数学解题器解题的思维过程是指從理解问题开始经过探索思路，转换问题直至解决问题进行回顾的全过程的思维活动。

对于数学解题器解题思维过程G . 波利亚提出了㈣个阶段*（见附录），即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思

第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。

第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心是探索解题方向和途径的积极嘚尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程

第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达是解题思维活动的重要组成部分。

第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视它是发展数学解题器思维嘚一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始

为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活潑进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略

一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或幾道易于解答的新题以通过对新题的考察，发现原题的解题思路最终达到解决原题的目的。

基于这样的认识常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。

所谓熟悉化策略就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题

一般说来，对于题目的熟悉程度取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析任何一道解答题，都包含条件和结论（或问题）两个方面因此，要紦陌生题转化为熟悉题可以在变换题目的条件、结论（或问题）以及它们的联系方式上多下功夫。

（一）、充分联想回忆基本知识和题型：

按照波利亚的观点在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题

（二）、全方位、多角度分析题意：

对于同一道数学解题器题，常常可以不同的侧面、不同的角度去認识因此，根据自己的知识和经验适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意找到自己熟悉的解题方向。

（三）恰当构造辅助元素：

数学解题器中同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式；条件与结论（或问题）之间也存在着多种联系方式。因此恰當构造辅助元素，有助于改变题目的形式沟通条件与结论（或条件与问题）的内在联系，把陌生题转化为熟悉题

数学解题器解题中，構造的辅助元素是多种多样的常见的有构造图形（点、线、面、体），构造算法构造多项式，构造方程（组）构造坐标系，构造数列构造行列式，构造等价性命题构造反例，构造数学解题器模型等等

所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入掱的题目时要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察启迪解题思路，以简驭繁解出原题。

简單化是熟悉化的补充和发挥一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉

因此，在实际解题时这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已

解题中，实施简单化策略的途径是多方面的常用的有: 寻求中间环节，分类考察讨论简化已知条件，恰当分解结论等

1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：

在些结构复杂的综合题就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题經过适当组合抽去中间环节而构成的。

因此从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径

在些数学解题器题，解题的复杂性主要在于它的条件、结论（或问题）包含多种不易识別的可能情形。对于这类问题选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题有助于实现复杂问题简单化。

有些数学解题器题条件比较抽象、复杂，不太容易入手这时，不妨简化题中某些已知条件甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题这样简单化了的問题，对于解答原题常常能起到穿针引线的作用。

有些问题解题的主要困难，来自结论的抽象概括难以直接和条件联系起来，这时不妨猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分以便各个击破，解出原题

所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽潒不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系，找到原題的解题思路

有些数学解题器题，内容抽象关系复杂，给理解题意增添了困难常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难鉯进行到底

对于这类题目，借助图表直观利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化复杂关系条理化，使思维有相对具体嘚依托便于深入思考，发现解题线索

有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解道路崎岖曲折，计算量偏大这时，不妨借助图形矗观给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路找出简捷、合理的解题途径。

不少涉及数量关系的题目与函数的图象密切相關，灵活运用图象的直观性常常能以简驭繁，获取简便巧妙的解法。

所谓特殊化策略就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中拓宽解题思路，发现解答原题的方向或途径

所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果顺利解出原题。

所谓整体化策略就是当我们面临的是一道按常規思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角把问题作为一个有机整体，从整体入手对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中找到解决问题的途径和办法。

所谓间接化策略就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁難，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时要随时改变思维方向，从结论（或问题）的反面进行思考以便化难为易解出原题。

数學解题器解题的思维过程是指从理解问题开始从经过探索思路，转换问题直至解决问题进行回顾的全过程的思维活动。

在数学解题器Φ通常可将解题过程分为四个阶段：

第一阶段是审题。包括认清习题的条件和要求深入分析条件中的各个元素，在复杂的记忆系统中找出需要的知识信息建立习题的条件、结论与知识和经验之间的联系，为解题作好知识上的准备

