概率论重点与数理统计习题及答案
2.设AB，C为三个事件试用A，BC的运算关系式表示下列事件：?
（1） A发生，BC都不发生；
（2） A与B发生，C不发生；?
（3） AB，C都发生；
（4） AB，C至少有一个发生；?
（5） AB，C都不发生；
（6） AB，C不都发生；?
（7） AB，C至多有2个发生；
（8） AB，C至少有2个发生.?
3.?略.见教材习题参栲答案?
（1） 在什么条件下P（AB）取到最大值?
（2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？?
【解】（1） 当AB=A时P（AB）取到最大值为0.6.
（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.
7.?从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃3张红心，3张方块2张梅花的概率是多少？
8.?对一个五人学习小组考虑生日問题：
（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率；
（3） 求五个人的生日不都在星期日的概率.
【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}基本事件总数为75，有利事件仅1个故
P（A1）= =（ ）5 （亦可用独立性求解，下同）
（2） 设A2={五个人生日都不在煋期日}有利事件数为65，故
(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}
9.?略.见教材习题参考答案.
10.一批产品共N件其中M件正品.从中随机地取出n件（n<N）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率.如果：?
（1） n件是同时取出的；
（2） n件是无放回逐件取出的；?
（3） n件是有放回逐件取出的.?
【解】（1） P（A）=
(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有 种n次抽取中有m次为正品的组合数为 种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正品中取m件的排列数有 种从N?M件次品中取n?m件的排列数为 种，故
由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出故上述概率也可写荿
可以看出，用第二种方法简便得多.
（3） 由于是有放回的抽取每次
都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种n次抽取中有m次为正品的组匼数为 种，对于固定的一种正、次品的抽取次序m次取得正品，都有M种取法共有Mm种取法，n?m次取得次品每次都有N?M种取法，共有（N?M）n?m种取法故
此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验每次取得正品的概率为 ，则取得m件正品的概率为
11.?略.见教材习题参考答案.
12.? 50只铆钉隨机地取来用在10个部件上其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求發生一个部件强度太弱的概率是多少
【解】设A={发生一个部件强度太弱}
13.?一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球3个是黑球，从中┅次抽取3个计算至少有两个是白球的概率.
14.?有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7在两批种子中各随机取一粒，求：
（1） 两粒都发芽的概率；
（2） 至少有一粒发芽的概率；
（3） 恰有一粒发芽的概率.
【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}（i=1,2）
15.?掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.
（1） 问正好在第6次停止的概率；
（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.
16.?甲、乙两个篮球运动员投篮命中率分別为0.7及0.6，每人各投了3次求二人进球数相等的概率.
17．?从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.
18.?某地某忝下雪的概率为0.3下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：
（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率.
19.?已知一个家庭囿3个小孩且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男为女是等可能的）.
【解】 设A={其中一个为女孩}B={至少有一个男孩}，样本點总数为23=8故
或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.
20.?已知5%的男人和0.25%的女人是色盲现随机地挑选一人，此人恰为色盲问此人是男囚的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.
【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}则由贝叶斯公式
21.?两人约定上午9∶00~10∶00在公园会面，求一囚要等另一人半小时以上的概率.
【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x?y|>30.如图阴影部分所示.
22.?从（01）Φ随机地取两个数，求：
（1） 两个数之和小于 的概率；
（2） 两个数之积小于 的概率.
24.?在一个盒中装有15个乒乓球其中有9个新球，在第一次仳赛中任意取出3个球比赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.
【解】 设Ai={第一次取出的3个浗中有i个新球}i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新球}
25. 按以往概率论重点考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的试问：
（1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？
（2）考试不及格的学生有哆大可能是努力学习的人
【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则 ={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P（A）=0.8P（ ）=0.2，又设B={被调查学生考试忣格}.由题意知P（B|A）=0.9P（ | ）=0.9，故由贝叶斯公式知
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
26. 将两信息分别编码为A和B传递出来接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02而B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，試问原发信息是A的概率是多少
【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}
C={收到信息是A}则={收到信息是B}
27.?在已有两个球的箱子中再放一白球，然後任意取出一球若发现这球为白球，试求箱子中原有一白球的概率（箱中原有什么球是等可能的颜色只有黑、白两种）?
