如何记忆这组角元塞瓦定理证明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2016-08-21 08:06 标签： 塞瓦定理逆定理证明
[转载]梅涅劳斯定理
定理的证明　　证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1
　　必要性证明：
　　过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，
　　则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。
　　三式相乘得：(AF/FB)&(BD/DC)&(CE/EA)=(AG/BD)&(BD/DC)&(DC/AG)=1
　　过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF
　　所以有AF/FB&BD/DC&CE/EA=AF/FB&FB/PF&PF/AF=1
　　连接BF。
　　（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)
　　=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）
　　=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）
　　过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'
　　有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似， 三式相乘得1
　　得证。如百科名片中图。
　　充分性证明：
　　△ABC中，BC，CA，AB上的分点分别为D，E，F。
　　连接DF交CA于E'，则由充分性可得，(AF/FB)&(BD/DC)&(CE'/E'A)=1
　　又∵(AF/FB)&(BD/DC)&(CE/EA)=1
　　∴有CE/EA=CE'/E'A，两点重合。所以DEF共线
在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三线交于一点的是λμν=-1。（注意与塞瓦定理相区分，那里是λμν=1）
　　此外，用[1]该定理可使其容易理解和记忆：
　　第一角元形式的梅涅劳斯定理
如图：若E，F，D三点共线，则
　　(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1
　　即图中的蓝角正弦值之积等于红角正弦值之积
　　该形式的梅涅劳斯定理也很实用
　　证明：可用面积法推出：第一角元形式的梅氏定理与顶分顶形式的梅氏定理等价。
　　第二角元形式的梅涅劳斯定理
　　在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不与点A、B、C重合)
　　ABC为三个顶点，DEF为三个分点
　　(AF/FB)&(BD/DC)&(CE/EA)=1
　　（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）*（顶到分/分到顶）=1
　　空间感好的人可以这么记：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1
　　或者按比值画实心与空心圆。
　　另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写
　　为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。
　　我们不必考虑怎样走路程最短，只要求必须“游历”了所有的景点。只“路过”而不停留观赏的景点，不能算是“游历”。
　　例如直升机降落在A点，我们从A点出发，“游历”了其它五个字母所代表的景点后，最终还要回到出发点A。
　　另外还有一个要求，就是同一直线上的三个景点，必须连续游过之后，才能变更到其它直线上的景点。
　　从A点出发的旅游方案共有四种，下面逐一说明：
　　方案 ①
——从A经过B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后经过B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后从E经过C（不停留）回到出发点A。
　　按照这个方案，可以写出关系式：
　　（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。
　　现在，您知道应该怎样写“梅涅劳斯定理”的公式了吧。
　　从A点出发的旅游方案还有：
　　方案 ② ——可以简记为：A→B→F→D→E→C→A，由此可写出以下公式：
　　（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。从A出发还可以向“C”方向走，于是有：
　　方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可写出公式：
　　（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。 从A出发还有最后一个方案：
　　方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此写出公式：
　　（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。
　　我们的直升机还可以选择在B、C、D、E、F任一点降落，因此就有了图中的另外一些公式。
　　值得注意的是，有些公式中包含了四项因式，而不是“梅涅劳斯定理”中的三项。当直升机降落在B点时，就会有四项因式。而在C点和F点，既会有三项的公式，也会有四项的公式。公式为四项时，有的景点会游览了两次。
　　不知道梅涅劳斯当年是否也是这样想的，只是列出了一两个典型的公式给我们看看。
　　现在是否可以说，我们对梅涅劳斯定理有了更深刻的了解呢。那些复杂的相除相乘的关系式，不会再写错或是记不住吧。
　　使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其还是可以用来解决、三线共点等问题的判定方法，是学以及中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是。
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