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Stolz定理的证明和推广
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官方公共微信第３８卷第５期 ２００８年３月数学的实践与认识ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ ＩＮ ＰＲＡＣＴＩＣＥ ＡＮＤ ＴＨＥＯＲＹＶ０１．３８Ｎｏ．５Ｍａｒｃｈ，２００８，．’’’’’’’’’’’’’、；教学园地ｉ～‘。。。。ｌ‘ｌ‘。‘ｔ，
从Ｓｔｏｌｚ定理到Ｌ７Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则刘利剐（浙江大学数学系，浙江杭州３１００２７）摘要：给出了从Ｓｔｏｌｚ定理到Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则的推导过程及各定理之间的联系关键词：Ｓｔｏｌｚ定理；Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则｝极限；差分Ｓｔｏｌｚ定理和Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则都是数学分析中处理三型及羔型极限的重要工具．我们 、～Ｖ在讲授这两个定理的过程中由浅入深，循序渐进，让学生对这两个定理得到充分的认识与理 解：Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则是连续的Ｓｔｏｌｚｅ定理；而Ｓｔｏｌｚ定理是离散型的Ｉ，’Ｈｏｓｐｔｉａｌ法则．本文将 介绍我们在给学生讲述从Ｓｔｏｌｚ定理从离散变量的情形到连续变量的情形，再到Ｌ７Ｈｏｓｐｉｔａｌ 法则的详细推导过程，并且将它们进行了许多的推广．一ｎ Ｕ本文中只对三型极限的Ｓｔｏｌｚ定理和Ｉ，７Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则给出讨论．对于姜型极限的讨论 ～与研究类似可得到，在文中不详细列出．限于篇幅，我们对文中给出的定理都不给出证明．１离散型Ｓｔｏｌｚ定理我们首先给出一般教材给出的Ｓｔｏｌｚ定理［１’２］，叙述如下： 定理１（Ｓｔｏｌｚ定理）设数列｛ａ。），｛阮）满足条件：（ｉ）（ａ。）严格单调递增； （ｉｉ）ｌｉｍａ。一＋ｏ。； ｎ―’∞．｛（ｉｉｉ）下列极限存在ｌｉｍ导丛―粤＝ｚ（有限或４－ｏｏ），则ｌｉｍ睾一ｚ． 月呻ｏｏ“Ｈ＋１ Ｈ?∞“＾“＾注意定理ｌ中并不要求数列｛玩｝的极限为ｏ。，因此定理也称为三型极限的Ｓｔｏｌｚ定理．Ｓｔｏｌｚ定理的几何解释是：将（％，以）看成平面上的点Ｐ。，依次连接各点得到无限折线ｒ＝Ｐ，Ｐｚ．．‘Ｐ。…，矢径ｏＰ。的斜率为笔，线段Ｐ。尸卅ｔ的斜率为垒ａｎ旦＋ｌ垫－－ａｎ．当定理１的条件满足时，说明折线ｒ往右无限延伸，这时矢径ＯＰ。的斜率与线段尸。Ｐ计。的斜率当押一＋ｏ。时趋于同一 极限．如图１（ａ）所示，若线段Ｐ。Ｐ。＋。的斜率当，ｚ一＋ｏｏ时极限为ｚ，表示当咒一十ｏｏ时，点Ｐ。 位于某条直线Ｌ附近；而当直线Ｌ上的点Ｐ沿着￡移向无穷远时，它与点Ｏ的连线与直线Ｌ的 夹角将趋向于０，即直线ＯＰ将与直线Ｌ“平行”，即它们的斜率将相等，如图１（ｂ）．收稿日期：Ｚ００５－０６―１０万 　 方数据１６４数学的实践与认识３８卷ｊ、‰＋。玩Ｄ／’一／√ ‘＋Ｉ／、ｎｎｎｎＳ图１Ｓｔｏｌｚ定理的几何解释Ｓｔｏｌｚ定理的几何意义是明显的．若Ｑ（ａ，６）为平面上的任一点，当点Ｐ沿着￡移向无 穷远时，直线ＱＰ也将与直线三“平行”，自然有以下推论：推论１设条件如定理１所列，则１ｉｍ≥三＝ｚ．＾一厶ｎ呻∞“＂“其证明非常简单，只要令５。＝ｂ。一６，苫。＝吼一口，再应用定理１即可．