第 11章 金融资产价格决定
线索：风險资产的市场均衡价格双因素理论名词解释—资本资产定价模型—套利定价模型—期货与期权价格决定
第一节 资本资产定价模型（Capital Asset Pricing Model,CAPM）是關于风险资产在金融市场中的均衡价格的双因素理论名词解释。
它立足于前一章的资产组合双因素理论名词解释,基于资产价格的调整使市場供求趋于均衡的假设,推导风险资产预期收益率与其决定因素之间的数量关系该模型源于以下问题：若所有的投资者对风险资产的预期收益率和风险的预测相同,且按有效分散化原则选择最优投资组合,达到均衡状态时,证券的风险溢价是多少呢？
人们通常厌恶风险,故为引导人們自愿持有经济中的所有风险资产,所有风险资产的风险溢价总量必须为正值但市场并不因投资者持有无效资产组合而提供报酬。故单个證券的风险溢价并不与其独立风险相关,而是与其对有效组合的风险贡献相关威廉、夏普等人证明若将无风险资产与马柯维兹有效组合相結合就可确定该有效资产组合。该双因素理论名词解释被称为资本市场双因素理论名词解释
1、双因素理论名词解释假设。资本市场双因素理论名词解释对投资者行为和资本市场的假设：
①投资者对预期收益率、标准差和风险资产相关性的预测一致,他们以最优方式持有相同仳例的风险资产
②投资者的行为通常遵循最优化原则,在均衡状态下,证券价格的调整使得在投资者持有最优投资组合时,每种证券的总需求等于其总供给。
在此假设条件下,每位投资者所持有风险资产的相对比例相同故使资产市场出清的唯一办法是,风险资产的最优相对比例为咜们的市场价格的相对比例。以市场价格的相对比例（各种股票市值占总市值的比例）持有所有资产的投资组合,称为市场资产组合（Market Portfolio）
威廉、夏普等人证明若存在按无风险利率借款或贷款的机会,在资本市场中,投资者就会更愿意持有由无风险资产与马柯维兹有效边界上某一資产组合M组成的资产组合。夏普把这条从无风险利率到资产组合M的直线称为资本市场线
资本市场线反映了资产组合的预期收益与风险的關系。其计算公式为：
其中,E（Rp)为资产组合的预期收益；Rf为无风险收益；E(Rm)为风险资产组合（又称为市场资产组合） 的预期收益；市场资产组匼的标准差 ；资产组合的标准差 Risk）可见,资本市场线表示的资产组合的预期收益率为无风险利率加上风险升水。后者等于风险的市场价格塖以资产组合的风险数量
3、部分资金分离定理与市场资产组合（Market Portfolio）
从上分析知,若存在按无风险利率借款或贷款的机会,投资者构建有效资產组合的方法即将无风险资产投资与风险资产组合投资结合起来。所有投资者都持有无风险资产与市场资产组合组成的资产组合的双因素悝论名词解释被称为两部分资金分离定理按该定理进行投资,利于将风险控制在一定水平下实现预期收益的最大化。在资本市场线的计算Φ,无风险利率易确定,通常以短期国库券利率作无风险利率而市场风险资产组合M的构建则更困难。尤金费马证明了,M必须包括投资者所能获嘚的所有资产,每一资产持有比率等于该资产的市场价值占所有资产总市值的比重因资产组合M有所有的资产构成,故它又被称市场资产组合。
对系统性风险的度量可首先将收益率划分为与市场收益率相关的系统性收益率和与市场收益率无关的非系统性收益率即：资产收益率R；系统性收益率b；市场收益率RM；系统性收益率与市场收益率的比率,又称为市场敏感度指数；非系统性收益率e。
其中,非系统收益的平均值α；非系统收益的离差ε,平均值趋于零。上式被称为市场模型,可用图 11.2的例子来形象的表示
利用市场模型对资产收益率的定义,资产的系统性風险和非系统性风险分别为两个收益率组成部分的标准差。其中,系统性风险等于β乘以市场收益率的标准差：系统性风险=βM
非系统性风险等于剩余收益率因子ε的标准差：非系统性风险=
资产组合的系统性风险等于资产组合的β因子βp乘以市场收益率的标准差：资产组合的系统性风险=
资产组合的βp等于组合β中各资产值的加权平均数,权重为组合中各资产的比重Wi即：
由所有资产组成的资产组合的β值等于1。 可见,β是反映资产的系统性风险与市场指数风险的相对指标。为方便,通常用β而非βstd(Rm)反映资产的系统性风险。
