个法向量是．又因，故平面的一个法向量是．
设所求二面角的平面角为(结合图形可知二面角是锐角，即为锐角)，则
题目4：已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求与所成的角；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值。
证明：以为坐标原点长为单位长度，如图4-1建立空间直角坐标系，则各点坐标为.
（Ⅰ）证明：因
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.
（Ⅱ）解：因
（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使
所求二面角的平面角.
题目5：如图，平面，四边形是正方形， ，点、、分别为线段、和的中点.
（1）求异面直线与所成角的余弦值
（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离恰为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.
解：（1）以点为坐标原点，射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系如图示4-1，点、、、，则，.
设异面直线与所成角为
,所以异面直线与所成角大小为.
（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为
，则有 得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.
题目6：如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上
一点，. 已知
求（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的大小.
解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为
轴建立空间直角坐标系.
由已知可得
又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线
,的距离为.
（Ⅱ）作，可设.由得
即作于，设，
又由在上得
因故的平面角的大小为向量的夹角.
即二面角的大小为
总之，在利用空间向量解决立体几何问题时，经常是通过建立空间直角坐标系，及点的坐标做为沟通向量与几何图形关系的纽带和桥梁的，恰当建系，准确示点，是关键，故而，要适当的加强解题训练，并及时总结，感悟方法，提升能力。
1.正方体中，是的中点，是底面的中心，是棱上任意一点，则直线与直线所成的角是(
D与点的位置有关
2. 空间中有四点，其中，，且，则直线和(
B平行或重合
3若向量夹角的余弦值是，则的值为(
B.－2　　　　C.－2或　　　　D.2或
4直线的方向向量为，平面内两共点向量，下列关系中能表示的是（D　）
D.以上均不能
5以下向量中与向量＝（1,2,3），＝（3,1,2）都垂直的向量为（　C　）
B.(1,－7,5)
C.(－1，－7,5)　　D.（1，－7，－5）
6在正方体中，棱长为，分别是和上的点，，则与平面的关系是(
D.不能确定
7已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的底△ABC为直角三角形，=90°；侧棱与底面成60°角，B1点在底面射影D为BC中点,若侧面A1ABB1与C1CBB1成30°的二面角，BC=2cm，四棱锥A—B1BCC1的体积（
8．已知三个向量两两之间的夹角为，又，则(
9. 在长方体中，，则到直线的距离为( A )
10. ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为
11. 在正方体的侧面内有一动点到直线与直线的距离相等,则动点 所在的曲线的形状为 (
12. 对于向量a，b，定义a×b为向量a，b的向量积，其运算结果为一个向量，且规定a×b的模|a×b|＝|a||b|sinθ(其中θ为向量a与b的夹角)，a×b的方向与向量a，b的方向都垂直，且使得a，b，a×b依次构成右手系.如图，在平行六面体ABCD－EFGH中，∠EAB＝∠EAD＝∠BAD＝60°，AB＝AD＝AE＝2，则＝
是平面外一点，点满足，则直线与平面的位置关系是　AP平面
14. 在空间四边形中，分别是和对角线的中点，则平面与平面的位置关系是　　
平面⊥平面
15.设正四棱锥S-ABCD的侧棱之长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角等于__
16. 在空间直角坐标系中，对其中任何一向量，定义范数，它满足以下性质：
，当且仅当为零向量时，不等式取等号；
(2)对任意的实数，
(注：此处点乘号为普通的乘号)。
试求解以下问题：在平面直角坐标系中，有向量，下面给出的几个表达式中，可能表示向量的范数的是____(把所有正确答案的序号都填上) (1)(4)
(2) (3)(4)
[2011·天津卷] 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H平面AA1B1B，且C1H＝.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
(2)求二面角A－A1C1－B1的正弦值；
(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长．
：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．依题意得A(2，0,0)，B(0,0,0)，C(，－，)，A1(2，2，0)，B1(0,2，0)，C1(，，)．
(1)易得＝(－，－，)，＝(－2，0,0)，于是cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
(2)易知＝(0,2，0)，＝(－，－，)．
设平面AA1C1的法向量＝(x，y，z)，则即不妨令x＝，可得＝(，0，)．
同样地，设平面A1B1C1的法向量＝(x，y，z)，
即不妨令y＝，可得＝(0，，)．
于是cos〈，〉＝＝＝，
从而sin〈，〉＝.
