高数常用微分公式24个 导数与微分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-28 06:26 标签： 高数常用微分公式24个 
  • 第一题我喜欢等号两边求 x 的导数把 y 看成函数 y(x)，根据链式法则：
第二题先用倍角公式化成
观察出模式，得 n 阶导数

高数常用微分公式24个第二章导数與微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 注：可导必连续连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 . . 存在. （3）导数的几何应用 曲线在点处的切线方程：. 法线方程：. 2．基本公式 （1） （2） （3）（特例）（4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14） （15 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 （2）复合函数求导法则--链式法则 设，则的导数为：. 例5 求函数的导数. （3）反函数的求导法则 设的反函数为两者均可导，且则 . 隐函数求导 设函数由方程所确定，求的方法有两种：直接求导法和公式法. （5）对數求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数 二阶以上的导数为高阶导数. 常用的高阶求导公式： （1） 特别地 （2） （3） （4） （5） （6）莱布尼茨公式：，其中 第二节 微分 1．定义 背景：函数的增量. 定义：如果函数的增量可表示为其中是与无关的常数，则称函数在点可微并且称为的微分，记作则. 注： 2．可导与可微的关系 一元函数在点可微，微分为函数在可导且. 3．微分的几何意义 4．微分的计算 （1）基本微分公式. （2）微分运算法则 ②四则运算法则 ②一阶微分形式不变 若为自变量，； 若为中间变量，. 练习题 1、求下列函数的导数。 （1）； （2）； （3）； （4）；（5）；（6） 2、求下列隐函数的导数。 （1）；（2）已知求 3、求参数方程 所确定函数的一阶导数与二阶导数。 4、求下列函数的高阶导数 （1）求； （2）求。 5、求下列函数的微分 （1）； （2）。 6、求双曲线在点处的切线方程与法线方程。 7、用定义求其中并讨论导函数的连续性。 答案： 1、（1）解： （2）解：。 （3）解： （4）解： 。 （5）解： （6）解： 。 2、（1）解：两边直接关于求導得 （2）解：将代入原方程解得 原方程两边直接关于求导得 ， 上方程两边关于再次求导得 将代入上边第一个方程得， 将代入上边第②个方程得。 3、解：； ； 4、（1）解：；；…… 依此类推。 （2）解：设 则 代入萊布尼茨公式，得 5、（1）解： . （2）解： ； 。 6、解：首先紦点代入方程左边得即点是切点。 对双曲线用隐函数求导得 过点的切线的斜率为 故过点的切线方程为； 过点的法线方程为 7、解： 同理；故。 显然在点连续因此只需考查在点的连续性即可。但已知在点不连续由连续函数的四则运算性质知在点不连续。 讨论习题： 设求 求和。 设函数在上有定义且满足 证明存在，且 讨论习题参考答案： 1、解：因为 易知在开区间内都是可导的；又 对于分段点，有 ， 即； ， 即不存在； 所以除之外在区间內均可导，且有 2、解：因为 ， ； 3、证：由可知当时， 即又 ； 已知，由两边夹定理可得 思栲题： 若在不可导，在可导且，则 在处（ ） 必可导（2）必不可导，（3）不一定可导 设连续，且求。 思考题参考答案： 解：正确选擇是（3） 例如：在处不可导；若取在处可导则在处不可导；即（1）不正确。又若取 在处可导则有在处可导。 即（2）也不正确 解：因為可导，所以 又因为不一定存在故用定义求， 第三组：潘柏华 王涛 罗宇生 陈珂晔 黄强

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