进一步，由上述几 何意义启发，若点Ｑ也在变动，但只是在一个顶点附近变动，设Ｑ＝（厶，ｄ。），｛厶），｛以）分别 收敛到ｆ，ｄ，于是有下列的推论；推论２设条件如定理１所列，且（ｉｖ）１ｉｍ“一ｆ，ｌｉｍ以＝ｄ，则１ｉｍ≥―÷一ｚ．Ｈ●∞ Ｈ’∞ ｎ●∞“ｄ―ｏＨ＾一，，证明也是简单的，只要注意到当咒充分大时，点（Ｇ，矾）将位于以点（ｆ，ｄ）为中心的单 位方块内，它与直线Ｌ上的点尸的连线夹在方块的四个角点与点尸的连线之内． 根据上述的证明方法，显然可以将 推论２中的条件再减弱为： 推论３ 设条件如定理１所列，且＾一，，／ 、／（ｉｖ）数列｛“｝，｛以｝有界，则ｌｉｍ≥―≥一ｚ． Ｈ一∞Ｕｎ一‘“若简单地从上述的图形分析，Ｓｔｏｌｚ定 理的逆命题看起来也是对的，即大家会问： 若矢径０Ｐ。的斜率当行一－ｂ ００时极限ｚ存 在，是否线段只Ｐ外。的斜率也存在极限 呢？其实不然．这是因为线段Ｐ。Ｐ。＋，的斜 率可能出现震荡导致极限不存在．如ｎ。＝ＦＩ（ｏｌｄ０＿：Ｄ／／／、。图２推论２的证明咒，玩＝（一１）一，则ｌｉｍ争＝ｏ，但ｌｉｍ争哮不存在．要求数列（６。）也单调的反例如％＝珂，以＝｛：二２徽舅纛删墼鲁乩但墼臻不存在．０，多次应用Ｓｔｏｌｚ定理可得多阶差分的Ｓｔｏｌｚ定理的描述． 对于数列ｚ。，定义其０阶向前差分为△牟毛一ｚ。，一阶向前差分为△＋ｚ＿２ ｚｎ＋１一ｚｎ，注意到定理１中条件（ｉ）为口计，一％＞０，即｛口。｝的一阶向前差分如。一口抖。一如＞万 　 方数据５期刘利刚：从Ｓｔｏｌｚ定理到Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则１６５ｋ阶差分为 △牟ｚ。＝△＃１ｚ。＋。一△，１厶＝∑（一１）‘Ｃｉｘ矗＋。一；，ｈ＞１．定理２（向前差分Ｓｔｏｌｚ定理）设ｋ∈Ｎ，数列｛ａ。），｛玩｝满足条件： （ｉ）｛△｝１ ａ。）严格单调递增；（ｉｉ）ｌｉｍ△？１ ａ。一＋ｏｏ；（ｉｉｉ）下列极限存在！恶爰去一ｚ（有限或±ｏｏ），则１ｉｍ生：Ｚ．ｎ?∞ａ“类似地有关于向后差分的Ｓｔｏｌｚ定理．显然，在定理２中当矗＝１时即为定理１．２连续型Ｓｔｏｌｚ定理型Ｓｔｏｌｚ定理的几何解释启发不难得到以下函数型的Ｓｔｏｌｚ定理：、设数列｛ａ。｝，｛ｂｎ｝分别是两个函数ｇｏ），厂（ｚ）上的等间隔（间隔为１）采样点，根据离散 定理３设（ｉ）函数厂Ｑ）在区间（口，＋ｏｏ）内的任何有限区间上有界； （ｉｉ）函数ｇ（ｚ）在区间（口，＋ｏｏ）上单调增加；（ｒｉｄ（ｉｖ）一ｌｉｍ＋。。言毫｛≥煳一ｚ（有限或土ｏｏ），则 ．１ｉｍ掣：ｚ．ｚ一＋一ｇＬｚ，ｌｉｒａ ｇ（ｚ）＝＋ｏｏ；证明可见［２］．在定理３中，令厂（ｚ）＝ｂ。，ｚ∈■，，ｚ＋１），ｇ（ｚ）＝ａ。，ｚ∈■，挖＋１），即 得到离散Ｓｔｏｌｚ定理．若令ｇ（ｚ）一Ｘ，可得以下推论［２，３］： 推论４设（ｉ）函数厂ｏ）在区间ｏ，＋ｏｏ）内的任何有限区间上有界；（ｉｉ）ｌｉｒａｆ（ｘ＋１）一厂ｏ）一ｚ（有限或士ｏｏ），则ｚ一＋∞ｌｉｍ丛型一ｚ． Ｚ这个结果是属于Ｃａｕｃｈｙ的，通常称为Ｃａｕｃｈｙ定理．其几何意义是，若函数厂（ｚ）满足推 论４中的条件，则厂（ｚ）具有斜率为ｚ的渐进线． 若以间隔为正数丁＞０采样函数ｇ（ｚ），厂（ｚ）得到数列｛ａ。），｛以｝，则有更一般的连续 型Ｓｔｏｌｚ定理［２，３］： 定理４设丁＞０，（ｉ）函数厂（ｚ）在区间（口，＋ｏｏ）内的任何有限区间上有界； （ｉｉ）函数ｇ（ｚ）在区间ｏ，＋ｏｏ）上单调增加；（ｉｉｉ）ｌｉｒａ ｇ（ｚ）＝＋。。；（ｉｖ）．。坚％磐格号船一啉限或±ｏｏ）删 ｌｉｒａ掣：ｚ．ｚ一＋一ｇＬｚ，令ｇ（ｚ）＝Ｘ，可得以下推论：万 　 方数据１６６数．学的实践与认识３８卷推论５设Ｔ＞０，（ｉ）函数厂ｏ）在区间（口，＋ｏｏ）内的任何有限区间上有界；（ｉｉ）ｌｉｍ参堕二王２二ｊ丛生：ｌ（有限或士ｏｏ），则ｌｉｍ塑：ｚ．下面介绍函数，ｏ）关于正数丁＞０的差分．函数厂（ｚ）关于Ｔ的一阶向前差分定义为Ａｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）一厂（ｚ），关于丁的ｋ阶向前差分定义为△々，（ｚ）一寄，ｆ（ｘ＋丁）一△？