二十八又八分之七除以（-7）等于多少?
只如初见丶Hw76
二十八又八分之七除以（-7）=-(28+7/8)÷7=-28÷7-7/8÷7=-4-1/8=-4又1/8
（二又三分之一减三又二分之一加一又四十五分之四）除以（负一又六分之一）等于多少？
（二又三分之一减去三又二分之一加上一又四十五分之四）除以（负一又六分之一）
=（7/3-7/2+49/45)/(-7/6)
=7/3/(-7/6)-7/2/(-7/6)+49/45/(-7/6)
=-2+3-14/15
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扫描下载二维码数制探源&&二十二进制
二十二进制
二十二进制是以二十二为基数作为进位的一种数制。该数制尚未发现人类使用过，为此，鄙人写到该数制可能是首次提出。刚研究时心里很没有底，便按常规模式探究一下，这一探究真还有东东。东东如何敬请博友随着思路走下去看看吧！
二十二进制每个状态在自然数制中的概率为<font FACE="楷体_GB4545….%；比十一进制每个状态的概率正好少一半；故比十一进制更能反映客观存在的本质规律。
二十二进制的状态因子为2位数的无限循环小数45。
1/22=0.…………..；其无限循环小数为45。
2/22=0.…………..；其无限循环小数为90。
3/22=0.…………..；其无限循环小数为36。
4/22=0.…………..；其无限循环小数为81。
5/22=0.…………..；其无限循环小数为27。
6/22=0.…………….；其无限循环小数为27。
7/22=0.…………….；其无限循环小数为81。
8/22=0.…………….；其无限循环小数为36。
9/22=0.…………….；其无限循环小数为90。
10/22=0.…………..；其无限循环小数为45。
11/22=0.5 ；其为有限小数5。
12/22=0.………….；其无限循环小数为45。
13/22=0.………….；其无限循环小数为90。
14/22=0.………….；其无限循环小数为36。
15/22=0.………….；其无限循环小数为81。
16/22=0.………….；其无限循环小数为27。
17/22=0.………..；其无限循环小数为27。
18/22=0.………..；其无限循环小数为81。
19/22=0.………..；其无限循环小数为36。
20/22=0.………..；其无限循环小数为90.
21/22=0.………..；其无限循环小数为45。
…………..
由此析出，二十二进制的螺旋因子有六个，即分别是由五个两位数无限循环小数45、90、36、81、27和一个一位数的有限小数5构成。
二十二进制是素数2和11的竞合，则因子也存在着二进制和十一进制的因子，即：二进制因子5和十一进制因子45、90、36、81、27。
对二十二进制的因子排序研究，可以发现一个规律，在二十进制的大螺旋循环中有两个受二进制节制的五因子正逆旋转（两组为45、90、36、81、27和27、81、36、90、45的正逆螺旋现象）的中循环和四个五因子（45、90、36、81、27）小循环。
在中螺旋循环中的正反的螺旋很有意思，很值得关注。在元素原子结构内电子层的电子轨道上最多可容纳两个自转方向的电子码？这不正是需要寻找的包含正反螺旋的螺旋函数模型吗？这一下激发了鄙人浓厚的兴趣，这个数制探源很值得。
该数制具有多种特征，它包含二进制（二元论）特征、五进制（五行学）特征和十一进制较大素数的奇点特征。同时还隐含着三进制特征，博友注意到没有，二十二进制有五个因子（45、90、36、81、27），它们都能被素数3所整除，则每个因子的转换都遵循三进制规律。
二十二进制具有多种特征，则说明其包容性大是值得研究的。
呵呵，真是探索无止境。
（未完待续）
模型初构，弊端尚存，敬请博友们斧正！
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2010年12月14日星期二
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数学知识汇总（1）
数学知识汇总（1）
数学知识最基础要点
第一章 数和数的运算
有理数的运算顺序（小学就是指自然数）：&
有理数的混合运算法则先算乘法或除法，后算加法或减法。有括号时、先算小括号里面的运算，再算中括号，然后算大括号。
（一）整数
1、 整数的意义
自然数和0都是整数。
2 、自然数
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。
3、计数单位
一（个）、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。这样的计数法叫做十进制计数法。
计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置叫做数位。
5、数的整除
整数a除以整数b(b ≠ 0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a 。
约数和倍数：如果数a能被数b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数（或a的因数）。倍数和约数（因数）是相互依存的。
（如：20÷5=4& 20是5的倍数；5是20的（约数）
因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。
最大公约数（公因数）：几个数都能被同一个数一次性整除，这个数就叫做这几个数的最大公约数（公因数）。（或几个数公有的约数（公因数），叫做这几个数的公约数（公因数）。其中最大的一个，叫做最大公约数（公因数）。）
例如12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公因数，6是它们的最大公因数。
公约数（公因数）只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。