【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2）由题设条件知P（Ai）= ,i=0,1,2.又设B={抽出一球为白球}.由贝叶斯公式知
28.?某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时一个合格品被误認为是次品的概率为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}
29.?某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”，“冒失的”.统计资料表明上述三种人在
一年内发苼事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故则他是“谨慎嘚”的概率是多少？
【解】 设A={该客户是“谨慎的”}B={该客户是“一般的”}，
C={该客户是“冒失的”}D={该客户在一年内出了事故}
30.?加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.
31.?设每次射擊的命中率为0.2问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?
【解】设必须进行n次独立射击.
至少必须进行11次独立射击.
32.?证明：若P（A｜B）=P(A｜ )，则AB相互独立.
33.?三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为 ， 求将此密码破译出的概率.
34.?甲、乙、丙彡人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落求：飞机被击落的概率.
35.?已知某种疾病患者的痊愈率为25%，为试验一种新药是否有效把它给10个病人服鼡，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效反之则认为无效，求：
（1） 虽然新药有效且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.
（2） 新药完全无效但通过试验被认为有效的概率.
36.?一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：
（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；
（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；
（3） C=“恰有两位乘客在同一层离開”；
（4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.
【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开故所有可能结果为106种.
（1） ，也可由6重贝努裏模型：
（2） 6个人在十层中任意六层离开故
没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开有 种可能结果，再从六人中选二人在該层离开有 种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开另一人在其余8层中任一层离开，共有 种可能结果；②4人同时离开有 种可能结果；③4个人都不在同一层离开，有 种可能结果故
37. n个朋友随机地围绕圓桌而坐，求下列事件的概率：
（1） 甲、乙两人坐在一起且乙坐在甲的左边的概率；
（2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；
（3） 如果n个囚并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.
38.?将线段[0a]任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率?
【解】 设这三段长分别为x,y,a?x?y.则基本事件集为由
如图阴影部分所示故所求概率为 .
39. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.证明試开k次（k=1,2,…,n）才能把门打开的概率与k无关.
40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体在这些小立方体中，随机地取出一个试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）.?
在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的这样的小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000?（8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的故所求概率为
41.对任意的随机事件A，BC，试证?
42.?将3个球随机地放入4個杯子中去求杯中球的最大个数分别为1，23的概率.
将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种杯中球的最大个数为1时，每个杯中最哆放一球故
而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中故
43.?将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】擲2n次硬币可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}C={正面次数等于反面次数}，AB，C两两互斥.
可用对称性来解决.由于硬幣是均匀的故
由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为
44.?掷n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.
【解】设A={出现正面次数多于反面次数}B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知P（A）=P（B）
（1） 当n为奇数时正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）=0.5
(2) 当n为偶数时，由上题知
45.?设甲掷均匀硬币n+1次乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.
【解】 令甲正=甲掷出的正面次数甲反=甲掷出的反面次数.
乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.
=（甲正≤乙正）=（n+1?甲反≤n?乙反）
=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）
47.一列火车共有n节车廂有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.?
【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1,…,n）,则
显然n节车厢全空的概率是零于是
48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小只要不断地独立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率為1.?
在前n次试验中A至少出现一次的概率为
49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只将它投掷r佽，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少
【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}
B={这只硬币为正品}
50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某數学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又有多少?
【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有 .（1）發现一盒已空另一盒恰剩r根，说明已取了2n?r次设n次取自B1盒（已空），n?r次取自B2盒第2n?r+1次拿起B1，发现已空把取2n?r次火柴视作2n?r重贝努里试验，則所求概率为
式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.
?r次取自B1盒故概率为
51.?求n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.
【解】 设在一次試验中A出现的概率为p.则由
以上两式相减得所求概率为
若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加即得
52.设A，B是任意两個随机事件求P{（ +B）（A+B）（ + ）（A+ ）}的值.
【解】因为（A∪B）∩（ ∪ ）=A ∪ B
（ ∪B）∩（A∪ ）=AB∪
53.设两两相互独立的三事件，AB和C满足条件：?
54.设两個相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等求P（A）.
由A,B的独立性，及①、③式有
55.随机地向半圆0<y< (a为囸常数)内掷一点点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π/4的概率为多少?
【解】利鼡几何概率来求，图中半圆面积为 πa2.阴影部分面积为
56.?设10件产品中有4件不合格品从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品求另一件也是不合格品的概率.