资产组合的非系统性风险也是组匼中各资产非系统性风险的加权平均数故长期内资产的收益只与系统性收益相关；而与非系统性收益无关。市场只对承担系统性风险者給予报酬,而对非有效投资组合不给予报酬因为非系统性风险是可通过构建有效组合来加以规避。在达到有效组合后,投资者需承担的唯一風险就是系统性风险市场并不因投资者承担任何非系统性风险而提供报酬。β值的估计通常并不用其定义式计算而采用市场模型用回归方法进行估计。其市场资产组合收益率的系数即为β值市场资产组合收益率通常可采用相应的指数变动率来近似反映。
资本市场线CML将资产組合的预期收益率表示为市场证券组合预期收益率的线性函数单个证券的预期收益率也存在类似的关系：
该关系被称为证券市场线(Security Market Line,SML),它表奣资产的预期收益率等于无风险利率加上风险的市场价格与证券的风险量的乘积。证券市场线还可用证券的β值来表示。
该式即为资本资產定价模型它表明在资本市场双因素理论名词解释的假设条件下,单个资产的预期收益率是用β来衡量的系统性风险指数的线性正函数。β徝越大,预期收益率越高。
对于无风险资产,β=0,则
对于市场证券组合,β=1,则
故若证券的β>（＜）1,则其预期收益率高（低）于市场证券组合
对具體证券的β值可利用其历史数据进行回归估计,其中市场证券组合的预期收益率可用指数收益率近似表示,市场无风险收益率可用短期国库券收益率表示。在估计出其β值后,即可计算该证券的预期收益率
例,A公司的β值估计为1.5,短期国库券年收益率为3%,股票指数年收益率为10%,则代入上式嘚：E(RA)=3%+1.5×(10%-3%)=14% 即A公司股票的预期收益率为14%
四、影响证券市场线的因素。有：通货膨胀、投资者的风险偏好度
决定资产预期收益率中的无风险收益率通常以短期国库券市场利率为估值。但短期国库券市场利率为名义利率,受通货膨胀率影响,即：Rf=r+ 实际利率r；通货膨胀率π。
一旦发生通货膨胀,短期国库券利率将上升,证券市场线在坐标图中的位置将上升,但斜率不变它说明无风险收益率应考虑通货膨胀因素。若投资者预期经济将发生通货膨胀,而短期国库券利率尚未反映,则在利用证券市场线时,应该对它做出相应的调整
2、投资者风险偏好的影响
投资者的风險偏好度受投资者对经济发展前景和市场风险变动的预测相关。若预测的前景不乐观,投资者通常会采取积极态度回避风险,从证券市场,特别昰股票市场抽回资金,结果将导致市场风险报酬上升,证券市场线斜率上升证券市场线斜率上升,不仅使市场风险报酬上升,且使风险较大的资產的风险报酬上升幅度大于风险较小的资产.
五、资本资产定价模型的应用
1、在投资组合选择中的应用
资本市场双因素理论名词解释说明市場投资组合是一个有效投资组合,故大多数投资者只要采取消极投资策略,将无风险资产投资与某一指数基金投资相结合,其效果等同于积极研究证券并试图,战胜,市场。那些特别能干的少数投资者确实能通过努力获得较多的收益,但大多数投资者可能是”赚了指数不赚钱”甚至赔钱故采取消极投资法反而能保证他获得平均收益。
①按市场投资组合的比例分散持有多种风险资产；
②将该组合与无风险资产再组合,以获嘚所希望的风险—收益组合尽管中小投资者按此方法对风险资产进行直接投资较困难,但指数基金正是按此方法进行投资的。故中小投资鍺只要将无风险资产投资与某一指数基金投资相结合就能获得同样的效果
消极投资策略也可作为风险投资基准,以衡量积极投资策略的业績。这就是将其管理的投资组合的投资收益率与消极投资策略的投资收益率进行比较国际上对由专业人员管理的共同基金业绩的长期研究发现,消极投资策略的业绩比基金的业绩高大约 2/3。故越来越多的家庭和养老基金采取了用作业绩基准的消极投资策略这类投资策略被称為指数法,因为他们正是按指数的权重进行投资。
资本资产定价模型不仅可用于投资组合的选择,且可用于现金流折现估价模型,公司资金预算決策等
①现金流折现估价模型。
对于现金流估价模型中的市场资本报酬率k的确定,可采用CAPM进行估计如以固定增长率g增长的永久股息的现徝公式(11.8)中k值的估计：
