离散数学ranf是什么中用列举法表示真值构成的集合

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来源：北京大学《离散数学ranf是什麼》公开课

2.1 有序对和卡氏积

  • 有序对<a,b>：有顺序类似于数组，可以用集合定义

性质：有序对内元素对应相等

  • 卡氏积A×B：所有元素一个来自A集合，另一个来自B集合的有序对

性质：不满足交换律不满足结合律，对并和交满足分配律具有单调性（证明见北大教材p25）

  • A到B的二元关系定义：A×B的任一子集，即A×B幂集中的一个元素组成的集合（注意二元关系也是集合）
  • A到B的二元关系的总个数：|P(A×B)|
  • A上的特殊二元关系：空關系、恒等关系、全域关系、整除关系大于小于关系，包含关系（只有包含关系定义在幂集P(A)上见p26）
  • 定义域、值域、域（由二元关系定義的集合）
  • 关系的特殊情况：F是单根的、F是单值的（即F定义了一个函数）
  1. 逆F^-1：将关系集合中所有的有序对反向
  2. 逆序合成FoG：有公共中间元素嘚有序对的集合
  3. 限制F↑A：x属于A的关系集合
  4. 象F[A]：F↑A的值域，定义域为A的有序对集合对应的值域
  • 合成运算定理1：合成运算结合律（重要）
  • 合成運算定理2：A与B合成运算的逆=B逆与A逆的合成运算

2.3 关系的表示和关系的性质

  • 关系矩阵（图的矩阵表示）
  1. 反自反性：每个点都没有环
  2. 对称性：任意两点间要么有两条边要么没边
  3. 反对称性：任意两点间都没有两条边
  4. 传递性：可走捷径（注意考虑有环的情况）

2.4 关系幂运算和关系闭包

  1. 关系R的n次幂：R与自己合成n次后得到的关系集合也可以理解为G(R)中长度为n的路径的起点和终点组成的有序对的集合
  1. R的闭包的定义：包含R，满足給定性质最小的有序对集合（包含于任意一个）
  • 定理2.19：闭包运算有不动点
  • 定理2.20：闭包运算有单调性（即较大的集合的闭包也较大）
  • 定理2.21：闭包运算对自反闭包和对称闭包的并有分配律，对传递闭包的并没有分配率

4. 闭包的集合求法：

  • 定理2.22：自反闭包=R U 恒等关系
  • 定理2.24：传递闭包=R U R^2 U R^3 U.....（求传递闭包就是把从此点可走到的点直接连起来）
  • 自反闭包：所有定点加环
  • 对称闭包：所有单向边化为双向边
  • 传递闭包：遍历所有点，把从此点可达到的点直接与此点连起来

6. 闭包的矩阵求法：

  • 自反闭包：主对角线全部改成1
  • 对称闭包：改为对称矩阵
  • 传递闭包：矩阵R 逻辑或 矩阵R^2 逻辑或 矩阵R^3........（逻辑或指：对所有运算式中的矩阵的每个对应位置上的元素进行或运算）

7. 定理2.25：求闭包后关系性质是否改变

  • 自反性在求閉包后保持不变
  • 对称性在求闭包后保持不变
  • 传递性在求对称闭包后可能改变（反例：a->b具有传递性但它的对称闭包为a<->b，不具有传递性因為a到a要两步才能达到）

8. 定理2.26：闭包运算的交换律

  • 求自反闭包和对称闭包运算可交换
  • 求自反闭包和传递闭包运算可交换
  • 求对称闭包和传递闭包运算不可交换，其中先求传递闭包再求对称闭包得到的闭包较大

2.5 等价关系和划分

等价关系R是自反对称，传递的二元关系

空关系（不是等价关系）、恒等关系（是等价关系把每个元素自己分成一类）、全域关系（是等价关系，把所有元素分成一类）

所有与x有R关系的y的集匼记为[x]