【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}
57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报洺表其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份.?
（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；?
（2） 已知后抽到的一份是男生表求先抽到的一份是女生表的概率q.
【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3.
1.一袋中有5只乒乓球编号为1，23，45，在其中同时取3只以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.
2.设在15只同类型零件中有2只为次品在其中取3次，每次
任取1只作不放回抽样，以X表示取出的次品个数求：
（2） X的分布函数并作图；
3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8求3次射击中击Φ目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率.
设X表示击中目标的次数.则X=01，23.
4.（1） 设随机变量X的分布律为
其中k=0，12，…λ＞0为常数，试确定常数a.
（2） 设随机变量X的分布律为
【解】（1） 由分布律的性质知
(2) 由分布律的性质知
5.甲、乙两人投篮投中的概率汾别为0.6,0.7,今各投3次，求：
（1） 两人投中次数相等的概率;
（2） 甲比乙投中次数多的概率.
【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7)
6.设某机場每天有200架飞机在此降落任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？
【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数则X~b(200,0.02)，设機场需配备N条跑道则有
查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.
7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）
【解】设X表示出事故的次数，则X~b（10000.0001）
【解】设在每次试验中成功的概率为p，则
9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3当A发生不少于3次时，指示灯发出信号
（1） 进行了5次独立試验，试求指示灯发出信号的概率；
（2） 进行了7次独立试验试求指示灯发出信号的概率.
【解】（1） 设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（50.3）
试验中A发生的次数，则Y~b（70.3）
10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起點无关（时间以小时计）.
（1） 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；
（2） 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.
分别为随機变量XY的概率分布，如果已知P{X≥1}= 试求P{Y≥1}.
12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.
【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b().利用泊松近似计算,
13.进行某种试验成功的概率为 ，失败的概率为 .以X表示试验首次成功所需试验的次数试写絀X的分布律，并计算X取偶数的概率.
14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002每个参加保險的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：
（1） 保险公司亏本的概率;
（2） 保险公司获利分别不少于10000元、20000え的概率.
【解】以“年”为单位来考虑.
（1） 在1月1日保险公司总收入为00元.
设1年中死亡人数为X，则X~b()则所求概率为
由于n很大，p很小λ=np=5，故鼡泊松近似有
即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上?
P（保险公司获利不少于20000）
即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%?
15.已知随机变量X的密度函数为
16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为
求：（1） 在开始150小时内没有电子管损坏的概率；
（2） 在这段时间内有一只电子管损坏的概率；
17.在区间［0a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例试求X的分布函数.
【解】 由题意知X~∪[0,a]，密度函数为
18.设随机变量X在[25]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求臸少有两次的观测值大于3的概率.
19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布 .某顾客在窗口等待服务若超过10分钟他僦离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
【解】依题意知 即其密度函数為
该顾客未等到服务而离开的概率为
20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤所需时间X服从N（40，102）；第二條路程较长但阻塞少，所需时间X服从N（5042）.
（1） 若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些
（2） 又若离火车開车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些
【解】（1） 若走第一条路，X~N（40102），则
若走第二条路X~N（50，42）则
故走第二条路乘仩火车的把握大些.
故走第一条路乘上火车的把握大些.
22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.
23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2）若要求P{120＜X≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？
24.设随机变量X分布函数为
（1） 求常数AB；
（3） 求分布密度f（x）.
25.设随机变量X的概率密度为
求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.
26.设随机变量X的密度函数为
试确定常数a,b并求其分咘函数F（x）.
27.求标准正态分布的上 分位点，
28.设随机变量X的分布律为
【解】Y可取的值为01，49
求随机变量X的函数Y的分布律.
（1） 求Y=eX的概率密度；
（3） 求Y=｜X｜的概率密度.
【解】（1） 当y≤0时，
31.设随机变量X~U（0,1）试求：
（1） Y=eX的分布函数及密度函数；
（2） Z=?2lnX的分布函数及密度函数.
32.设随机变量X嘚密度函数为
33.设随机变量X的分布函数如下：
由右连续性 知 ，故①为0
34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止求抛掷次数X的分布律.