如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。
&最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6 、8、10、12、14、16、18 ……
3的倍数有3、6、9、12、15、18 …… 其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。3的倍数有：3、6、9、12……其中最小的倍数是3 ，没有最大的倍数。
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：202、480、304，都能被2整除。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：5、30、405都能被5整除。。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。
一个数各位数上的和能被9整除，这个数就能被9整除。
能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。例如：16、404、1256都能被4整除，50、325、500、1675都能被25整除。
一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、12344都能被8整除，1125、13375、5000都能被125整除。
几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
能被2整除的数叫做偶数。
不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如 4、6、8、9、12都是合数。
1不是质数也不是合数，自然数除了1外，不是质数就是合数。如果把自然数按其因数的个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5 叫做15的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
例如把28分解质因数
（二）小数
1 、小数的意义
把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点部分组成。数中的圆点叫做小数点，小数点左边的数叫做整数部分，小数点右边的数叫做小数部分。
在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高分数单位“十分之一”和整数部分的最低单位“一”之间的进率也是10。
2、小数的分类
纯小数：整数部分是零的小数，叫做纯小数。例如： 0.25 、
0.368 都是纯小数。
带小数：整数部分不是零的小数，叫做带小数。 例如： 3.25 、
5.26 都是带小数。
有限小数：小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。
无限小数：小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……
无限不循环小数：一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。 例如：π 。
循环小数：一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。 例如： 3.555 ……
0.0333 …… 12.109109 ……
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。 例如： 3.99 ……的循环节是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循环节是“ 54 ” 。
纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的，叫做纯循环小数。 例如： 3.111 …… 0.5656 ……
混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的，叫做混循环小数。 3.1222 …… 0.03333 ……
写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有 一个数字，就只在它的上面点一个点。
（三）分数
1、 分数的意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
2、 分数的分类
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。真分数&1
假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。假分数大于或等于1。假分数≥1
带分数：整数和真分数合成的分数，通常叫做带分数。假分数可以写成整数与真分数合成的数。
3 、约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ，叫做约分。
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（四）百分数
百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫做百分率或百分比。百分数通常用"%"来表示。百分号是表示百分数的符号。
（一）数的读法和写法&&
1、整数的读法：从高位到低位，一级一级地读。读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。&&
2、整数的写法：从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
