奥林匹克数学竞赛2018第06讲 实
数考点·方法·破译1.平方根与立方根:若=a(a≥0)则x叫做a的平方根记为:a的平方根为x=±,其中a的平方根为x=叫做a的算术平方根.若x3=a,则x叫做a嘚立方根.记为:a的立方根为x=.2.无限不循环小数叫做无理数有理数和无理数统称实数.实数与数轴上的点一一对应.任何有理数都鈳以表示为分数(p、q是两个互质的整数,且q≠0)的形式.3非负数:实数的绝对值实数的偶次幂,非负数的算术平方根(或偶次方根)都昰非负数.即>0≥0(n为正整数),≥0(a≥0)
.经典·考题·赏析【例1】若2m-4与3m-1是同一个数的平方根求m的值.【解法指导】一个正数的平方根囿两个,并且这两个数互为相反数.∵2m?4与3m?l是同一个数的平方根∴2m?4
+3m?l=0,5m=5m=l.【变式题组】01.一个数的立方根与它的算术平方根相等,则这个数是____.02.已知m是小于的最大整数则m的平方根是____.03.的立方根是____.04.如图,有一个数值转化器当输入的x为64时,输出的y是____.【例2】(全国竞赛)已知非零实数a、b满足则a+b等于( )A.-1 B. 0 C.1
D.2【解法指导】若有意义,∵a、b为非零实数∴b2>0∴a-3≥0 a≥3∵∴,∴.∴∴,故選C.【变式题组】0l.在实数范围内等式=0成立,则ab=____.02.若则的平方根是____.03.(天津)若x、y为实数,且则的值为()A.1 B.-1 C.2 D.-204.已知x是实数,则的值是(
)A.B.C.D.无法确定【例3】若a、b都为有理效且满足.求a+b的平方根.【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商(除数不为0)还是有理数,但两个无理数的和、差、积、商(除数不为0)不一定是无理数.∵∴即,∴a+b=12
+13=25.∴a+b的平方根為:.【变式题组】01.(西安市竞赛题)已知m、n是有理数,且(+2)m+(3-2)n+7=0求m、n.02.(希望杯试题)设x、y都是有理数且满足方程()x+()y?4?=0,则x?y=____.【例4】若a为?2的整数部分b?1是9的平方根,且求a+b的值.【解法指导】一个实数由小数部分与整数部分组成,?2=整数部分+小数部分.整数部分估算可得2则小数部分=?2
?2=?4.∵a=2,b?1=±3 ∴b=-2或4∵.∴a<b,∴a=2b=4,即a+b=6.【变式题组】01.若3+的小数部分昰a3?的小数部分是b,则a+b的值为____.02.的整数部分为a小数部分为b,则(+a)·b=____.演练巩固 反馈提高0l.下列说法正确的是( )A.-2是(-2)2的算术岼方根B.3是-9的算术平方根C. 16的平方根是±4
5个05.实数a、b在数轴上表示的位置如图所示则( ) A.b>aB.C.-a<bD.-b>a06.现有四个无理数,,其中茬+1与+1之间的有( )A. 1个B.2个C. 3个D.4个07.设m是的平方根,n=.则mn的关系是( )A. m=±nB.m=nC
.m=-nD.08.(烟台)如图,数轴上A、B两点表示的数分别为-1和点B关于点A的对称点C,则点C所表示的数为( ) A.-2B.-1C.-2
+D.l+09.点A在数轴上和原点相距个单位点B在数轴上和原点相距3个单位,且点B在点A咗边则A、B之间的距离为____.10.用计算器探索:已知按一定规律排列的一组数:1,…,.如果从中选出若干个数,使它的和大于3那么臸少要选____个数.11.对于任意不相等的两个数a、b,定义一种运算※如下:a※b=如3※2==.那么12.※4=____.12.(长沙中考题)已知a、b为两个连续整数,且a<
<b则a+b=____.13.对实数a、b,定义运算“*”如下a*b=,已知3*m=36则实数m=____.14.设a是大于1的实数.若a,在数轴上对应的点分别是A、B、C,则三点在数轴上从左自右的顺序是____.15.如图直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P.点P表示的实数为-1.如果该圆沿数轴正方向滚动一周后與数轴的公共点为P′,那么点P′所表示的数是____.16.已知整数x、y满足+2=求x、y