（2007●台州）（1）善于思考的小迪发现：半径为a，圆心在原点的圆（如图1），如果固定直径AB，把圆内的所有与y轴平行的弦都压缩到原来的$\frac{b}{a}$倍，就得到一种新的图形-椭圆（如图2）．她受祖冲之“割圆术”的启发，采用“化整为零，积零为整”、“化曲为直，以直代曲”的方法，正确地求出了椭圆的面积，她求得的结果为πab；（2）小迪把图2的椭圆绕x轴旋转一周得到一个“鸡蛋型”的椭球．已知半径为a的球的体积为$\frac{4}{3}$πa3，则此椭球的体积为$\frac{4}{3}$πab2．
本题需先认真审题再解得：（1）依据“化整为零，积零为整”、“化曲为直，以直代曲”的方法，结合圆的面积求法即可得；（2）运用球的体积公式乘以（$\frac{b}{a}$）2即可得．（1）根据“化整为零，积零为整”、“化曲为直，以直代曲”的方法，结合圆的面积求法可知，椭圆的面积为π?a?a?$\frac{b}{a}$=πab；（2）因为半径为a的球的体积为$\frac{4}{3}$πa3，所以椭球的体积为：$\frac{4}{3}$πa3（$\frac{b}{a}$）2=$\frac{4}{3}$πab2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+根号5与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A?B?相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．（1）求点D的坐标；（2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式；（3）若以动点为E圆心，以2根号5为半径作⊙E，连接A′E，t为何值时，Tan∠EA′B′=1/8？并判断此时直线A′O与⊙E的位置关系，请说明理由．-乐乐题库
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如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+√5与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A?B?相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．（1）求点D的坐标；（2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式；（3）若以动点为E圆心，以2√5为半径作⊙E，连接A′E，t为何值时，Tan∠EA′B′=18？并判断此时直线A′O与⊙E的位置关系，请说明理由．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2008-哈尔滨
分析与解答
习题“如图，在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+根号5与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A?B?相交于点G．动点E从原点O出发，...”的分析与解答如下所示：
现根据直线y=12x+√5与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，进而再求出OD的长度；然后根据需要作出恰当的辅助线，再结合题意对题目进行分析．
解：（1）由题意知A（-2√5，0）B（0，√5），∴OA=2√5，OB=√5，∴AB=√(2√5)2+(√5)2=5，∵OD⊥AB，∴12OAoOB=12ABoOD，∴OD=2√5×√55=2．过点D作DH⊥x轴于点H．（如图1）∵∠BAO+∠ADH=∠ODH+∠ADH=90°，∴∠ODH=∠BAO，∴tan∠ODH=tan∠BAO=12，∴DH=2OH．设OH=a，则DH=2a．∴a2+4a2=4，∴a=2√55．∴OH=2√55，DH=4√55．∴D（-2√55，4√55）；（2）设DE与y轴交于点M．（如图2）∵四边形DFB′G是平行四边形，∴DF∥B′G，∴∠1=∠A′．又∵∠AOD+∠2=∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BAO=∠2．∵∠BAO=∠A′，∴∠1=∠2，∴DM=OM．（1分）∵∠3+∠1=90°，∠4+∠2=90°，∴∠3=∠4，∴BM=DM，∴BM=OM，∴点M是OB中点，∴M（0，√52）．设线段DE所在直线解析式为y=kx+b．把M（0，√52）D（-2√55，4√55）代入y=kx+b，得{√52=b4√55=-2√55k+b，解得{k=-34b=√52．∴线段DE所在直线的解析式为y=-34x+√52；（3）设直线A′B′交x轴于点N，（如图3）过点A′作A′K⊥x轴于点K．∵∠AOD=∠A′OK，∠ADO=∠A′KO=90°，OA=OA′=2√5，∴△AOD≌△A′OK，∴OK=2，∴A′K=4，∴A′（-2，4）．过点B′作B′T⊥y轴于点T，同理△OBD≌△B′OT，∴B′（2，1）．设直线A’B’的解析式为y=k1x+b1．则{1=2k1+b14=-2k1+b1，解得{k1=-34b1=52．∴直线A′B′的解析式为y=-34x+52．∴N（103，0），∴KN=163，∴A’N=√A′K2+KN2=203．当E点在N点左侧点E1位置时，过点E1作E1Q1⊥A’N于点Q1．∵tan∠A’NK=A′KKN=34，∴设E1Q1=3m，则Q1N=4m．又∵tan∠E1A’B’=18，∴A’Q1=24m，∴28m=203，∴m=521，∴E1N=2521，∴OE1=ON-E1N=157，此时t=157．过点E1作E1S1⊥A’O于点S1．∵sin∠E1OS1=sin∠A′OK，∴E1S1OE1=A′KOA′，∴E1S1=42√5×157=6√57．∵⊙E的半径为2√5，而6√57＜2√5，∴⊙E1与直线A’O相交．当E点在N点右侧点E2位置时，过点E2作E2Q2⊥A′N于点Q2．同理OE2=5，此时t=5．过点E2作E2S2⊥A′O于点S2．同理E2S2=42√5×5=2√5．∵⊙E的半径为2√5，∴⊙E2与直线A′O相切．∴当t=157或t=5时，tan∠EA′B′=18；当t=157时直线A′O与⊙E相交，当t=5时直线A′O与⊙E相切．
解决较复杂的几何问题，作出合适的辅助线是解决问题的一个关键，同时要熟记一些定理或推论．
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如图，在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+根号5与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A?B?相交于点G．动点E从原...
