高数极限习题问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2015-08-26 01:39 标签： 高数极限
一个高数求极限问题_百度知道
一个高数求极限问题
lim ((a^(x+1)+b^(x+1)+c^(x+1))/(a+b+c))^(1/x)=lim e^(ln((a^(x+1)+b^(x+1)+c^(x+1))/(a+b+c)) /x)
（换底）=lim e^(a^(x+1)lna+b^(x+1)lnb+c^(x+1)lnc)
（洛必达法则）=e^(alna+blnb+clnc)
（x+1-&1）=(a^a)*(b^b)*(c^c)
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解：（1）lim(x-&0)[(1+3tanx)^cotx]=lim(x-&0){[(1+3tanx)^(1/(3tanx))]^(3tanx*cotx)}
=e^[lim(x-&0)(3tanx*cotx)]
(应用重要极限lim(z-&0)[(1+z)^(1/z)]=e)
（2）lim(x-&∞){[(2x-1)/(2x+1)]^(3x)}=lim(x-&∞){[(1+(-2)/(2x+1))^((2x+1)/(-2))]^[(-6x)/(2x+1)]}
=e^{lim(x-&∞)[(-6x)/(2x+1)]}
(应用重要极限lim(z-&0)[(1+z)^(1/z)]=e)
（3）lim(x-&0)[(tanx-sinx)/x^3]=lim(x-&0)[sinx(1/cosx-1)/x^3]
=lim(x-&0)[2sin²(x/2)*sinx/(cosx*x^3)]
=lim(x-&0)[(1/(2cosx))*(sinx/x)*(sin(x/2)/(x/2))²]
=(1/2)*1*1
(应用重要极限lim(x-&0)(sinx/x)=1)
（4）lim(x-&∞)[(1+2^n+3^n)^(1/n)]=lim(x-&∞){e^[ln(1+2^n+3^n)/n]}
=e^{lim(x-&∞)[ln(1+2^n+3^n)/n]}
(应用初等函数连续性)
=e^{lim(x-&∞)[(2^n*ln2+3^n*ln3)/(1+2^n+3^n)]}
(应用罗比达法则)
=e^{lim(x-&∞)[((2/3)^n*ln2+ln3)/(1+(1+2^n)/3^n)]}
（5）∵1/(1+1/n)=n²/(n²+n)≤n[1/(n²+1)+1/(n²+2)+......+1/(n²+n)]≤n²/(n²+1)≤1
又lim(x-&∞)[1/(1+1/n)]=1
∴根据夹逼定理知，lim(x-&∞){n[1/(n²+1)+1/(n²+2)+......+1/(n²+n)]}=1；
（6）lim(x-&∞){[x√xsin(1/x)]/[√x-1]}=lim(x-&∞){[√x/(√x-1)][sin(1/x)/(1/x)]}
=lim(x-&∞)[√x/(√x-1)]*lim(x-&∞)[sin(1/x)/(1/x)]
=lim(x-&∞)[1/(1-1/√x)]*lim(x-&∞)[sin(1/x)/(1/x)]
(应用重要极限lim(x-&0)(sinx/x)=1)
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高数函数极限问题题为例5：证明：当Xo&0时lim(X趋近于Xo）根号下X=根号下Xo图中第二条线划线部分：且X大于等于0,而X大于等于0可用|X-Xo|小于等于Xo保证,我想问|X-Xo|小于等于Xo是怎么得出来的?
高数吧,极限的定义证明要求不高,此题书上的你说的|x-x0|0,你第一个画横线的式子去掉那个等号后是恒成立的,直接取δ=ε√x0就行了,因为你最终证明的式子是不需要等号的,按他的说法只不过是加重你的负担.高等数学经典求极限方法_百度文库
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