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高一数学函数y=f(x)中f是什么意思
函数y=f(x)中f是什么意思
函数（function）
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高一数学函数奇偶性
怎样判断函数f（x）的定义域是否关于原点对称？比如呢？
提问者采纳
如果定义域是全体实数，那肯定就是关于原点对称了。如果定义域不是全体实数，比如是全体正实数，那定义域在x轴的负半轴上都不能取值，当然更谈不上是对称了。。。。再比如定义域是全体负实数，那定义域在x轴正半轴也不能取值，所以定义域也不是关于原点对称。。。。举个例子：f（x）=1/(1-x)此题的定义域是x不等于1，那么如果定义域要是关于原点对称，x也不能等于-1。。。。。再举个例子：f（x）=x的偶次方根。此题的定义域是x非负，x非负这个取值，关于原点的对称区间是x非正。。。所以两个例子中的定义域都不是关于原点对称的。我们一般在讨论一个函数的奇偶性时，才会关注定义域的取值。定义域是关于原点对称的，函数才有可能是奇函数或者偶函数。如果一个函数，它的定义域不是关于原点对称的，那么都没有“资格”成为奇函数或者偶函数。~
提问者评价
谢谢啦~~~~~
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其他4条回答
看是否关于零点对称。（-2，2）就对称。但（-2，3）就不行。（-2，2】也不行。判断对称后，函数关于原点对称为奇，关于y轴对称为偶。表达式表示：如y=f(x)若y=f(-x)为偶函数，若y=-f(-x)为奇函数
任意取定义域中的一点X，看负X在不在此定义域中，如果都在，就是关于原点对称，只要有一点不在，就不对称（－4，4）就对称（－4，4】就不对称，因为取X=4,那么负X＝－4，－4不在此定义域中，所以关于原点不对称
我想楼上的分析的很全面。高手，学习了
先求定义域，再将f(x)列出，能否是否等于－f（－x）
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高一数学必修一函数及其表示-函数的概念
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高一数学函数、函数与方程知识点总结
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高一数学函数的对称性知识点总结
来源：互联网&&
　　函数是高一数学中的一个重要知识点，函数有许多性质，在试题中经常出现各种性质的考查。函数的对称性是函数的一个基本性质，本文从函数自身的对称性和不同函数之间的对称性两个方面来讲解函数对称性相关的知识点。
　　一、 函数自身的对称性探究
　　定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是
　　f (x) + f (2a-x) = 2b
　　证明：(必要性)设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'(2a-x，2b-y)也在y = f (x)图像上，∴ 2b-y = f (2a-x)
　　即y + f (2a-x)=2b故f (x) + f (2a-x) = 2b，必要性得证。
　　(充分性)设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)
　　∵ f (x) + f (2a-x) =2b∴f (x0) + f (2a-x0) =2b，即2b-y0 = f (2a-x0) 。
　　故点P'(2a-x0，2b-y0)也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。
　　推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (-x) = 0
　　定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是
　　f (a +x) = f (a-x) 即f (x) = f (2a-x) (证明留给读者)
　　推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (-x)
　　定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称(a&b)，则y = f (x)是周期函数，且2 a-b是其一个周期。
　　②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 (a&b)，则y = f (x)是周期函数，且2 a-b是其一个周期。
　　③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称(a&b)，则y = f (x)是周期函数，且4 a-b是其一个周期。
　　①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
　　∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，
　　∴f (x) + f (2a-x) =2c，用2b-x代x得：
　　f (2b-x) + f [2a-(2b-x) ] =2c&&&&&&(*)
　　又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，
　　∴ f (2b-x) = f (x)代入(*)得：
　　f (x) = 2c-f [2(a-b) + x]&&&&(**)，用2(a-b)-x代x得
　　f [2 (a-b)+ x] = 2c-f [4(a-b) + x]代入(**)得：
　　f (x) = f [4(a-b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4 a-b是其一个周期。
　　二、 不同函数对称性的探究
　　定理4. 函数y = f (x)与y = 2b-f (2a-x)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。
　　定理5. ①函数y = f (x)与y = f (2a-x)的图像关于直线x = a成轴对称。
　　②函数y = f (x)与a-x = f (a-y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。
　　③函数y = f (x)与x-a = f (y + a)的图像关于直线x-y = a成轴对称。
　　定理4与定理5中的①②证明留给读者，现证定理5中的③
　　设点P(x0 ,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0)。记点P( x ,y)关于直线x-y = a的轴对称点为P'(x1， y1)，则x1 = a + y0 , y1 = x0-a ，∴x0 = a + y1 , y0= x1-a 代入y0 = f (x0)之中得x1-a = f (a + y1) ∴点P'(x1， y1)在函数x-a = f (y + a)的图像上。
　　同理可证：函数x-a = f (y + a)的图像上任一点关于直线x-y = a的轴对称点也在函数y = f (x)的图像上。故定理5中的③成立。
　　推论：函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
　　三、 三角函数图像的对称性列表
　　注：①上表中k&Z
　　②y = tan x的所有对称中心坐标应该是(k&/2 ,0 )，而在岑申、王而冶主编的浙江教育出版社出版的21世纪高中数学精编第一册(下)及陈兆镇主编的广西师大出版社出版的高一数学新教案(修订版)中都认为y = tan x的所有对称中心坐标是( k&, 0 )，这明显是错的。
　　四、 函数对称性应用举例
　　例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5-x) = f (5+x),则f (x)一定是( ) (第十二届希望杯高二 第二试题)
　　(A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数
　　(C)是奇函数，也是周期函数 (D)是奇函数，但不是周期函数
　　解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10-x).
　　∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。
　　故选(A)
　　例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x-1)和g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=( )。
　　(A) 1999; (B)2000; (C)2001; (D)2002。
　　解：∵y = f(x-1)和y = g-1(x-2)函数的图像关于直线y = x对称，
　　∴y = g-1(x-2) 反函数是y = f(x-1)，而y = g-1(x-2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x-1) = 2 + g(x), ∴有f(5-1) = 2 + g(5)=2001
　　故f(4) = 2001,应选(C)
　　例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1-x),当-1&x&0时，
　　f (x) = - x，则f (8.6 ) = _________ (第八届希望杯高二 第一试题)
　　解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴;
　　又∵f(1+x)= f(1-x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (-0.6 ) = 0.3
　　例4.函数 y = sin (2x + )的图像的一条对称轴的方程是( )(92全国高考理) (A) x = - (B) x = - (C) x = (D) x =
　　解：函数 y = sin (2x + )的图像的所有对称轴的方程是2x + = k +
　　∴x = - ,显然取k = 1时的对称轴方程是x = - 故选(A)
　　例5. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= -f(x),当0&x&1时，
　　f (x) = x，则f (7.5 ) = ( )
　　(A) 0.5 (B) -0.5 (C) 1.5 (D) -1.5
　　解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点(0，0)是其对称中心;
　　又∵f (x+2 )= -f (x) = f (-x)，即f (1+ x) = f (1-x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。
　　∴f (7.5 ) = f (8-0.5 ) = f (-0.5 ) = -f (0.5 ) =-0.5 故选(B)
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