已知函数f(x)=lnx-axx㏑ax(a<0)的递减区间为

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-03-03 15:04 标签： 已知函数f(x)=lnx-ax
已知常数a＞0函数f（x）=lnx- （1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2且f（x1）+f（x2）＞-6ln2，求a的取值范围．
①当0≤a≤2△≤0，g（x）≥0
∴f′（x）≥0，函数f（x）在（0+∞）上单调递增，
若f′（x）＞0可得0＜x＜x1或x＞x2f（x）为增函数，
若f′（x）＜0可得＜x1＜x＜x2，f（x）为减函数
∴函数f（x）的增区间为（0，x1）（x2，+∞）；减区间为（x1x2）；
（2）由（1）当a＞2，函数f（x）有两个极值点x1x2，
（I）先求出f（x）的定义域对f（x）进行求导，求出f（x）的导数令f′（x）=0，求出极值点利用导数研究函数的单调性；（II）根据第一问知道函数的单调性，可得方程f′（x）=0的两个根为x1x2，代入f（x1）+f（x2）对其进行化简，求证即可．
利用导数研究函数的极值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性考查了利用导数研究函数的极值，体現了数学转化思想方法考查了函数零点的判断，是压轴题．
（2013?保定一模）设函数f（x）=ln（1+x）- （1）求函数f（x）的极值；
（2）当a＞0时若对任意的x≥0，恒有f （x）≥0求实数a的取值范围；
（3）设x∈N且x＞2，试证明：lnx＞
（1）函数f（x）的定义域为（-1+∞），
①当a≤0时恒有x+1-a＞0，恒有f′（x）＞0f（x）在（-1，+∞）上单调递增无极值；
当x∈（-1，a-1）时f′（x）＜0，当x∈（a-1+∞）时，f′（x）＞0
故函数f（x）在（-1，a-1）上单调递减在（a-1，+∞）上单调递增
故当x=a-1时f（x）取得极小值，无极大值极小值为f（a-1）=lna+1-a．
（2）当0＜a≤1时，y=f（x）在（0+∞）上单调递增，f（x）≥f（0）=0所以满足题意；
当a＞1时，由（1）可知应有f（a-1）=lna+1-a≥0（*）成立
，g′（a）＜0g（a）在（1，+∞）上單调递减
所以g（a）＜0，即f（a-1）=g（a）＜0与（*）不符，
所以a的取值范围是0＜a≤1．
（3）由（2）可知ln（1+x）≥
（1）求出函数的定义域，f′（x）=
分a≤0，a＞0两种情况讨论由f′（x）的符号可判断函数单调性，根据单调性可判断函数极值；
（2）对任意的x≥0恒有f （x）≥0等价于f（x）min≥0，按0＜a≤1a＞1两种情况讨论，借助（1）问结论可求得函数f（x）的最小值；
（3）由（2）可知ln（1+x）≥
），利用不等式进行放缩整理可得结論；
利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．
本题考查利用导数研究函数的极值、在闭区间上的最值，考查不等式的證明考查分类讨论思想，考查解决问题的能力解决（3）问的关键是借助（2）得到不等式，然后对lnx进行恰当变形．
已知常数a＞0函数f（x）=lnx- （1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2且f（x1）+f（x2）＞-6ln2，求a的取值范围．
①当0≤a≤2△≤0，g（x）≥0
∴f′（x）≥0，函数f（x）在（0+∞）上单调递增，
若f′（x）＞0可得0＜x＜x1或x＞x2f（x）为增函数，
若f′（x）＜0可得＜x1＜x＜x2，f（x）为减函数
∴函数f（x）的增区间为（0，x1）（x2，+∞）；减区间为（x1x2）；
（2）由（1）当a＞2，函数f（x）有两个极值点x1x2，
（I）先求出f（x）的定义域对f（x）进行求导，求出f（x）的导数令f′（x）=0，求出极值点利用导数研究函数的单调性；（II）根据第一问知道函数的单调性，可得方程f′（x）=0的两个根为x1x2，代入f（x1）+f（x2）对其进行化简，求证即可．
利用导数研究函数的极值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性考查了利用导数研究函数的极值，体現了数学转化思想方法考查了函数零点的判断，是压轴题．

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