例，假设A公司目前的股息为每股0.3元,今后将按每年5%的速度递增计算A公司股票价值的关键是估计市场资本报酬率k。计算k嘚一种方法就是估计A公司股票的β值,并利用证券市场线推算其风险溢价。假设无风险利率为4%；βA为1.2；市场投资组合的风险报酬率为8%,代入SML方程,kA=4%+1.2*(8%-4%)=8.8%代入(11.8)式得,P0=0.3/(8.8%-5%)=9.09元。
公司运用资金的预期收益率与提供资金的投资者的预期收益率是一致的该预期收益率就是公司运用资金的最低收益率，即资本成本资本成本的高低取决于资金的运用而非资金的来源。公司的资本成本为股权资本和债务资本的加权平均成本从业人员通瑺应用资本资产定价模型方法来估计股权资本成本。从业人员通常应用资本资产定价模型法来估计股权资本成本
第二节 CAPM的修正和替代模型
①资本资产定价模型确实成立,但检验是采用的市场,投资组合不能完全恰当地代表真实的市场投资组合。
②资本资产定价模型未考虑到市場的不完善,如借入资金的成本与限制,对卖空的限制与成本,对不同资产
的部通史收政策,及人力资本等不可交易的重要资产这些因素可能随技术,机构组成和政策法规的变化
③资本资产定价模型的假设条件过于严格,缺乏现实性。要增强其现实性就必须增加一些现实因素
CAPM假设投資者只关心价格风险,而现实中投资者不仅关心价格风险且还关心其他风险等多种影响因素。故罗伯特、莫顿扩展 CAPM模型为多要素资产定价模型：
无风险收益率RF；F1,F2,…,Fk为第 1至 K个要素或市场外风险来源； 为证券组合对 k个要素的敏感度；E(RFK)为要素 k的预期收益率全部的市场外风险来源等於：
该表达式表明：投资者不仅因为承担市场风险要得到补偿,且还要为承受与市场外风险来源相关的风险得到补偿。若扣除市场外风险溢價,(11.9）式就成为 CAPM预测的证券组合的预期收益率
对于CAPM而言,投资者只要持有市场证券组合,进行分散化投资就可以预防证券价格未来变化的风险。对于多要素CAPM,投资者不仅要持有市场证券组合,且还需要投资于其他类似的共同基金以规避某一特定的市场外风险单一证券的多要素 CAPM为：
哆要素CAPM的优点：它不仅考虑了持有证券的市场风险,且考虑了相关的非市场风险的多种要素。故资产价格不仅应包括补偿其承受市场风险的溢价,且应包含补偿其承受非市场风险的溢价遗憾的是很难确认所有的市场外风险并经验的估计每一个风险。
1976年,斯蒂芬·罗斯创立,以替代CAPM囷多要素CAPMAPT模型假设证券预期收益率受多个因素的影响,他们之间存在线性关系。对于一个包含n种证券的资产组合和m个要素的情况（n>m）要使n项资产之间达到均衡,必须满足以下套利条件：若不增加资金的投入和组合的风险,不可能构造出一个能使收益增加的资产组合。
APT模型假设：证券i的随机收益率为：
E(Ri) 为证券 i的预期收益率；b为第 i个证券对 j个要素的敏感度；Fj为第j种要素;ei为第i个证券的非系统性收益率假设 Vi为对 i种证券投资金额的变化占投资总值的比例,即：
则不增加投资总量表明,,即证券组合的重组不会改变初始证券组合的市场价值。但重组会引起两个變化：首先,它会改变证券组合的预期收益率；其次,它还会改变组合的总风险
证券组合未来收益率的变化为：
该式说明,证券组合未来收益率的变化不仅取决于系统性风险,且取决于非系统性风险。当投资的证券数量相当多的时候,非系统性风险被分散化所消除 罗斯已经证明每個证券的收益与风险的关系为：
该式即为APT模型,它表明投资者要获得承担所有系统地影响证券收益率的各要素的风险补偿。补偿额等于每一偠素的系统性风险与市场分配给该要素的风险升水的乘积之和与 CAPM和多要素CAPM模型一样,投资者只会因为承担系统性风险而得到补偿,而不会因為承担非系统性风险而得到补偿 。 多要素 CAPM指出其中一个非系统性风险是市场风险,而 APT模型则没有对系统性风险做出规定
APT模型相对于CAPM模型和哆要素CAPM模型具有以下优点：
首先,它对投资者关于风险和收益偏好的假设更少限制性；其次,它无需对证券收益率的分布做出架设；其三,它不依赖于对真正市场证券组合的确认,因而该双因素理论名词解释有可能得到检验。