3、小数的读法：读小数的时候，整数部分按照整数的读法读，小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4、小数的写法：写小数的时候，整数部分按照整数的写法来写，小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5、分数的读法：读分数时，先读分母再读“分之”然后读分子，分子和分母按照整数的读法来读。
6、分数的写法：先写分数线，再写分母，最后写分子，按照整数的写法来写。
7、百分数的读法：读百分数时，先读百分之，再读百分号前面的数，读数时按照整数的读法来读。
8、百分数的写法：百分数通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。
（二）数的改写
一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。
1、准确数：在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。改写后的数是原数的准确数。
例如把 改写成以万做单位的数是 125430 万；改写成以亿做单位的数是 12.543 亿。
2、近似数：根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。
省略亿后面的尾数是 13 亿。
3、四舍五入法：要省略的尾数的最高位上的数是4 或者比4小，就把尾数去掉；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1。例如：省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。省略
亿后面的尾数约是 47 亿。
4、大小比较
a. 比较整数大小：比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
b. 比较小数的大小：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……
c. 比较分数的大小：当分母相同的两个分数相比，分子大的分数就大。
当分子相同（0除外）的两个分数相比，分母小的分数就大；分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
（三）数的互化
要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。&
1、小数化成分数：原来有几位小数，就在1的后面写几个零作分母，把原来的小数去掉小数点作分子，能约分的要约分。
2、分数化成小数：用分母去除分子。能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小数的，一般保留三位小数。
3、一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5 以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数。
4、小数化成百分数：只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。其实，把小数化成百分数，只要把这个小数乘以100％就行了。&
5、百分数化成小数：把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。
6、分数化成百分数：通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数)，再把小数化成百分数。其实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以100％就行了。
7、百分数化成小数（把百分数化成分数）：先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。&
（四）数的整除
1、把一个合数分解质因数，通常用短除法。先用能整除这个合数的质数去除，一直除到商是质数为止，再把除数和商写成连乘的形式。
2、求几个数的最大公因数的方法是：先用这几个数的公因数连续去除，一直除到所得的商只有公因数1为止，然后把所有的除数连乘求积，这个积就是这几个数的的最大公因数。
3、求几个数的最小公倍数的方法是：先用这几个数（或其中的部分数）的公因数去除，一直除到互质（或两两互质）为止，然后把所有的除数和商连乘求积，这个积就是这几个数的最小公倍数。
4、成为互质关系的两个数：1和任何自然数互质
；相邻的两个自然数互质；当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质；两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。
（五） 约分和通分
约分的方法：用分子和分母的公因数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法：先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
三、 性质和规律
（一）商不变的规律
商不变的规律：在除法里，被除数和除数同时扩大或者同时缩小相同的倍，商不变。
（二）小数的性质
小数的性质：在小数的末尾添上零或者去掉零小数的大小不变。
（三）小数点位置的移动引起小数大小的变化
1、小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000倍……
2、小数点向左移动一位，原来的数就缩小10倍；小数点向左移动两位，原来的数就缩小100倍；小数点向左移动三位，原来的数就缩小1000倍……
3、小数点向左移或者向右移位数不够时，要用“0"补足位。&&
（四）分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。
（五）分数与除法的关系
1. 被除数÷除数= 被除数/除数
2. 因为零不能作除数，所以分数的分母不能为零。
3. 被除数相当于分子，除数相当于分母。
四 运算的意义