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经过分析，习题“如图，在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+根号5与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A?B?相交于点G．动点E从原点O出发，...”主要考察你对“切线的判定”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
切线的判定
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（2）在应用判定定理时注意：①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
与“如图，在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+根号5与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A?B?相交于点G．动点E从原点O出发，...”相似的题目：
已知如图，AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD．求证：AD是⊙O的切线．&&&&
已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线．&&&&
如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．&&&&
“如图，在平面直角坐标系中，直线y=1/2...”的最新评论
该知识点好题
1下列命题中，为真命题的是（　　）
2（2002o咸宁）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4．梯形的高DH与中位线EF交于点G，则下列结论中：①△DGF≌△EBH；②四边形EHCF是菱形；③以CD为直径的圆与AB相切于点E．正确的有（　　）
3（2011o江西模拟）如图，CD是⊙O的直径，BD是弦，延长DC到A，使∠ABD=120°，若添加一个条件，使AB是⊙O的切线，则下列四个条件：①AC=BC；②AC=OC；③OC=BC；④AB=BD中，能使命题成立的有&&&&（只要填序号即可）．
该知识点易错题
1已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD交AB于E，连接OD、PC、BC，∠AOD=2∠ABC，∠P=∠D，过E作弦GF⊥BC交圆与G、F两点，连接CF、BG．则下列结论：①CD⊥AB；②PC是⊙O的切线；③OD∥GF；④弦CF的弦心距等于12BG．则其中正确的是（　　）
2有下列结论：（1）平分弦的直径垂直于弦；（2）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；（5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数为（　　）
3有下列结论：（1）平分弦的直径垂直于弦；（2）圆周角的度数等于圆心角的一半；（3）等弧所对的圆周角相等；（4）经过三点一定可以作一个圆；（5）三角形的外心到三边的距离相等；（6）等腰梯形一定有一个外接圆；（7）垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数为（　　）
欢迎来到乐乐题库，查看习题“如图，在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+根号5与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A?B?相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．（1）求点D的坐标；（2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式；（3）若以动点为E圆心，以2根号5为半径作⊙E，连接A′E，t为何值时，Tan∠EA′B′=1/8？并判断此时直线A′O与⊙E的位置关系，请说明理由．”的答案、考点梳理，并查找与习题“如图，在平面直角坐标系中，直线y=1/2x+根号5与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A?B?相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．（1）求点D的坐标；（2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式；（3）若以动点为E圆心，以2根号5为半径作⊙E，连接A′E，t为何值时，Tan∠EA′B′=1/8？并判断此时直线A′O与⊙E的位置关系，请说明理由．”相似的习题。求椭圆x^2/9 +y^2/4 =1绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积需过程
!急!_百度作业帮
求椭圆x^2/9 +y^2/4 =1绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积需过程
椭球体积V = ∫S(z)dz = ∫π*a*b*(1-z^2/c^2)dz
= 4/3*π*a*b*c椭球表面积S =
4π(ab+bc+ac)/3我想,公式在这里的话应该没问题了吧
由于绕x轴旋转，得椭球x^2/9加y^2/4加z^2/4=1，再由三重积分，向yz平面投影易得V=∫∫r√（1-r^2/4）dr，定限容易啊，得V=16pi，纯手打，望采纳，5-7-3 定积分应用之体积应用_中华文本库
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文本预览：
V = 2π ∫ xf ( x)dx
?[ x, x + dx] ? [a,b] 对应的部分量 ?V 可近似看成内径为 x ，外径为 x + dx 高为 f ( x ) 的薄壁圆筒
故 ?V ≈ π [( x + dx )2 - x 2 ] f ( x )
=> dV = 2πxf ( x )dx
或展开后近似于长为 2πx 宽为 dx f(x) 的薄长方体 => dV = 2πxf ( x )dx
=> V = 2π ∫ xf ( x )dx
利用这个公式， 利用这个公式，可知上例中
V y = 2π ∫
x | f ( x ) | dx
= 2π ∫ a( t - sin t ) ? a(1 - cos t )d [a( t - sin t )]
( t - sin t )(1 - cos t ) 2 dt
= 6π 3a 3 .