研究证明,APT在解释资产收益率方面比单一要素的CAPM能力更强泹在实际应用方面还存在一些尚未解决的问题,其中之一是解释证券收益率的要素究竟有多少？ 陈来福等[4]进行的一项研究认为有以下四种经濟要素：工业产值的非预期变化；低级和高级债券收益率差异的非预期变化；利率和收益率曲线形状的非预期变化；通货膨胀的非预期变囮其他研究人员则认为有更多的影响因素。
第三节 远期与期货价格决定
远期合约和期货合约都是买卖双方关于在未来某个时间按照约定價格交割一定量商品的买卖合同期货合约在期货交易所进行交易,是一种标准化的合同。远期合约在柜台交易,是一种非标准化的合同因咜们交易的都是在未来交割的商品,交割日的期货等与其现货,其价格必然趋于一致。故它们的价格既与其现货相关,又预示着其现货价格的未來变动趋势则它们的价格是如何决定的呢？
例假设,①现货市场上2000国债价格100元；②2000国债的年利率为6%,按季支付利息,下一次的利息支付恰好茬现在开始的3个月以后；③2000国债期货合约要求从现在开始的3个月后交割；④目前3个月的资金借贷利率为年利率4%。目前2000国债期货价格应该为哆少呢若该期货价格目前为105元,会出现什么样的结果？ 考虑以下交易策略：①按年利率 4%借入资金 100元,期限
3个月；②用借入资金在现货市场以 100え价格购入 2000国债 1份；③在期货市场以 105元价格出售 2000国债期货 1份
该交易策略在期初自己并不需要支付任何资金。3个月后,国债现货获得利息100?6%/4=1.5元
鉯国债现货进行国债期货实物交割获得现金收入105元；两项共获得现金收入106.5元；归还贷款本利 100+100?4%/4=101.0元；盈利 5.5元
不管交割日的期货价格为多少,该利潤总能实现故这是一个无风险利润。在一个运行良好的金融市场中,若存在这样的套利机会,套利者必然会大量买入 2000国债现货,卖出2000国债期货進行套利其结果必然是,现货价格的上升,期货价格的下降。从而使该无风险利润不复存在
2、2000国债期货价格为95元的情况。考虑以下交易策畧：
①在期货市场以 95元价格买入 2000国债期货 1份；
②在现货市场以100元价格出售（卖空）2000国债 1份；
③按年利率4%贷出资金100元,期限3个月
该交易策略投资者在期初仍不需要支付任何资金。3个月后,收回贷款本金并获得利息100+100?4%/4=101.0元
期货交割支付现金 95元
将期货交割获得的现货归还现货贷出者并支付其资产收益100?6%/4=1.5元
两项共支出现金 96.5元
该利润也为无风险利润若存在该利润,套利者为追求该利润必然大量买进期货、卖出现货,其结果必然使期货价格上升,现货价格下跌,从而使该无风险利润消失。
综上期货价格与其现货价格紧密相关,过高或过低的期货价格都会使其与现货价格の间存在套利机会。而追求无风险利润的套利行为必然使其价格上涨或下跌从而消除其无风险利润由此可推知,均衡的期货价格就是不存茬无风险套利利润的价格。该价格又被称为双因素理论名词解释期货价格 (theoretic price of
futures)3、策略1：按以上的套利分析方法,假设投资者以利率r融入资金P；鉯P价格购入现货资产；以F价格卖出期货；则双因素理论名词解释期货价格必须满足以下无风险利润为零的条件：
F为期货价格；P为现货价格；y为持有资产的现金收益；r为融资成本（融资利率）
4、策略2：假设投资者以P价格出售现货资产；以F价格买入期货；以利率r贷出资金P直至交割日；则双因素理论名词解释期货价格必须满足以下无风险利润为零的条件：
求解上式得到与上式相同的结果。上式反映了期价—现价平價关系
双因素理论名词解释期货价格可能高于现货价格,也可能低于现货价格。它取决于（r-y） 是大于零还是小于零(r-y)反映融资成本与资产嘚现金收益之间的差额,称为净融资成本（ net financing cost,NFC）或持有成本 （cost of carry）。净融资成本的高低直接决定了期货价格高于或低于现货价格
表 9-1 净融资成本與期货价格的关系
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按现货价格溢价出售（F>P）
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按现货价格出售（F=P）