（一）整数四则运算
1、整数加法：把两个数合并成一个数的运算叫做加法。
在加法里，相加的数叫做加数，加得的数叫做和。加数是部分数，和是总数。
加数+加数=和&&&
一个加数=和－另一个加数
2、整数减法：已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫做减法。
在减法里，已知的和叫做被减数，已知的加数叫做减数，未知的加数叫做差。被减数是总数，减数和差分别是部分数。
加法和减法互为逆运算。
3、整数乘法：求几个相同加数的和的简便运算叫做乘法。
在乘法里，相同的加数和相同加数的个数都叫做因数。相同加数的和叫做积。
在乘法里，0和任何数相乘都得0，1和任何数相乘都得任何数。
一个因数× 一个因数 =积&&&&& 一个因数=积÷另一个因数
4 、整数除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算叫做除法。
在除法里，已知的积叫做被除数，已知的一个因数叫做除数，所求的因数叫做商。
乘法和除法互为逆运算。
在除法里，0不能做除数。因为0和任何数相乘都得0，所以任何一个数除以0，均得不到一个确定的商。
被除数÷除数=商， 除数=被除数÷商， 被除数=商×除数 。
（二）小数四则运算
1、小数加法：小数加法的意义与整数加法的意义相同。是把两个数合并成一个数的运算。
2、小数减法：小数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
3、小数乘法：小数乘整数的意义和整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算；一个数乘纯小数的意义是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
4、小数除法：小数除法的意义与整数除法的意义相同，就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
5、乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方。例如 3 × 3 =32&
（三）分数四则运算
1、分数加法：分数加法的意义与整数加法的意义相同。 是把两个数合并成一个数的运算。
2、分数减法：分数减法的意义与整数减法的意义相同。已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
3、分数乘法：分数乘法的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数和的简便运算。
4、乘积是1的两个数叫做互为倒数。
5、分数除法：分数除法的意义与整数除法的意义相同。就是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
（四）运算定律
1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。
3、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。
5、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。
6、减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。&&
（五）运算法则
1、整数加法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。
2、整数减法计算法则：相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减。
3、整数乘法计算法则：先用一个因数每一位上的数分别去乘另一个因数各个数位上的数，用因数哪一位上的数去乘，乘得的数的末尾就对齐哪一位，然后把各次乘得的数加起来。
4、整数除法计算法则：先从被除数的高位除起，除数是几位数，就看被除数的前几位；
如果不够除，就多看一位，除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面。如果哪一位上不够商1，要补“0”占位。每次除得的余数要小于除数。
5、小数乘法法则：先按照整数乘法的计算法则算出积，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；如果位数不够，就用“0”补足。&&&
6、除数是整数的小数除法计算法则：先按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添“0”，再继续除。
7、除数是小数的除法计算法则：先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点也向右移动几位（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法法则进行计算。&&
8、同分母分数加减法计算方法:同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变。
9、异分母分数加减法计算方法:先通分，然后按照同分母分数加减法的的法则进行计算。
10、带分数加减法的计算方法:整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
11、分数乘法的计算法则:分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变；分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
12、分数除法的计算法则:甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
（六） 运算顺序
1、小数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