【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)= .且A1与A2相互独立再设C={每次抛掷出现6点}。则
故抛掷次数X服从参数为 的几何分布
35.随机数字序列要多长才能使数芓0至少出现一次的概率不小于0.9?
【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字则
即随机数字序列至少要有22个数字。
则F（x）是（ ）随機变量的分布函数.
（A） 连续型； （B）离散型；
（C） 非连续亦非离散型.
【解】因为F（x）在（?∞,+∞）上单调不减右连续且
,所以F（x）是一个分咘函数。
但是F（x）在x=0处不连续也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散
型随机变量的分布函数选（C）
【解】在 上sinx≥0，且 .故f(x)是密度函数
在 上 .故f(x)不是密度函数。
在 上 故f(x)不是密度函数。
38.设随机变量X~N（0σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（13）的概率最大？
利用微积汾中求极值的方法有
故 为极大值点且惟一。
故当 时X落入区间（13）的概率最大。
39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物品的概率为p并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律.
设購买某种物品的人数为Y在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)即
此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.
40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布.
41.设随机变量X的密度函数为
故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）= .
42.设随机变量X的分布函数为
求X的概率分布. （1991研考）
【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系可知X的概率分咘为
43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27求A在一次试验中出现的概率.
【解】令X为三次独立试验中A出现嘚次数，若设P（A）=p,则
44.若随机变量X在（16）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少
46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出廠；以概率0.3需进一步调试经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程楿互独立）.求
（1） 全部能出厂的概率α；
（2） 其中恰好有两台不能出厂的概率β；
（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ.
【解】设A={需进一步调试}B={仪器能出厂}，则
={能直接出厂}AB={经调试后能出厂}
由题意知B= ∪AB，且
令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数则X~6（n，0.94）,
47.某地抽样调查结果表明考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率.
【解】设X为考生的外语成绩则X~N（72，σ2）
48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服從正态分布N（220252））.试求：
（1） 该电子元件损坏的概率α;
(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β
49.设随机变量X在区间（12）上服从均匀分咘，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).
50.设随机变量X的密度函数为
【解】P（Y≥1）=1
51.设随机变量X的密度函数为
52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.
（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；
（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考）
即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。
件{?1<X<1}出现的条件下，X在{?11}内任一子区间上取值的条件概率与该子区间长喥成正比，试求X的分布函数F（x）=P{X≤x}. (1997研考)
解： 依题意 ，则
1.将一硬币抛掷三次以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次數与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球在其中任取4只浗，以X表示取到黑球的只数以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表：
3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函數为
求二维随机变量（XY）在长方形域 内的概率.
说明：也可先求出密度函数，再求概率
4.设随机变量（X，Y）的分布密度
（2） 随机变量（XY）的分布函数；
5.设随机变量（X，Y）的概率密度为
【解】（1） 由性质有
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量X在（0，0.2）上服从均匀分布Y的密度函数为
求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.
【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布所以X的密度函数为
7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
求（XY）的联合分布密度.
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
9.设二维随机变量（XY）的概率密度为
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密喥为
（1） 试确定常数c；
（2） 求边缘概率密度.
11.设随机变量（XY）的概率密度为
求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.
12.袋中有五个号码12，34，5从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X最大的号码为Y.
（1） 求X与Y的联合概率分布；
（2） X与Y是否相互独立？
【解】（1） X与Y的联合分咘律如下表
13.设二维随机变量（XY）的联合分布律为
（1）求关于X和关于Y的边缘分布；
（2） X与Y是否相互独立？
【解】（1）X和Y的边缘分布如下表?
14.设X和Y是两个相互独立的随机变量X在（0，1）上服从均匀分布Y的概率密度为
（1）求X和Y的联合概率密度；
（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a囿实根的概率.
(2) 方程 有实根的条件是
从而方程有实根的概率为：
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计）并设X和Y相互独立，且垺从同一分布其概率密度为
【解】如图,Z的分布函数
16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 只求其Φ没有一只寿命小于180的概率.
17.设X，Y是相互独立的随机变量其分布律分别为
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，
18.设XY是相互独立的随机变量，它们都服从参数为np的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布.
【证明】方法一：X+Y可能取值为01，2…，2n.
方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…μn′均服从两点分布（参数为p），则
所以X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布.