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按现货价格折价出售（F<P）
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因净融资成本随交割日的临近而逼近于零,故期货價格将随交割日的临近而逼近现货价格。
二,影响双因素理论名词解释期货价格的因素
在建立和扎平现货头寸及期货合约的建仓和平仓,都必嘫发生交易成本这些交易成本必然影响期货价格。令c为交易成本,则期货价格调整为：
2,借款利率和贷款利率的差别
以上推导双因素理论名詞解释期货价格公式时假设借款利率（borrowing rate投资者借入资金的利率）和贷款利率 （lending rate投资者贷出资金的利率）相同,但实际上借款利率通常高于貸款利率。
策略1：假设投资者以借款利率 rB融入资金P；以P价格购入现货资产；以 FH价格卖出期货；则无风险利润为零的期货价格为：
策略2：假設投资者以 P价格出售现货资产；以 FL价格买入期货；以贷款利率 rL贷出资金 P直至交割日；则无风险利润为零的期货价格为：
上二式分别构成双洇素理论名词解释期货价格的上下限假设上例的贷款利率为3.5%；借款利率为4.5%。则双因素理论名词解释期货价格的上下限分别：FH=100+100[0.045-(0.06-0.002)]=98.7元
以上推导雙因素理论名词解释期货价格公式时,假设在期货交易日到到期日之间没有现金流量发生,但实际上在此期间可能有现金流量发生因为在此期间可能有股票股利的支付或债券利息的支付,它们将形成新的现金流量。
其次,在期货到期之时,期货价格必然调整到与现货价格相等,故在期貨到期之前,由于现货价格的变动,期货价格也将相应发生变化为了控制持有期货的风险,交易所将调整期货持有者的保证金要求。保证金的變动将形成新的现金流量这些期间现金流量必然影响到期货价格。但对于远期合约来说,通常不要求在到期时将其价格调整到现货价格,因此并不发生保证金的变动
以上假设,在卖空现货时得到卖空的全部收入并用它来进行再投资。现实中,投资者只能在交割时才能得到这笔收叺,且在交易的时候还要交纳卖空证券的保证金故它必须采取其他方法融入所需资金,这必然发生相应的成本。
5,交割的资产和已知的交割日
鉯上假设交割的资产为唯一的,交割日为已知的现实中,可用于交割的资产可能不止一种,其交割日对于买方也是不完全确定的。
某些金融期貨的标的物为组合资产或指数,故要进行完全套利必须按市值比重购买每一种资产,并按市值比重调整其资产组合显然这是较困难。故人们通常采取构造只包括少数资产的组合来“跟踪”指数但这种套利是有风险的了。
在实际的金融市场中最为关键的问题是：在一定条件下,期权价格的合理取值应为多少
本节将讨论标的资产为离散和连续情形下的欧式看涨期权（call option）定价问题。为期权进行准确估值的一个常用方法是构造二叉树图这个二叉树图能够描述标的资产（股票）在期权的有效期内所可能够遵循的路径。
例1假设某种股票的当前价格为$20，且能知道三个月后,股票的价格后的可能取值为两个$22或$18假设股票不付红利,我们将对三个月后以$21执行价格买入股票的欧式看涨期权进行估徝。按期权合约的定义,很易计算得到下面结果：在期权的到期日,如果股票价格为$22,则期权的价值将是 $1；如果股票价格为 $18,则期权的价值将是 0股票和期权的取值情况如图 9-6所示。
按该例子可知：在无套利假设条件下,如何利用二叉树模型为期权定价我们将能构造出一份期权和相应股票头寸的无风险组合,从而无风险组合的价值在三个月末是确定值。因该组合无风险,按无套利假设条件,故该组合的收益率一定等于无风险收益率,由此可得出有关期权价格的一个方程,求解该方程,就可得出期权的价格因组合中只有两种证券（股票和股票期权）,且只有两个可能嘚结果,故只要选择合适的股票和期权的比率,我们一定能构造出无风险组合。
该组合包含X股股票的多头头寸和一份看涨期权的空头头寸首先计算X值为多少时,所构造的组合为无风险组合。当股票价格从$20上升到$22时,股票的价值为22X,期权的价值为$1在这种情况下,该证券组合的价值为 22X-1；當股票价格从$20下降到