2、分数四则运算的运算顺序和整数四则运算顺序相同。
3、没有括号的混合运算:同级运算从左往右依次运算；两级运算
先算乘、除法，后算加减法。
4、有括号的混合运算:先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
5、第一级运算：加法和减法叫做第一级运算。
6、第二级运算：乘法和除法叫做第二级运算。
数学法则知识归类
小学数学是基础的数学，最主要的一项就是培养孩子的运算能力，从最简单的加减法到乘除法，其中也包含很多最基本的运算法则，接下来我对这些做个小结，供参考！
（一）笔算两位数加法，要记三条
1、相同数位对齐；
2、从个位加起；
3、个位满10向十位进1。
（二）笔算两位数减法，要记三条
1、相同数位对齐；
2、从个位减起；
3、个位不够减从十位退1，在个位加10再减。
（三）混合运算计算法则
1、在没有括号的算式里，只有加减法或只有乘除法的，都要从左往右按顺序运算；
2、在没有括号的算式里，有乘除法和加减法的，要先算乘除再算加减；
3、算式里有括号的要先算括号里面的。
（四）四位数的读法
1、从高位起按顺序读，千位上是几读几千，百位上是几读几百，依次类推；
2、中间有一个0或两个0只读一个"零"；
3、末位不管有几个0都不读。
（五）四位数写法
1、从高位起，按照顺序写；
2、几千就在千位上写几，几百就在百位上写几，依次类推，中间或末尾哪一位上一个也没有，就在哪一位上写"0"。
（六）四位数减法也要注意三条
1、相同数位对齐；
2、从个位减起；
3、哪一位数不够减，从前位退1，在本位加10再减。
（七）一位数乘多位数乘法法则
1、从个位起，用一位数依次乘多位数中的每一位数；
2、哪一位上乘得的积满几十就向前进几。
（八）除数是一位数的除法法则
1、从被除数高位除起，每次用除数先试除被除数的前一位数，如果它比除数小再试除前两位数；
2、除数除到哪一位，就把商写在那一位上面；
3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。
（九）一个因数是两位数的乘法法则
1、先用两位数个位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数个位对齐；
2、再用两位数的十位上的数去乘另一个因数，得数的末位和两位数十位对齐；
3、然后把两次乘得的数加起来。
（十）除数是两位数的除法法则
1、从被除数高位起，先用除数试除被除数前两位，如果它比除数小，
2、除到被除数的哪一位就在哪一位上面写商；
3、每求出一位商，余下的数必须比除数小。
（十一）万级数的读法法则
1、先读万级，再读个级；
2、万级的数要按个级的读法来读，再在后面加上一个"万"字；
3、每级末位不管有几个0都不读，其它数位有一个0或连续几个零都只读一个"零"。
（十二）多位数的读法法则
1、从高位起，一级一级往下读；
2、读亿级或万级时，要按照个级数的读法来读，再往后面加上"亿"或"万"字；
3、每级末尾的0都不读，其它数位有一个0或连续几个0都只读一个零。
（十三）小数大小的比较
比较两个小数的大小，先看它们整数部分，整数部分大的那个数就大，整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大，十分位数也相同的，百分位上的数大的那个数就大，依次类推。
（十四）小数加减法计算法则
计算小数加减法，先把小数点对齐（也就是把相同的数位上的数对齐），再按照整数加减法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点位置，点上小数点。
（十五）小数乘法的计算法则
计算小数乘法，先按照乘法的法则算出积，再看因数中一共几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。
（十六）除数是整数除法的法则
除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除。
（十七）除数是小数的除法运算法则
除数是小数的除法，先移动除数小数点，使它变成整数；除数的小数点向右移几位，被除数小数点也向右移几位（位数不够在被除数末尾用0补足）然后按照除数是整数的小数除法进行计算。
（十八）同分母分数加减的法则
同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减。
（十九）同分母带分数加减的法则
带分数相加减，先把整数部分和分数部分分别相加减，再把所得的数合并起来。
（二十）异分母分数加减的法则
异分母分数相加减，先通分，然后按照同分母分数加减的法则进行计算。
（二十一）分数乘以整数的计算法则
分数乘以整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。
（二十二）分数乘以分数的计算法则
分数乘以分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母。
（二十三）一个数除以分数的计算法则
一个数除以分数，等于这个数乘以除数的倒数。
（二十四）把小数化成百分数和把百分数化成小数的方法
把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号；
把百分数化成小数，把百分号去掉，同时小数点向左移动两位。
（二十五）把分数化成百分数和把百分数化成分数的方法
把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽通常保留三位小数），再把小数化成百分数；
把百分数化成小数，先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的要约成最简分数。
数学运算技能—— 运算法则的掌握
运算法则的掌握
1.教学生掌握运算法则时几个重要问题