例 5 求由曲线 y = 4 - x2及 y = 0所围成的图形 绕直线x = 3旋转构成旋转体的体积. 旋转构成旋转体的体积
解 取积分变量为 y , y ∈ [0,4] 体积元素为
dV = [ π PM - πQM ]dy
= [ π( 3 + 4 - y ) 2 - π( 3 - 4 - y ) 2 ]dy
= 12π 4 - ydy ,
∴V = 12π ∫
= 64π. π
求圆心在 ( b ,0 ) 半径为 a ( 0< a < b ) 的圆绕 y 轴旋转一周所成的环状体的体积
( x - b )2 + y 2 = a 2 圆的方程
=> y = ± a 2 - ( x - b )2 b - a ≤ x ≤ b + a
V = 2 ? 2π
4π ∫ ( t + b) a 2 - t 2 dt
x a 2 - ( x - b )2 dx ∫
= 4π ∫ t a 2 - t 2 dt + 4πb ∫ a 2 - t 2 dt
= 2π a 2b
一 般地 y = f ( x ), a ≤ x ≤ b
绕 x 轴旋转
dV = 薄片圆柱的体积（底半径为 f(x) ，高为dx ） 薄片圆柱的体积（
dV = πf ( x )dx ——柱片法 柱片法
绕 y 轴旋转
dV = 薄壁圆筒的体积（内径为 x ，外径为x+dx 薄壁圆筒的体积（ 高为f ( x ))
柱壳法 dV = 2πxf ( x)dx ——柱壳法 旋转体的侧面积 y = f ( x ), a ≤ x ≤ b 绕 x
所得的旋转面的侧面积为 S = 2π ∫ f ( x ) 1 + f ′ 2 ( x )dx
二、平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体， 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么， 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算. 个立体的体积也可用定积分来计算
A( x ) 表 示 过点 x 且垂直于 x 轴
的截面面积， 的截面面积，
A( x ) 为 x 的已知连续函数
dV = A( x )dx ,
立体体积 V =
A ( x ) dx .
的圆柱体的底圆中心， 例 7 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并 与底面交成角α ，计算这平面截圆柱体所得立体的体 积. 解 取坐标系如图
底圆方程为
x +y =R 垂直于 x 轴的截面为直角三角形
x 1 2 A( x ) = ( R - x 2 ) tanα , 截面面积 2 2 3 1 R 2 2 立体体积 V = ∫- R (R - x ) tanαdx = 3 R tanα . 2
x=z x -1 y z -1 解 AB 的方程为 => = = y = 1- z -1 1 -1 在 z 轴上截距为 z 的水平面截此旋转体所得 截面为一个圆， 轴
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第五章 定积分的应用
第五章 定积分的应用第一节
定积分的微元法第二节
定积分在几何中的应用第三节
定积分在物理中的应用第四节
定积分在经济问题中的简单应用本章用定积分方法分析和解决一些实际问题.通过一些
实际例子,不仅可以掌握某些量的计算公式,而且更重要
的是学会运用微分元法将一个未知量表达成定积分的分析
第一节 定积分的微元法
第一节 定积分的微元法在第十六章中,利用定积分表示曲边梯形的面积、变
速直线运动的路程这些量时,均采用了分割、近似、求和、
取极限四个步骤,建立了所求量的积分式.以求曲边梯形面
积为例子,简单回顾一下求解过程 设函数yf
x在区间 a, b 上连续,且 f
x0,求以曲线?
x为曲边,以 a, b 为底的曲边梯形的面积 A1分割 将 a, b 任意分成 n个子区间 x , x , i ?1,2, ?, n,相i ?1 i
应地将曲边梯形分成 n个小曲边梯形;
2近似 在每一个子区间 x , x 上任取一点,以 f 和x?
i ?1 i i i i
为边长的小矩形的面积近似替代相应的小曲边梯形的面积A ,
3求和 曲边梯形面积 A的近似值为 A? Af x?
4取极限 maxx ,x , ?,x ,于是
x dxi i?0i ?1
a在上述四步中,若从任意分割后的若干子区间上任取一个
代表来讨论,这个代表区间可记为 x, xd x ,而点 ?可以用 x来?
代替,那么2中的近似形式 f x可表示为 f
x d x,它和4中
的定积分 f
x d x被积表达式相同,从而可以把上述四步简化a
1选取积分变量xa, b ,在?
a, b 上任取一代表性区间 x, xdx如图17 ?1所示,区间 x, xdx 上的小?
曲边梯形的面积? A可近似以数 f
高, dx为底的小矩形面积 f
O a x xdx b
图51 微元法图形b
2将上式右端在区间 a, b 上积分,得 Af
x dx一般地,
若所求量 A与x变化
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