１厂（ｚ）＝Ｅ（一１）‘Ｃｉｆ（ｘ十是丁一ｉＴ），是＞１类似于离散型的向前差分Ｓｔｏｌｚ定理，同样有连续型的向前差分Ｓｔｏｌｚ定理［４］． 定理５设丁＞０，ｋ∈Ｎ，（ｉ）函数厂（ｚ）在区间（口，＋ｃｏ）内的任何有限区间上有界； （ｉｉ）函数△？１ ｇ（ｚ）在区间（口，＋ｏｏ）上单调增加； （ｉｉｉ）ｌｉｍ厶≯１ ｇ（ｚ）＝＋ｏｏ；（ｉｗ：望巴毵等一ｚ（有限或±ｏｏ）＇贝ｎ ｌｉｍ馔：ｚ．３Ｌ７Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则在上述推论５中，考虑到正数丁的任意性，当丁充分小时，条件（ｉｉ）是否可近似为ｌｉｒａ尸（ｚ）＝Ｚ，即是否有以下结论？ 定理６设函数厂ｏ）在区间ｏ，＋ｏｏ）内可微，且ｌｉｍ尸（ｚ）一Ｚ（有限或±ｏｏ），则ｐ＋∞ｌｉｍ』垡：ｚ．Ｚ由微分中值定理不难证明，上述结论是正确的［３］．同样的分析，在定理４中让正数丁趋 向于０，可得： 定理７（Ｌ７Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则）（ｉｉ）ｌｉｍ设（ｉ）函数厂（ｚ），ｇ（ｚ）在区间（口，＋ｏｏ）内可微；ｇ（ｚ）一十∞；（ｉｉｉ）一ｌｉ＋ｒａ。多器＝ｚ（有限或士ｃｏ），则此即毒型Ｉ。７Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则［１，２，３］．．１ｉｍ罂：１．２―－＋。ｇｋｘ）Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则的几何解释是：以（ｇ（ｆ），厂（￡））构成的参数曲线Ｐ（ｔ），若切线的斜率参等当ｆ一＋ｏｏ时极限存在ｚ，则曲线上的点到原点。矢径的斜率船的极限也存在且为ｚ，如图３所示． 定理７中令ｇ（ｚ）＝Ｘ可得到定理６．定理７中将“ｚ一＋ｏｏ”换成“ｚ―ａ，ｚ―ａ＋，Ｘ万 　 方数据５期刘利刚：从Ｓｔｏｌｚ定理蓟Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则１６７／Ｄ／Ｉ，，，，：歹ｊ；三：！：：；：：ｉ蠢彳。（ｇ’（ｆ），ｆ’（ｆ））图３Ｌ ７Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则的几何解释一ａ一，ｚ一一ｏ。”后，结论仍然成立，相应的Ｉ。７Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则就不详述． 类似于差分Ｓｔｏｌｚ定理，多次应用Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则，有以下推广的Ｉ，’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则． 定理８设五∈Ｎ，（ｉ）函数厂ｏ），ｇ（ｚ）在区间（口，＋ｏｏ）内ｋ阶可微；（ｉｉ）ｌｉｍ ｇ（ｚ）＝ｌｉｍ，抽）厂巾、９７＠）一…＝ｌｉｍ ｇ‘卜１’（ｚ）＝＋０９．；ｚ一＋∞ｚ一十∞ｐ’十”（ｉｉｉ）１１罂每卉鼍＝ｚ（有限或士ｃｏ），则 聋?十ｏｏ ＼＾，Ｘ’ｌｉｍ马婴：ｚ．。一＋一ｇＬｚＪ至此，我们已完成了从离散型Ｓｔｏｌｚ定理到连续型Ｓｔｏｌｚ定理，再到Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则的理解过 程．并且可知Ｌ７Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则是连续的Ｓｔｏｌｚ定理；而Ｓｔｏｌｚ定理是离散型的Ｉ。’Ｈｏｓｐｔｉａｌ法则．对于关型的Ｓｔｏｌｚ定理和Ｉ。７Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则也有对应的一系列定理，限于篇幅在此就不叙述．本文系统地分析了这些定理之间的关系，而这些定理和结论是各教程中的常见习题．