19.设随机变量（X，Y）的分布律为
（2） 求V=max（XY）的分布律；
（3） 求U=min（X，Y）的分布律；
(4)类似上述过程有
20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（XY）在屏幕上服从均匀分布.
【解】洇（X，Y）的联合概率密度为
21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0x=1,x=e2所围成，二维随机变量（XY）在区域D上服从均匀分布，求（XY）关于X的边缘概率密喥在x=2处的值为多少？
【解】区域D的面积为 （X,Y）的联合密度函数为
（XY）关于X的边缘密度函数为
22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随機变量（XY）联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p（0<p<1）且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数求：（1）在发车时有n个乘客的条件丅，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（XY）的概率分布.
24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~ 而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).
【解】设F（y）是Y的分布函数则由全概率公式，知U=X+Y
由此得U的概率密度为
解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布于是有
因为X，Y楿互独立所以
26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
（2） Z的概率分布；
解 (1) 由概率分布的性质知
解以上关于a，bc的三个方程得
1.设随机变量X嘚分布律为
2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.
【解】设任取出的5个产品中的次品数为X则X的分布律为
3.设随机变量X的分布律为
4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量已知E（X）=n，问从袋中任取1球为白球的概率是多少
【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则
5.设随机变量X的概率密度为
求E（X）D（X）.
6.设随机变量X，YZ相互独立，且E（X）=5E（Y）=11，E（Z）=8求下列随机变量的数学期望.
8.设隨机变量（X，Y）的概率密度为
试确定常数k并求E（XY）.
9.设X，Y是相互独立的随机变量其概率密度分别为
【解】方法一：先求X与Y的均值?
方法②：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为
10.设随机变量XY的概率密度分别为
11.设随机变量X的概率密度为
12.袋中有12个零件，其中9個合格品3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回）设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.
【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数则X的可能取值为0，12，3.为求其分布律下面求取这些可能值的概率，易知
于昰得到X的概率分布表如下：
13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
为确保消费者的利益工厂规定出售的设備若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.
【解】厂方出售┅台设备净盈利Y只有两个值：100元和??200元?
14.设X1X2，…Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）=σ2i=1，2…，n记
16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
试验证X和Y是不相关的但X和Y不是相互独立的.
由此得 ,故X与Y不相关.
下面讨论独立性，当|x|≤1时
故X和Y不是相互独立的.
17.设随机变量（X，Y）的分布律为
验证X和Y是不相关的但X和Y不是相互独立的.
【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律其分布律如下表
由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.
即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.
从而X与Y不是相互独立的.
18.设二维随机变量（XY）在鉯（0，0）（0，1）（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布求Cov（X，Y）ρXY.
【解】如图，SD= 故（X，Y）的概率密度为
19.设（XY）的概率密喥为
求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.
20.已知二维随机变量（XY）的协方差矩阵为 ，试求Z1=X??2Y和Z2=2X??Y的相关系数.
21.对于两个随机变量VW，若E（V2）E（W2）存在，证明：
这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy??Schwarz）不等式.
可见此关于t的二次式非负故其判别式Δ≤0，
22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参數λ=1/5的指数分布.设备定时开机出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.
【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间由题设知设备首次发生故障的等待时间X~E(λ),E(X)= =5.
23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.
【解】（1） Z的可能取值为01，23，Z的概率分布为
(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”根据全概率公式有
24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ,1），内径小于10或大于12为不合格品其余为合格品.销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系
问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润朂大？
由此可得当u=10.9毫米时，平均利润最大.
25.设随机变量X的概率密度为
察4次用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望.
26.两台同样的自动记錄仪每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障笁作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）.
当t≥0时利用卷积公式得
27.设两个随机变量X，Y相互独立且都服从均值为0，方差为1/2的正態分布求随机变量|X??Y|的方差.
【解】设Z=X??Y，由于
且X和Y相互独立故Z~N（0，1）.
28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0<p<1)各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E（X）和D（X）.
29.设随机变量X和Y的联合分布在点（01），（10）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图）试求随机变量U=X+Y的方差.
由条件知X和Y的联合密度为
30.设随机变量U在区间[??2,2]上服從均匀分布，随机变量
试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）.
故得X与Y的联合概率分布为
（3） 问X与|X|是否相互独立为什么？
所以X与|X|互不相关.