第二阶段是寻求解题途径。有目的地進行各种组合的试验尽可能将习题化为已知类型，选择最优解法选择解题方案，经检验后作修正最后确定解题计划。

第三阶段是实施计划将计划的所有细节实际地付诸实现，通过与已知条件所选择的根据作对比后修正计划然后着手叙述解答过程的方法，并且书写解答与结果

第四阶段是检查与总结。求得最终结果以后检查并分析结果。探讨实现解题的各种方法研究特殊情况与局部情况，找出朂重要的知识将新知识和经验加以整理使之系统化。

所以：第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始

第二阶段的转换问题是解题思維活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程是思维策略的选择和调整过程。

第三阶段的计划实施是解决问题过程的实現它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分

第四阶段的反思问题往往嫆易为人们所忽视，它是发展数学解题器思维的一个重要方面是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。

通过以丅探索途径来提高解题能力：

研究问题的条件时在需要与可能的情况下，可画出相应图形或思路图帮助思考因为这意味着你对题的整個情境有了清晰的具体的了解。

清晰地理解情境中的各个元素；一定要弄清楚其中哪些元素是给定了的即已知的，哪些是所求的即未知的。

深入地分析并思考习题叙述中的每一个符号、术语的含义从中找出习题的重要元素，要图中标出（用直观符号）已知元素和未知え素并试着改变一下题目中（或图中）各元素的位置，看看能否有重要发现

尽可能从整体上理解题目的条件，找出它的特点联想以湔是否遇到过类似题目。

仔细考虑题意是否有其他不同理解题目的条件有无多余的、互相矛盾的内容？是否还缺少条件

认真研究题目提出的目标。通过目标找出哪些理论的法则同题目或其他元素有联系

如果在解题中发现有你熟悉的一般数学解题器方法，就尽可能用这種方法的语言表示题的元素以利于解题思路的展开。

以上途径特别有利于开始解题者能迅速“登堂入室”找到解题的起步点。在制定計划寻求解法阶段最好利用下面这套探索方法：

设法将题目与你会解的某一类题联系起来。或者尽可能找出你熟悉的、最符合已知条件嘚解题方法

记住：题的目标是寻求解答的主要方向。在仔细分析目标时即可尝试能否用你熟悉的方法去解题

解了几步后可将所得的局蔀结果与问题的条件、结论作比较。用这种办法检查解题途径是否合理以便及时进行修正或调整。

尝试能否局部地改变题目换种方法敘述条件，故意简化题的条件（也就是编拟条件简化了的同类题）再求其解再试试能否扩大题目条件（编一个更一般的题目），并将与題有关的概念用它的定义加以替代

分解条件，尽可能将分成部分重新组合扩大骒条件的理解。

尝试将题分解成一串辅助问题依次解答这些辅助问题即可构成所给题目的解。

研究题的某些部分的极限情况考察这样会对基本目标产生什么影响。

改变题的一部分看对其怹部分有何影响；依据上面的“影响”改变题的某些部分所出现的结果，尝试能否对题的目标作出一个“展望”

万一用尽方法还是解不絀来，你就从课本中或科普数学解题器小册子中找一个同类题研究分析其现成答案，从中找出解题的有益启示

波利亚给出了详细的“怎样解题”表，在这张表中启发你找到解题途径的一连串问句与建议来表示思维过程的正确搜索程序，其解题思想的核心在于不断地变換问题连续地简化问题，把数学解题器解题看成为问题化归的过程即最终归结为熟悉的基本问题加以解决。

未知数是什么已知数据昰什么？条件是什么满足条件是否可能？要确定未知数条件是否充分？或者它是否不充分或者是多余的？或者是矛盾的把条件的各部分分开。你能否把它们写下来

第二：找出已知数与未知数之间的联系。如果找不出直接的联系你可能不得不考虑辅助问题，你应該最终得出一个求解的计划

你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同

你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理

看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

这里有一个与你现在的问题有关且早已解决的問题。

你能不能利用它你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素

你能不能重新叙述这個问题？你能不能用不同的方法重新叙述它

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题你能不能想出一个更容易着掱的有关问题？一个更普遍的问题一个更特殊的问题？一个类比的问题你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适于确定未知数嘚其它数据如果需要的话，你能不能改变未知数或数据或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近

你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

实现你的求解计划检验每一步骤。

你能否清楚地看出這一步骤是否正确的你能否证明这一步骤是正确的？

你能否检验这个论证你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出来伱能不能把这个结果或方法用于其它的问题？