R为除以3后的同余关系（即x与y除以3的余数相等）

可证：除以n后的同余关系为等价关系（证：xRy等价于关系式x-y=k*n, 其中k为整数。由定义易证此关系式满足自反性、对称性传递性）

[3]={3}（3是一个等价类，余数都是0）

在G(R)上可观察到1,4；2,5；3分别满足全域关系（所有的点之间连通），即烸个等价类内部具有全域关系

由此性质可知得到关系的等价类后，就可以直接推导出所有的关系

  • 等价类的性质（定理2.27）
  1. 非空（由于等价關系需满足自反性所以等价类中至少包含x自己）
  2. 若xRy，则[x]R=[y]R（因为等价关系R满足对称性和传递性由对称性：y与x有关，由传递性：y与x有关x與其他元素有关，则y与所有与x有关的元素有关反之，x与所有与y有关的元素有关所以x与y的相关元素相同）
  3. 若x和y无关，则[x]R与[y]R不相交（反证法：若[x]R与[y]R有一个共同元素z那么参考2的思路，由对称性和传递性可得x和y必有关）
  4. 所有等价类的并为A（结论显而易见严格证明用集族的单調性，因为每个等价类都包含于A所以所有等价类的并包含于A的并，即A自己）

可见：等价类是对A的一个划分（A的每个元素都只在其中一个等价类中且等价类的并为A）

而等价关系确定等价类的基础。一切划分从确定一个自反、对称、传递的等价关系开始

（ 插一句题外话：等价类让我想起了麦肯锡咨询里的一个原则：MECE：Mutually Exclusive Collectively Exhaustive（相互独立、完全穷尽）。麦肯锡把这个原则视为咨询的黄金法则其实也就是离散数学ranf昰什么中的划分等价类。可见许多商业逻辑的原型都是数学）

A/R：A上R的等价类组成的集合（就是A用R划分的结果）

  • 例子（对应刚刚等价类中嘚那个例子）
  1. A/Rij = ai和aj为一类，其他元素各成一类

例子：求A={a,b,c}的等价关系（5种）和商集（5个）

4. 划分（和商族等价）

A的一个划分是A的一个包含于A幂集嘚集族满足：

集族中每个集合非空、集族中每个集合不相交，集族的并为A

  1. A是A的划分->A的同块关系（即划分出的其中一个集合的关系）是A上嘚等价关系
  • R自反、反对称（反对称指：若xRy且yRx则x=y）、传递，则称R为偏序关系

一个带有偏序关系≤的集合A即为偏序集记作<A,≤>

划分x包含于划汾y，则x是y的加细xRy成立

x≤y或y≤x，则x和y可比

具有偏序关系的两个结点相连接其中若y覆盖x，则y置于x上方

哈斯图可用于绘制组织框架图

偏序集AΦ任意元素之间都可比则<A,≤>为全序集

R反自反、传递（蕴含了R是反对称的）

  • 拟序关系有三歧性（要么x<y要么y<x要么x=y）

以下4组概念可以类比高数Φ的最大值，最小值等（严格定义见p52）

偏序集中两两都可比就是链，否则是反链

偏序是自反传递，反对称实数上的小于等于是偏序關系

拟序是反自反，传递反对称。实数上的小于是偏序关系

  • 函数F：F为一个二元关系且F是单值的（单值：domF中每个x至多对应ranF中一个y）
  • 偏函數：domF包含于A，ranF包含于B即A中每个x在F上不一定有B中对应的y，严格定义见p58
  • 真偏函数：在偏函数的基础上domF真包含于A，即A中一定有x在F上没有有B中對应的y严格定义见p58
  • 全函数：A中每个x在F上一定有B上对应的y

（之后讨论的都是全函数上的情况）

  • 单调函数（定义在任意的偏序关系上）
  • 封闭：F是函数，F(A)属于A -> F是A上的一元运算
  • 归纳集D：集合D含有空集合且对后继运算封闭
  • 自然数用集合定义：属于每个归纳集的集合。从空集合出发做有限次后继运算的集合一定是自然数集（0对应空集合，1对应空集合的后继以此类推）
  • 自然数集N：包含于每个归纳集的集合。N=归纳集D嘚广义交
  • 定理4.1 自然数集是归纳集
  • 定理4.3 任何自然数的元素均为它的子集
  • 定理4.4 m,n属于自然数集m的后继属于n的后继 等价于 m属于n
  • 定理4.5 任何自然数都鈈是自己的元素
  • 定理4.6 空集属于除0以外的任何自然数
  • 定理4.7 单歧性：m属于n，m=n和n属于m有且仅有一个成立
  • 传递集：A中的任何元素也是A的元素

A是传递集等价于A的广义并包含于A，等价于y属于A有y包含于A，等价于A包含于P(A)

A为传递集等价于P(A)为传递集

A为传递集，等价于A后继运算的广义并为A

eg.整數集和自然数集是等势的

任何的集合A和它的幂集P(A)之间都不能建立双射

与某个自然数等势的集合不能与自己的真子集建立双射的集合

不能與自然数等势的集合

集合等势则基数card相同

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