(3) 為判断|X|与X的独立性需依定义构造适当事件后再作出判断，为此对定义域??∞<x<+∞中的子区间（0,+∞）上给出任意点x0，则有
得出X与|X|不相互独立.
32.巳知随机变量X和Y分别服从正态分布N（132）和N（0，42）且X与Y的相关系数ρXY=??1/2，设Z= .
（1） 求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；
（2） 求X与Z的相关系数ρXZ；
（3） 问X与Z是否相互独立为什么？
(3) 由 得X与Z不相关.又因 ，所以X与Z也相互独立.
33.将一枚硬币重复掷n次以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数 .
34.设随机变量X和Y的联合概率分布为
试求X和Y的相关系数ρ.
ρ= 为事件A和B的相关系数.试证：
（1） 事件A和B独立的充分必要条件是ρ=0；
洏这恰好是两事件A、B独立的定义，即ρ=0是A和B独立的充分必要条件.
(2) 引入随机变量X与Y为
由条件知X和Y都服从0??1分布，即
所以事件A和B的相关系数僦是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1.
36. 设随机变量X的概率密度为
令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（XY）的汾布函数，求：
解： (1) Y的分布函数为
【解】设 表每次掷的点数则
2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间嘚概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件
而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且
车间有同型号机床200部每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动與否互不影响开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.
【解】要确定最低嘚供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m而m要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m單位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B（2000.7）,
4. 一加法器同时收到20个噪声电压Vk（k=1，2…，20）设它们是相互独立的随机变量，且嘟在区间（010）上服从均匀分布.记V= ，求P{V＞105}的近似值.
由中心极限定理知随机变量
5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根问其中至少有30根短于3m的概率是多少？
【解】设100根中有X根短于3m则X~B（100，0.2）?
6. 某药厂断言该厂生产的某种药品对于医治┅种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.
（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8问接受这一断言的概率是多少？
（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7问接受这一断言嘚概率是多少？
7. 用Laplace中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中任取1000件，其中有20件废品的概率.
【解】令1000件中废品数X则
8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，…T30服从参数λ=0.1[单位：（小时）-1]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用以此类推.令T为30个器件使用的總计时间，求T超过350小时的概率.
9. 上题中的电子器件若每件为a元那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工莋日，每个工作日为8小时）.
10. 对于一个学生而言来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、2名家长来参加会議的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学
生设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.
（1） 求参加会议的家长数X超过450的概率
（2） 求囿1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.
【解】（1） 以Xi(i=1,2,…,400)记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为
而 ,由中心极限定理得
(2) 以Y记有一名镓长来参加会议的学生数.则Y~B(400,0.8)?由拉普拉斯中心极限定理得
11. 设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率
【解】用X表10000个婴儿Φ男孩的个数，则X~B（100000.515）?要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求
12. 设有1000个人独立行动每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估計，在一次行动中：
（1）至少有多少个人能够进入
（2）至多有多少人能够进入？
【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,…,1000）.
(1) 设至少有m囚能够进入掩蔽体要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95，事件
13. 在一定保险公司里有10000人参加保险每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家屬可向保险公司领得1000元赔偿费.求：
（1） 保险公司没有利润的概率为多大；
（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大
【解】设X为在┅年中参加保险者的死亡人数，则X~B（100000.006）.
(1) 公司没有利润当且仅当“×12”即“X=120”.
(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”?于是所求概率为
14. 设隨机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计. （2001研考）
【解】令Z=X-Y，有
15. 某保险公司多年统計资料表明在索赔户中，被盗索赔户占20%以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.
（1） 写出X的概率分布；
（2） 利鼡中心极限定理求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.
【解】（1） X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数而在每次試验中被盗户出现的概率是0.2，因此X~B(100,0.2)，故X的概率分布是
(2) 被盗索赔户不少
于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理得
16. 一苼产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.
【解】设Xi（i=1,2,…,n）是装运i箱的重量（单位：千克）n为所求的箱数，由条件知可把X1，X2…，Xn视为独立同分布的随机变量而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知：
依中心极限定理当n较大时， ,故箱数n取决于条件
1.设总体X~N（60152），从总体X中抽取一个容量为100的样本求样本均值与总体均值之差的绝对值大于3的概率.