（1）要通过分析实例，自己概括规律和理解法则。掌握运算法则的关键在于理解，不但应懂得如何运算，而且要懂得为什么这样算。例如，教四则混合运算法则，应引导学生去处理几个加减乘除多种多样混合的实际课题，通过分析比较，自己概括出必须先乘除后加减的道理。这样，法则中的每一环节对学生都是有意义的，各环节间形成了有必然联系的规律性关系。以后遇到这类课题就想起法则，接触到一个环节就会联想起另一环节，既容易记住又有利于将它扩展到新的情境中去。
（2）注意运算法则之间的正负迁移。先掌握的运算法则对后学习的运算法则，既有积极的影响，又可能产生于扰。例如已掌握整数运算法则，对于学习小数、分数的运算法则来说，凡有共同性的方面则有正迁移的效果，凡有特殊性的部分则会成为障碍。所以新运算法则的教学必须充分利用旧法则中已有知识，又要预防其干扰。
（3）运算法则的掌握过程是从开展的、详尽的思维活动过渡到压缩的、省略的思维活动。以负数乘方法则为例，（-2）4的运算，其思维活动从开展到压缩的过程如下：先详尽地开展，（-2）4=（-2）（-2）（-2）（-2）=（+ 4）（－2）（-2）=（-8）（-2）=+16。后来压缩为（-2）4=+16。开展为了理解，以保证初期运算的正确；压缩为了简化中间环节，提高运算速度。
2.最基本的运算法则的掌握
不少学生在运算上的错误，往往是没有掌握好最基本的运算法则。
（1）自然数运算的最基本法则是加减乘除的运算法则，它是一切运算法则的基础。心理学研究表明，儿童掌握加法运算有三种不同水平，最初是从头逐一数，其次是在第一个加数基础上逐一加，最后才达到按群加。减法在最初是逐一减，之后逐一数其剩余，后来才达到按群减。不论加或减，未掌握按群计算之前，均不能摆脱对实物的视学与动作的线索。只有达到按群运算，才是在抽象水平上进行加、减。这时，数词或数字不仅是认数计数的工具，而且成为运算对象了。只有这时才开始真正按一定法则作加减运算，在此之前实际上只是数数而已。为了使儿童及早掌握按群加、减，关键在于提高十以内数序与基数概念的水平，如以前曾指出的数字概念要达到能确定序数在系列中顺反方向的位置，基数概念要达到认识数的内部构成（组成、分解），数与数之间在概念上形成多种联系。只有这样，十以内按群加减的法则才成为可理解的。在此基础上，进一步掌握10的组成、分解，加上以十为新的计数单位，使凑十加与分十减的进退位加减法则成为可理解的，才能在推理水平上进行 20以内的加减运算。10以内的按群加减和20以内的进退位加减法则，是自然数加减的最基本法则，掌握了这些法则，自然数加减运算能力就能提高到新水平。
从同数连加导向乘法运算，是从理解乘法意义、学习口诀开始的。教改实验证明，引导学生对乘法基本九九作分析，以理解其构成规律，对学口诀有重大作用。例如：教“4”的乘法前先引导学生观察已学过的“2”和“3”的乘法口诀，去发现如果乘数（或被乘数）不变，被乘数（或乘数）每多1，积的增大数和乘数（或被乘数）一样大，或相邻两句口诀末尾数词的差与乘数（或被乘数）一样大。再把这和同数连加的式子比较，就能在理解的基础上学好乘法口诀，而不是单纯死背。当然理解之后还是要求背熟。但这样学口诀时，每一句都成为可理解的，学生也能自己检查口诀是否记错而自行纠正，有利于在试背时按其间的意义关系记忆。更重要的是，这既可加强对已学的“2”和“3”的乘法口诀的理解，又可按同理自编“4”的乘法口诀。这样，对一组口诀的理解就可迁移到各组口诀的学习中去，大大有利于掌握口诀。
在掌握乘法口诀后，引进一位数乘法（被乘数多位）、多位数乘法，都是乘法九九基本运算的扩充。
教改经验证明，从连减同数和乘法运算的可逆联想着手，通过用乘法口诀求商的方法来学习基本除法运算，有利于掌握同一除数的一组除法，因为它可以利用同一乘数口诀逆运算的正迁移。而且在掌握同一除数的一组除法后，同一方法又有利于迁移到另一组除法运算的学习中去。这样，就使乘除法基本九九结合起来，构成为基本乘除法运算的结构。取消表内除法，其心理学依据就在于此。
从除法基本九九运算扩大到一位数除法（被除数是多位数）和多位数除法，比基本九九乘法的扩大难。其最主要的原因有二：一是不理解为什么在第一次求商后要在被除数中减去商与除数之积，然后继续求商。关键在于离开连减同数来理解除法，因此两次（或多次）求商之间的减，仿佛成为横插在求商之间的无意义的独立环节，造成心理上的障碍。二是试图困难，其原因除了与前一种困难相同外，还加上用乘法口诀求商未扩大到不能一次整除的课题，因此心理上缺乏准备。例如有的学生初次遇到38÷9的课题时说：“没有这个口诀。”
自然数范围内的其他运算法则，都是以加减乘除基本运算法则为基础，加以扩大而提高其概括水平的。
（2）代数的运算法则很多，其中最重要的基本运算法则是有理数运算法则。有理数法则包括绝对值法则与符号法则。有关研究指出，绝对值法则对有些学生较难掌握。一是它的词的结构复杂，不易记忆和理解；一是由于它与已熟练的算术法则有类似之处，较少需要积极的注意，所以学生往往不再有意去记它，突出表明受算术运算法则正、负两种迁移的双重影响。至于符号法则，减法运算符号最容易与性质符号混淆，这在前面已经谈过。
在讲解有理数运算法则时，一般都是通过实例（火车运行或温度变化等）导出法则。为了了解学生对法则的导出过程是否能用自己的语言阐述，以及能否用实例说明法则，曾经有人进行过研究。他们用火车运行的例子要学生解释有理数“负乘负得正”的理由。结果表明有四种水平：最高级的，能从实例导出法则，并能说明理由和应用法则，其思维中的抽象概括与具体化过程之间能灵活转换。次一级的，能从实例导出法则，但不能说清理由，有的还夹着从法则导出法则和循环解释的特点，但思维过程中的抽象概括与具体化基本上是统一的，抽象的法则与具体事例之间还有着一定的联系。再次一级，能应用法则但不能说明它的由来，思维的抽象概括与具体化过程有些脱节。最低级的，不能从实例导出法则，也不能明确地了解法则的由来，有时还表现出所说的法则与运算式矛盾的现象。如有个学生列的算式为（+4）（速度）×（-3）（时间）=-12[公里][距离]，但所说明的法则却为“正乘正得正”。他们对法则与具体事例间的关系不清楚，不能把它们灵活转化，抽象概括与具体化完全脱节。
如何形成运算技能
1.运算技能形成的心理分析
已掌握的数学法则还必须转化为运算技能。运算技能的形成是不断运用运算法则，经过多次合理练习而实现的。衡量运算技能的标志，是看运算的准确度、速度、灵活性和意识到运算法则的清晰程度。