所以二面角A－A1C1－B1的正弦值为.
(3)由N为棱B1C1的中点，得N.
设M(a，b,0)，则＝.
由MN平面A1B1C1，得即得
18.如图，四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且，
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离。
解：．（1）如图建系，则
（2），设平面的法向量为，
依题意，，取。
，所以点到平面的距离。
19. 如右下图,在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2．
E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．
(1) 求二面角C—DE—C1的正切值; (2) 求直线EC1与FD1所成的余弦值．
解：（I）以A为原点， 分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D(0,3,0)、D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),故
设向量与平面C1DE垂直，则有
（II）设EC1与FD1所成角为β，则
20. 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝2C1N．
（Ⅰ）求二面角B1－AM－N的平面角的余弦值；（Ⅱ）求点B1到平面AMN的距离。
解（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,1)，
M（0，，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，
所以,同法可得。
故﹤﹥为二面角—AM—N的平面角
故二面角—AM—N的平面角的余弦值为。
（Ⅱ）设n=(x, y, z)为平面AMN的一个法向量，则由得
设与n的夹角为a，则。
所以到平面AMN的距离为。
21. 如图，所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1.
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离.
解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），
A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C1（0，4，3）.设F（0，0，z）.
∵AEC1F为平行四边形，
（II）设为面AEC1F的法向量，
的夹角为a，则
∴C到平面AEC1F的距离为
，，即直线到平面BD的距离是．
22．已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，，是的中点。
（Ⅰ）证明：面面；
（Ⅱ）求与所成的角；
（Ⅲ）求面与面所成二面角的大小。
证明：以为坐标原点长为单位长度，如图25-1建立空间直角坐标系，则各点坐标为
（Ⅰ）证明：因
由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面⊥面.
（Ⅱ）解：因
（Ⅲ）解：在上取一点，则存在使
所求二面角的平面角.
23.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,
平面底面．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求面与面所成的二面角的大小．
证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系.
（Ⅰ）证明：不防设作，
由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直.
（Ⅱ）解：设为中点，则，
因此，是所求二面角的平面角，
解得所求二面角的大小为
24．如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）求点到平面的距离.
解：（I）建立如图28-1所示的空间直角坐标系，则，
∵为平行四边形，
（II）设为平面的法向量，
的夹角为，则
∴到平面的距离为
25．如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为.
解：以为坐标原点，直线分别为轴，
建立空间直角坐标系，设，
（2）因为为的中点，则，从而，
，设平面的法向量为，则
也即，得，从而，
所以点到平面的距离为
（3）设平面的法向量，∴
∴（不合，舍去）， .
∴时，二面角的大小为.
26．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上
一点，. 已知
求（Ⅰ）异面直线与的距离；
（Ⅱ）二面角的大小.
解：（Ⅰ）以为原点，、、分别为
轴建立空间直角坐标系.
由已知可得
又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线
,的距离为.
（Ⅱ）作，可设.由得
即作于，设，
又由在上得
因故的平面角的大小为向量的夹角.
即二面角的大小为
27在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E、F 分别是AB、PB的中点.
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论。
解：以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD=a，则D（0，0，0）、A（a,0,0）、B(a,a,0)、C(0,a,0)，、、
28.已知正四棱柱中，，分别为的中点，平面.
（I）求二面角平面角的正切值；
（II）求点到平面的距离．
解： （1）如图建立坐标系，设
向量与面垂直
设与面BDN垂直，则
设所求二面角为，则，
（2）由，在向量方向上的投影为，所以到面的距离为
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