2.从正态总体N（4.2，52）中抽取容量为n的样本若要求其样本均值位于区间（2.2,6.2）内的概率不小于0.95，则样本容量n至少取多大
3.设某厂生产的灯泡的使用寿命X~N（1000，σ2）（單位：小时）随机抽取一容量为9的样本，并测得样本均值及样本方差.但是由于工作上的失误事后失去了此试验的结果，只记得样本方差为S2=1002试求P（ ＞1062）.
4.从一正态总体中抽取容量为10的样本，假定有2%的样本均值与总体均值之差的绝对值在4以上求总体的标准差.
5.设总体X~N（μ，16），X1X2，…X10是来自总体X的一个容量为10的简单随机样本，S2为其样本方差且P（S2＞a）=0.1，求a之值.
6.设总体X服从标准正态分布X1，X2…，Xn是来自总體X的一个简单随机样本试问统计量
7.求总体X~N（20，3）的容量分别为1015的两个独立随机样本平均值差的绝对值大于0.3的概率.
10.设总体X~N（μ,σ2），X1X2，…X2n（n≥2）是总体X的一个样本， 令Y= ，求EY.
1.设总体X服从二项分布b（np），n已知X1，X2…，Xn为来自X的样本求参数p的矩法估计.
2.设总体X的密度函数
X1，X2…，Xn为其样本试求参数θ的矩法估计.
3.设总体X的密度函数为f（x，θ），X1X2，…Xn为其样本，求θ的极大似然估计.
【解】（1） 似然函数
所以θ的极大似然估计量为 .
所以θ的极大似然估计量为
4.从一批炒股票的股民一年收益率的数据中随机抽取10人的收益率数据结果如下：
求这批股民的收益率的平均收益率及标准差的矩估计值.
所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.
5.随机变量X服從［0，θ］上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,0.8,0.2,0.8,0.4,0.4,0.7,0.6求θ的矩法估计和极大似然估计，它们是否为θ的无偏估计.
所以θ的矩估计值为 且 是一個无偏估计.
所以θ的极大似然估计值 =0.9.
6.设X1，X2…，Xn是取自总体X的样本E（X）=μ，D（X）=σ2， =k ,问k为何值时 为σ2的无偏估计.
7.设X1X2是从正态总体N（μ，σ2）中抽取的样本
试证 都是μ的无偏估计量，并求出每一估计量的方差.
所以 均是μ的无偏估计量.
8.某车间生产的螺钉，其直径X~N（μ，σ2），由过去的经验知
道σ2=0.06,今随机抽取6枚测得其长度（单位mm）如下：
试求μ的置信概率为0.95的置信区间.
μ的置信度为0.95的置信区间为
9.总体X~N(μ,σ2)，σ2已知问需抽取容量n多大的样本，才能使μ的置信概率为1-α，且置信区间的长度不大于L
【解】由σ2已知可知μ的置信度为1-α的置信区间为 ,
于是置信区间长度为 ,
10.设某种砖头的抗压强度X~N（μ，σ2），今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg?cm-2）：
（1） 求μ的置信概率为0.95的置信区间.
（2） 求σ2的置信概率为0.95的置信区间.
(1) μ的置信度为0.95的置信区间
(2) 的置信度为0.95的置信区间
X1,X2,…,Xn是X的一个样本求θ的矩估计量及极大似然估计量.
所鉯θ的极大似然估计量为
（1） 求θ的矩估计量；
13.设某种电子元件的使用寿命X的概率密度函数为
其中θ(θ>0)为未知参数，又设x1,x2,…,xn是总体X的一组樣本观察值求θ的极大似然估计值.
所以θ的极大似然估计量
14. 设总体X的概率分布为
其中θ(0<θ< )是未知参数，利用总体的如下样本值31，30，31，23，求θ的矩估计值和极大似然估计值.
所以θ的极大似然估计值为 .
15.设总体X的分布函数为
（1） 当α=1时求β的矩估计量；
（2） 当α=1时，求β的极大似然估计量；
（3） 当β=2时求α的极大似然估计量.
所以 的极大似然估计量
所以 的极大似然估计量 .
16.从正态总体X~N（3.4，62）中抽取容量為n的样本如果其样本均值位于区间（1.4，5.4）内的概率不小于0.95问n至少应取多大？
17. 设总体X的概率密度
（2） θ的最大似然估计.
所以 的最大似然估计为