运算首先要正确。在初期保证正确是靠明确地意识到整个法则。不仅要意识到算什么、怎么算，还要意识到如此算，即严格地照法则进行思考，仿佛是在法则的变式课题上再理解法则一样。这样可保证各个环节都按严格确定的顺序进行，巩固正确的运算方法，并把它与已学的其他类似法则分化开来。例如初学幂的乘方法则，往往有的学生在算（a8）5时，误为a13，这显然是由于a8·a5的迁移影响，当要求他们严格按新法则进行时，就可分化开，抑制这类干扰。
提高运算速度，首先要逐渐减少想法则所花费的时间和精力，把注意力集中到计算。有人分析过（3a2bd+2ab）（4b2d＋2a3b）的二项式乘法运算，如果每一步都要明确地意识到有关法则，那就要想60～70次，就不可能快速运算。其次，要减少每一具体计算环节的时间。最熟练的运算，是一感知算式就立即直接得出答案，许多中间环节被简化。口诀及公式在运算技能形成中之所以能起重要作用，主要是压缩中间环节。
从意识到法则，到不用意识到法则是一个熟练的过程。有的研究认为，运算时意识到法则，是法则变式课题引起对法则的联想。联想中包括两个部分，第一部分是法则中涉及的“条件和任务”，第二部分是法则中的运算规定。例如“两个二项式相乘等于以一个二项式中的每一项乘另一个二项式的每一项”这个法则，前半部分“两个二项式相乘”是条件和任务，其余的是运算规定。从法则转化为运算技能，最初要明确意识到法则，即看到算式先联想起法则第一部分，但仅仅这样还不知如何算，于是又唤起联想中的第二部分，然后才一步步算。经过练习，看到算式只引起联想的第一部分，就产生“我会”的想法，而计算起来，是从条件任务直接接通到运算，不需引起第二部分联想。熟练时，看到算式就直接接通到计算，连法则第一部分也无须联想到，完全不用去意识法则了。所以有人认为，不用意识到运算法则是运算熟练的主要特点。
运算灵活性是能结合有关法则并合理应用它们。要达到这一点，起先也要明确地意识到这种结合的合理处理。例如计算“25×3＋44×2＋5×5-11×4”时，把四则混合运算法则与交换律结合，更合理地将算式处理为“25×3＋5×5＋44×2-11×4”，很快算出100＋44=144。经过练习，从最初明确地意识到此种结合，逐渐过渡到不用怎么意识到它也能自动化地作这种结合的处理，运算才能既快又灵活。
小学数学教学中的核心问题
——《基本概念与运算法则》的学习笔记
&&放假前，在网上挑选了几本暑假期间要读的书，其中就有这本史宁中教授主编的《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书，每读一页都有很多收获，结合《课
标》和另外一本关于案例式解读《课标》的书，使得我对“四基”、“四能”、“十大核心概念”等有了更深刻、更具体的认识。
书读过一遍后，感觉还有必要再读一遍并做好笔记，于是就有了下面的摘要。
史宁中教授的思考：
（1）课程标准应当规定哪些教学内容，为什么要规定这些内容，这些内容的教育价值是什么？
（2）数学的本质是什么，应该如何在教学中体现这些本质？（3）思考数学教育的本质，为了学生一生的发展，在义务教育阶段应当实施一种什么样的数学教育？
（4）培养创新型人才的关键是什么，应当通过什么样的教学动进行培养？
&基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。
判定数学基本思想的准则：
（1）数学的产生和发展所必须依赖的那些思想；
（2）学习数学的人和没有学习过数学的人的思维差异。
&数学基本思想：抽象、推理、模型。
&基础知识主要指概念和法则的记忆，基本技能主要是计算和证明的能力。对教师的更高要求：除了“双基”之外，
（1）还要求教师能够把握教学内容的数学实质，并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质；（2）引发学生思考问题，并且帮助学生养成良好的独立思考的习惯；
（3）引导学生能够正确的思维与实践，并且帮助学生积累思维的和实践的经验。
数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。
&数学的本质：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。
&分数：虽然可以把分数看作除法运算，但分数更重要的还是数，分数本身是数而不是运
算，人们用这种数表示自然数之间的两种重要关系：一种是整体与等分的关系，一种是整数
的比例关系。
&数量是对现实生活中事物量的抽象。例如：一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋等。
数量关系本质&是多与少。
&数的关系的本质是大与小。
&认识自然数的两种方法：
&（1）基于对应的方法。
&首先利用图形对应表示事物数量的多少；
&然后再对图形的多少进行命名；
&最后把命名了的东西符号化。
模式：能够认识或者解决一类数学问题的方法称为模式。
&形式上，自然数去掉了数量后面的后缀名词；
&实质上，自然数去掉了数量所依赖的实际背景。
&数学不是研究某一个有具体背景的东西，数学研究的是一般的规律性的东西，反过来，人们又可以把一般性的结果应用于某一个具体的事物，这就体现了数学的价值。
&（2）基于定义的方法。后继。（书中第6页）
&在现实世界中，抽象了的数是不存在的，存在的只是数所对应的数量。（也称作抽象的存在，见书中第7页）
&表示自然数的关键是十个符号和数位。
&分类的核心是建构一个标准。
&最早提到负数并给出正负数加减运算法则的是中国汉朝的数学著作《九章算术》。
&小数：人们对小数的认识要比分数的认识晚得多，直到18世纪人们才建立起稳定的十进位小数表达形式，这比微积分的出现还要晚100多年。
&小数产生的原因：
1、现实世界中数量表达的需要，比如，6元7角5分就可以表示6.75元；
2、为了数学本身的需要，主要是为了表示无理数，从而进行无理数的运算。（书中第16页）
&十大核心概念：可以认为这些核心概念是认识一类数学问题的模式，也就是说，可以用这些核心概念指导对一类数学问题的理解。
