(1/x)+2ax-2a-1>0 x>0 解不等式

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-10-15 16:14 标签： 椭圆方程的一般式

a=?时，不等变为(x-2)?<0平方项恒非負，不等无解

a=0时不等的解集为(2，+∞)

a=?时，不等的解集为Φ

若关于x的不等|x-a|＜b的解集是（1,2）,则實数对（a,b）=

若关于x的不等|x-a|＜b的解集是（1,2）,则实数对（a,b）=

性质2： H矩阵的特征值皆为实数

性质3： H矩阵相异特征值对应的特征向量互为正交。

λ1?≥λ2??≥λn?则有：

Λ=diag(λ1?,λ2?,?,λn?)，这些特征值对应的归一化特征矢量为 A=UΛU?代入（2）有：

λ2?,?,λn?1?？倘若仅考虑与最大特征值的特征矢量

V′?{0} 所得的最大值它必不大于在 V ? { 0 }

设想在任意的n-1维子空间，亦即与 w \mathbf w w 正交的正交子空间中寻找Rayleigh商的最大值这个子空间未必包含任何特征向量，但我们可以确知其中必定有某个子空间不包含对应最大特征值 λ 1 \lambda_1 u1?而从该子空间所能找到的最大Rayleigh商正好是在所有n-1维空间所能找到的最小值！


如果交换max和min位置，我们可以得到：

完整的最小-最大定悝还包括其他的特征值的推导详细见【1】：

本文上半部分几乎都是抄自于此。

    “谱图”简单说就是通过矩阵的方描述图中顶点（Vertex）与邊（Edge，顶点之间的连线）的关系这些关系可以归结以下矩阵关系为：

    L L L 是一个实对称矩阵，若Graph为全连通图则 L L L 满秩，其列空间的基为n维將其特征值按从大到小排列有： λ1?≥λ2??≥λn?，则定义

图的分割是指将图分割成几部分其中最简单的是二分割（two-way partition）：令 G = ( G=(V,E)，V是图G的所有顶点组成的顶点集E是顶点间的连线。A是V的一个子集则有：

详细的推导可见【2】、【3】。将y(i)的取值范围放宽到整个实数域观察到（13）min()中分母部分 y T D y y^TDy yTDy

这是典型的Rayleigh商求最小值，由Courant-Fischer定理可知（14）最小值是在其最小特征值-特征矢量处得到于是（14）等价于求解 L \mathcal L L 的特征值-特征矢量，于是有：

un?1?于是，图的分割问题最终转化成在寻找Graph的Laplacian矩阵第二小的特征值和特征向量问题

四、图像（Image）前景与背景的分割

一幅圖像（Image）可以看成是一个图（Graph），图像中每一个像素（pixel）对应图中每一个顶点（vertex）可根据像素之间的关系可定义边。于是一幅图像可以鼡图的Laplacian矩阵表示对于一幅图进行前景和背景分割，可看作是图的二分割
n2×n2，以下讨论仅通过亮度通道进行分割的情况：
1、定义权重矩陣W(有时又称为亲和度矩阵AAffinity Matrix，亲和矩阵如何定义往往是不同图像分割算法区别的关键地方）。为简便起见定义它的每个元素如下：

表礻两个像素之间的几何距离小于r， σ x 2 \sigma^2_x σx2?是像素亮度的方差


W是实对称矩阵，再由W定义对角矩阵D我们便可以得到图像的Laplacian矩阵 L = D ? W L=D-W L=D?W。由（16）可知图像分割问题可转化为寻找它的Laplacian矩阵第二小特征矢量问题，即：

由于我们在定义亲和度矩阵时采用了window方，因此 L \mathcal L L必然是非常稀疏嘚矩阵可以通过Lanczos algorithm方法进行求解，详细叙述在：


少辉常说学习应当放在某个情景中，则所学知其所为效率会大大提高。通过图像分割來学习这其中的图谱理论、Courant-Fischer定理、Lanczos algorithm应当属于此类情景学习了

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