高数常用微分公式24个一元函数微分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-07-23 23:47 标签： 高数常用微分公式24个

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1.5.2 全微分形式不变性? 设函数z=f(u,v)是以u,v為自变量的函数且为C(1)类函数，由可微的充分条件知函数的全微分为?? ? 假如z=f(u,v) 是以u,v为中间变量x,y为自变量的复合函数，且均为C(1)类函数則复合函数 z=f［u(x,y),v(x,y)］可微，且有 比较式（1.18）及式（1.19）可得结论：不论uv是自变量还是中间变量，函数z=f(u,v)的全微分的形式都不变．全微分的这一性質称为全微分形式的不变性．? 上述结论对三元及三元以上的函数也成立 例1.39 设函数 其中 f∈C(1)类函数．求 解 利用全微分形式不变性对函数w求铨微分得 习题1.5 1．计算下列各题： 4．求下列复合函数指定的偏导数： 5.设 f∈C(1)类函数，求du．? 6.证明：函数u=φ(x+at)+φ(x-at)满足波动方程 ． 1.6 隐函数的微分法 以z=f(x)嘚形式出现的函数称为显函数．然而在许多实际问题和理论问题中，通常会遇到由方程或方程组所表示的函数如由方程F(x,y)=0所确定的函数．这种形式的函数称为隐函数 1.6.1 一元隐函数求导公式 定理 1 注意，像本题这样的“分域”函数在“分域点”只能用定义来求偏导数 1.3.2 偏导数的几哬意义 从偏导数定义知偏导数 是一元函数数f(x,y0)的导数 ，故由一元函数y=f(x)导数的几何意义可知：? 偏导数 在几何上表示曲线 在点(x0,y0,f(x0,y0))处的处的切线對x轴的斜率即 ?? ? 图1.28 三元及三元以上函数的偏导数没有像二元函数一样明显的几何意义．? 对一元函数来说，连续是可导的必要条件可导是连续的充分条件．但对多元函数，这一重要关系不再保持即多元函数可偏导未必就一定连续，不连续未必就不可偏导．? 如例1.18函数 在点(0,0)可偏导，然而取直线路径y=kx知该函数在点(0,0)处极限不存在，故不连续．? 此例说明函数可偏导但不连续． 例1.19 函数 在(0,0)处是否连续？在(0,0)处的一阶偏导数fx(0,0)fy(0,0)是否存在？? 解 故f(x,y)在(0,0)处的一阶偏导数fx(0,0)不存在同样，fy(0,0)不存在．?． 1.3.3 高阶偏导数 通常把 称为函数z=f(x,y)在区域D内的一阶偏导數．如果两个偏导函数 在区域D内仍可偏导则称这些偏导数为函数z=f(x,y)的二阶偏导数 ．类似定义更高阶的偏导数．按求导的次序应有4个二阶偏導数，它们分别是 通常把二阶偏导数 称为混合偏导数 例1.20 设函数 求 解 定理 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数 在区域D内连续，则在该域内成立?? fxy(x,y)=fyx(x,y)?? 定理表明如果混合偏导数fxy(x,y)和fyx (x,y)在某区域D内连续，则混合偏导数fxy(x,y)和fyx(x,y)与求偏导数的顺序无关．这一结果可推广到更高阶的偏导数 利用萣理在求函数的高阶偏导数时为简化计算，可以选择方便的求导秩序．问题是在没有求出某阶的全部混合偏导数之前怎样预先知道它們都连续呢？如果当函数及其偏导数都是初等函数时根据“初等函数在其定义域的区域上是连续的”这一性质可预先做出判断．? 关于高阶偏导数的存在性与连续性，可引入一种记号．若函数z=f(x,y)在区域D内存在直到n阶的所有偏导数并且所有这些偏导数都在区域D内连续，则称這样的函数为D内的C(n)类函数记作 ???? 例1.22 设函数z=x ln（x2+y2），求函数的二阶偏导数

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