&数感：主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表达具体情境中的数量关系。
&抽象的核心是舍去现实背景，联系的核心是回归现实背景。（书中第18页）
&精算在本质上是对于数的运算，主要激活脑左额叶下部，与大脑的语言区域有明显的重叠，有利于培养学生的抽象能力；
估算的本质上是对于数量的运算，主要激活脑双侧顶叶下部，与大脑运动知觉区联系密切，有利于培养学生的直观能力。
&估算不是近似计算，更不是精算以后的四舍五入；估算也不是估计，因为估算也是需要算的。
&首先需要在计算之前针对实际背景选择合理的量纲；
&其次得到上界或者下界。
&“=”的本质含义：符号两边的量相等。
&数学研究的不是数学概念本身，而是数学概念之间的关系。
自然数集合上的乘法是加法的简便运算；整数集合上的乘法不是加法的简便计算。
&算理理解为运算的本质，即运算与算理的等价。
&所有混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事。用括号表示大故事所包含的小故事，用加法表示并列的故事。
&符号意识：符号意识包括两个方面（1）概念的符号（2）关系的符号。
&能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
&方程的本质是描述现实世界中的等量关系。
方程描述的是现实世界中与数量有关的两个故事，其中用字母表示未知的量；这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。（列方程的基本原则）
&技能表现于一般性，技巧表现于特殊性。一题一解的教学方法教的是技巧而不是技能。
&基本活动经验：包括思维的经验和实践的经验。
&解方程的本质：字母可以参与四则运算。
&解方程的过程：把字母移到方程的左边，把数字移到方程的右边，然后进行四则运算。
&模式：模式关心的是数学内部，是解决一类数学问题的方法。
&模型:模型关心的是数学外部，是解决一类现实问题的方法。《课标》中所说的模型，强调模型的现实性，是用数学的语言讲述现实世界中的故事；强调在建立模型的过程中，让学生感悟如何用数学的语言和方法描述一类现实生活中的问题。
&是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
&（1）总量模型（2）路程模型（3）植树模型（4）工程模型
&（见书中第42页）
简单的统计
一、 统计表
（一）意义
* 把统计数据填写在一定格式的表格内，用来反映情况、说明问题，这样的表格就叫做统计表。
（二）组成部分
* 一般分为表格外和表格内两部分。表格外部分包括标的名称，单位说明和制表日期；表格内部包括表头、横标目、纵标目和数据四个方面。
（三）种类
* 单式统计表：只含有一个项目的统计表。
* 复式统计表：含有两个或两个以上统计项目的统计表。
* 百分数统计表：不仅表明各统计项目的具体数量，而且表明比较量相当于标准量的百分比的统计表。
（四）制作步骤
1、搜集数据
2、整理数据：
- 要根据制表的目的和统计的内容，对数据进行分类。
3、设计草表：
- 要根据统计的目的和内容设计分栏格内容、分栏格画法，规定横栏、竖栏各需几格，每格长度。
4 、正式制表：
把核对过的数据填入表中，并根据制表要求，用简单、明确的语言写上统计表的名称和制表日期。
二、统计图
（一）意义
* 用点线面积等来表示相关的量之间的数量关系的图形叫做统计图。
1．条形统计图：能很容易看出各种数量的多少。
2．折线统计图：不但能表示数量的多少，还能表示出数量增减变化。
3．扇形统计图：能很清楚地表示出各部分数量同总数的关系。
（二）分类
1、 条形统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直线按照一定的顺序排列起来。
优点：很容易看出各种数量的多少。
注意：画条形统计图时，直条的宽窄必须相同。
取一个单位长度表示数量的多少要根据具体情况而确定；
复式条形统计图中表示不同项目的直条，要用不同的线条或颜色区别开，并在制图日期下面注明图例。
制作条形统计图的一般步骤:
（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
（2）在水平射线上，适当分配条形的位置，确定直线的宽度和间隔。
（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。
（4）按照数据的大小画出长短不同的直条，并注明数量。
2 、折线统计图
用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来。
优点：不但可以表示数量的多少，而且能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
注意：折线统计图的横轴表示不同的年份、月份等时间时，不同时间之间的距离要根据年份或月份的间隔来确定。
制作折线统计图的一般步骤：
（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
（2）在水平射线上，适当分配折线的位置，确定直线的宽度和间隔。
（3）在与水平射线垂直的深线上根据数据大小的具体情况，确定单位长度表示多少。
（4）按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来，并注明数量。
3、扇形统计图
用整个圆的面积表示总数，用扇形面积表示各部分所占总数的百分数。
优点：很清楚地表示出各部分同总数之间的关系。
制扇形统计图的一般步骤：
（1）先算出各部分数量占总量的百分之几。
（2）再算出表示各部分数量的扇形的圆心角度数。
（3）取适当的半径画一个圆，并按照上面算出的圆心角的度数，在圆里画出各个扇形。
（4）在每个扇形中标明所表示的各部分数量名称和所占的百分数，并用不同颜色或条纹把各个扇形区别开。
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