常微分高等数学导数与微分学

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-01-05 05:23 标签： 高等数学常微分方程
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视频: 考研数学《高等数学》数学一常微分方程第27讲
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考研数学《高等数学》数学一常微分方程第27讲
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2015年成人高考专升本高等数学复习:常微分方程(一)
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基本概念和一阶微分方程
（甲） 内容要点
一、基本概念
1、 常微分方程和阶 2、解、通解和特解3、初始条件4、齐次线性方程和非齐次线性方程
二、变量可分离方程及其推广
1、 dy?p(x)Q(y)dx(Q(y)?0)
2、齐次方程：dy?dx?y?f??
三、一阶线性方程及其推广
1、dydy?P(x)y?Q(x)
2、?P(x)y?Q(x)y?
dxdx(??0,1)
四、全微分方程及其推广（数学一）
1、 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,满足?Q?P ??x?y
2、 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0,
五、差分方程（数学三）
（乙）典型例题
例1、求y?x22?Q?p?(RQ)?(RP)?但存在R(x,y)，使? ?x?y?x?ydydy?xy的通解。 dxdx
解：y?(x?xy)22dy?0dx?y???dyy2?x? ??dxxy?x2?y????1?x?2
?令?u,则u?x
udx?x(1?u)du?0 xdxu?1
1?udxdu??u?x?C1
ln|xu|?u?C1
C1?u?ce,?y?ce dyy?的通解 dxx?y4uyx求微分方程
dxx?y4dx1解：此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程?即?x?y3是一阶dyydyy
11??dy?14?dy?133yydy?C??y?Cy 线性方程P(y)??,Q(y)?y
x?e??yey????3
设y?e是xy??p(x)y?x的一个解，求此微分方程满足yx?ln2?0的特解
x?xx解：将y?e代入微分方程求出P(x)?xe
先求出对应齐次方程?x,方程化为dy?(e?x?1)y?1 dx?x?xdy?(e?x?1)y?0的通解y?cex?e根据解的结构立刻可得非齐次方程通解y?ex?cex?e dx
再由yx?ln2?0得2?2ec?0,c??e
故所求解y?e?exx?e?x?12 满足以下条件F(x)?f(x)g(x),其中f(x)，g(x)在(??,??)内
f?(x)?g(x),g?(x)?f(x),且f(0)?0,f(x)?g(x)?2ex
（1）求F(x)所满足的一阶微分方程
（2）求出F(x)的表达式
解：（1）由F?(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?g2(x)?f2(x)?[f(x)?g(x)]2?2f(x)g(x)?(2ex)2?2F(x) 可知F(x)所满足的一阶微分方程为F?(x)?2F(x)?4e2x
（2）F(x)?e??2dx??4e2x?e?2dxdx?c?e?2x?4e4xdx?c?e2x?ce?2x ???
将F(0)?f(0)g(0)?0代入，可知c??1
2F(x)?e2x?e?2x dy2?(1?y)的通解 求微分方程(y?x)?xdx
sec2udu?sec3u 解：令y?tanu,x?tanv, 原方程化为(tanu?tanv)secv2secvdv
化简为sin(u?v)dudzdudz?1
再令z?u?v,则??1,方程化为 sinz?1?sinz dvdvdvdv
sinz(sinz?1)?1dz?dv?c,?1?sinz??1?sinzdz?v?c,
1?sinz?v?c21?sinz
1?sinz?z???v?c 2cosz
?z?tanz?secz?v?c?z??
最后Z再返回x,y,v也返回x,即可。
§4.2 特殊的高阶微分方程（数学四不要）
（甲）内容要点
一、可降阶的高阶微分方程
二、线性微分方程解的性质与结构
我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程
y???p(x)y??q(x)y?0
（1） 二阶非齐次线性方程
y???p(x)y??q(x)y?f(x) （2）
1、 若y1(x),y2(x)为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合C1y1(x)?C2y2(x)（C1,C2为任意常数）仍
为同方程的解，特别地，当y1(x)??y2(x)(?为常数)，也即y1(x)与y2(x)线性无关时，则方程的通解为y?C1y1(x)?C2y2(x)。
2、 若(x)为二阶非齐次线性方程的一个特解，而C1y1(x)?C2y2(x)为对应的二阶齐次线性方程的通解（C1,C2为
独立的任意常数）则y?(x)?C1y1(x)?C2y2(x)是此二阶非齐次线性方程的通解。
3、 设y1(x)与y2(x)分别是y???p(x)y??q(x)y?f1(x)与
y???p(x)y??q(x)y?f2(x)的特解，则y1(x)?y2(x)是 y???p(x)y??q(x)y?f1(x)?f2(x)的特解
三、二阶常系数齐次线性方程
y???py??qy?0,
p,q为常数 ?2?p??q?0
特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式
（1）当??p?4q?0,特征方程有两个不同的实根?1,?2则方程的通解为
（2）当??p?4q?0,特征方程有而重根?1??2，则方程的通解为
222y?C1e?1x?C2e?2x y?(C1?C2x)e?1x ?x （3）当??p?4q?0,特征方程有共轭复根??i?, 则方程的通解为 y?e(C1cos?x?C2sin?x)
四、二阶常系数非齐次线性方程
方程 通解 y???py??qy?f(x)其中p,q为常数 y??C1y1(x)?C2y2(x) 其中C1y1(x)?C2y2(x)为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次
线性方程的一个特解y如何求？
我们根据f(x)的形式，先确定特解y的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解y,常见的f(x)的形式和相对应地y的形式如下：
1、f(x)?pn(x), 其中pn(x)为n 次多项式
（1）若0不是特征根，则令y?Rn(x)?a0xn?a1xn?1???an?1x?an其中ai(i?0,1,2,?,n)为待定系数。
（2）若0是特征方程的单根，则令y?xRn(x)
（3）若0是特征方程的重根，则令y?x2Rn(x)
2、f(x)?pn(x)e?x 其中pn(x)为n次多项式，?为实常数
（1）若?不是特征根，则令y?Rn(x)e?x
（2）若?是特征方程单根，则令y?xRn(x)e?x
（3）若?是特征方程的重根，则令y?x2Rn(x)e?x
3、f(x)?pn(x)e?xsin?x或f(x)?pn(x)e?xcos?x 其中pn(x)为n次多项式，?,?皆为实常数
（1）若??i?不是特征根，则令?e?x[Rn(x)cos?x?Tn(x)sin?x]
其中Rn(x)?a0xn?a1xn?1???an?1x?an
ai(i?0,1,?n)为待定系数
Tn(x)?b0xn?b1xn?1???bn?1x?bn
bi(i?0,1,?n)为待定系数
（2）若??i?是特征根，则令y?xe?x[Rn(x)cos?x?Tn(x)sin?x]
五、欧拉方程（数学一）
xny(n)?p1xn?1y(n?1)???pn?1xy??pny?0, 其中pi(i?1,2,?,n)为常数称为n阶欧拉方程，令x?et代入方程，变为t是自变量，y是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程
（乙） 典型例题
例1 求(1?x)y???y??ln(x?1)的通解
解：令y??p,则y???p?,原方程化为(x?1)p??p?ln(x?1)
p??1ln(x?1)p?
属于一阶线性方程 x?1x?1
dx?ln(x?1)?x1?C11?1?ln(x?1)dx?C?ln(x?1)?1?dx?C
??11??x?1x?1?x?1?p?e??1dxx?1??
C??y???ln(x?1)?1?1?dx?C2 ?(x?C1)ln(x?1)?2x?C2 x?1??
例2 求下列微分方程的通解
yy???(y?)?1?0 2

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