参考文献； ［１］欧阳光中，姚允龙．周渊．数学分析（上册）［Ｍ］．上海；复旦大学出版社。２００３．．［２］王向东。高成修，安枫灵．数学分析的概念与方法（上册）［Ｍ］．上海：上海科学技术文献出版社，１９８８． ［３］斐礼文．数学分析中的典型问题与方法［Ｍ］．北京：高等教育出版杜，１９９３． ［４］杨姗姗，刘健，马跃超。Ｓｔｏｌｚ定理推广定理的推广［Ｊ］．数学的实践与认识，２００３，３３（６）：１１７一１２０．Ｓｔｏｌｚ Ｔｈｅｏｒｅｍ ｔｏ Ｌ７ Ｈｏｓｐｉｔａｌ ＲｕｌｅＬＩＵ Ｌｉ―ｇａｎｇ（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｎｇｚｈｏｕ ３１００２７，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｄｅｒｉｖａｔｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｆｒｏｍ Ｓｔｏｌｚ ｔｈｅｏｒｅｍ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｓＫｅｙｗｏｒｄｓ：ａｒｅｔｏＬ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ ｒｕｌｅ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ａｎｄ ｔｈｅｉｒｏｂｔａｉｎｅｄ． ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅＳｔｏｌｚ ｔｈｅｏｒｅｍ；Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ ｒｕｌｅ；ｌｉｍｉｔＩ万 　 方数据
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求函数最小最大值定理的证明
在一个区间上必有最大值和最小值
用求导数的方法：
1〉求函数的导数f'(x)
2〉代入区间(X1,X2)求出具体导数值f'(x)
3〉与0作比较：
f'(x)&0→递增，在X2处取最大值
f'(x)&0→递减，在X2处取最小值
f'(x)=0→无单调性，水平线
在有限闭区间上一定有最大值和最小值。
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拍照搜题，秒出答案
利用stolz定理证明如下结论（如图）
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(3)直接用Stolz引理即可.(1)两边取对数,要证lim 1/n * (ln x1 + ln x2 + ...+ ln xn) = ln a由于lim ln xn = ln a (就是(3))所以上式成立.注意,当a=0时.ln a为负无穷,Stolz引理仍成立(2)利用(1),(xn)^(1/n) = (x1 * x2/x1 * x3/x2 * ...* xn/x(n-1))^(1/n)对于数列x1,x2/x1,x3/x2,...,xn/x(n-1),...,lim xn+1/xn = a把(1)中的xn换成xn/x(n-1),知(2)成立应用stolz定理的证明题：f(x)连续,f(x+1)-f(x)的极限为A,求f(x)/x的极限为A._百度作业帮
拍照搜题，秒出答案
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f(x)/x的极限等于f(n)/n的极限（根据归结原则,即海涅定理）,再由stolz定理,得f(n)/n的极限等于【f(n)-f(n-1)】/【n-(n-1)】的极限,即f(n)-f(n-1)的极限等于f(x+1)-f(x)的极限,为A
有Stolz定理ms很显然。取Bn=x即可。
F（x）=9+A+1=0