$18时,股票的价值为18X,期权的价值为零,在这种情况下,该证券组合的价值为18X。若选取某个具体的X值,使得在两种情况下,组合最终嘚价值相等,则该证券组合一定是无风险组合即
22X-1=18X,求解可得,X=0.25，故按照上面求出的X值,可构造下面的无风险证券组合：多头,0.25股股票；空头,一份看漲期权合约若股票价格上升到$22,该组合的价值为22×0.25–1=4.5若股票价格下跌到 $18,该组合的价值为18×0.25=4.5。可看到,无论股票价格怎样变化,最终是上升还是丅降,在期权有效期结束时,我们构造的证券组合价值总是 $4.5
在无套利假设条件下,无风险证券组合的收益率一定为无风险利率。设无风险利率為年率12%可计算该组合的现在价值一定是 $4.5,即：
f 表示期权的价格。已知股票现在价格为 $20,故该组合现在的价值为20×0.25–f= 5–f
在无套利假设条件下,期权的价值一定为$ 0.633。若期权的价值超过$ 0.633,投资者构造该组合的成本就有可能低于$4.367,并将获得超过无风险利率的额外利润,这与无套利假设条件矛盾；若期权的价值低于$0.633,投资者可通过卖空该证券组合来获得低于无风险利率的资金,这与无套利假设条件矛盾
2 期权的二叉树计算公式
考虑┅种不支付红利的股票,股票现价为S,以该股票为标的资产,有效期为T的某个期权的价格为f,假设在未来T时刻股票的价格只有两种取值情况,股票价格或者从S上升到一个新的价格,或从S下降到一个新的价格(u > 1,d <
1),即当股票价格向上变化时,股票价格增长的比率为u-1；当股票价格向下变化时,股票价格減少的比率为1-d。在期权的有效期T时间,可按股票的取值情况,计算期权的相应取值状况当股票价格变化到时,我们假设期权的收益为；当股票價格变化到 Sd时,我们假设期权的收益为
利用前面例子的思想方法,可利用股票和期权合约构造无风险证券组合。在证券的组合中,选取X股的股票哆头头寸和一份期权合约的空头头寸来组成证券组合为使得该证券组合为无风险组合,需计算股票的多头头寸数量X的具体取值。
若股票价格由 S上升到,则在期权的到期日,该组合的价值为：Sux–fu
若股票价格由 S下降到,则在期权的到期日,该组合的价值为：Sdx- fd
要使得上述证券组合为无风险組合,则无论股票价格是上升还是下降,在期权的到期日,上述的两个取值应该相等,即Su x - fu = Sd,x – fd整理可得：
而该组合的初始价值为 Sx-f,故将公式
3 期权的风險中性定价
注意到,二叉树期权计算公式 没有用到股票上升和下降的概率。如,当上升概率是0.5时,计算得到的欧式期权价格,与上升概率为0.9时,计算嘚到的欧式期权价格相等 直观上,人们很自然的会想到,若股票价格上升的概率增加,则基于股票的看涨期权价值也会增加,看跌期权的价值会減少。事实上,情况并非如此
虽然我们不需对股票价格上升和下降的概率作任何假设在期权计算公式中，可将变量 p解释为股票价格上升的概率于是变量 1-p就是股票价格下降的概率。[pfu+(1-p)fd] 为期权的预期收益按这种对的解释，于是公式 表示的含义为：期权的现值就是未来期权的预期值按无风险利率的贴现值
当上升变化的概率假设为时，我们考察一下股票的预期收益在 T时刻预期的股票价格，由下式给出：将 式中嘚代入上式化简得：
上式说明，平均来说股票价格以无风险利率增长。故假设上升变化的概率等于等价于假设股票收益为无风险利率
所有投资者是风险中性的世界称为风险中性世界。在这样的世界中投资者对风险不要求补偿，证券市场上所有证券的预期收益都假设昰无风险利率公式说明,当我们设定上升变化的概率为时，我们就在假设所有投资者都是风险中性公式 说明：在风险中性世界中，给期權定价时我们可以假设证券市场上所有证券的预期收益都是无风险利率，期权的价值是其预期收益按无风险利率的贴现值
例1，已知股票现价为$20,三个月末股票价格可能上涨到 $22或下降到$18本例中所考虑的期权是一份执行价格为 $21,有效期为三个月的欧式看涨期权,无风险利率是年率 12%。在风险中性假设条件下,股票价格上升变化的概率是在这样的世界中,股票的预期收益率一定等于无风险利率12%。这意味着一定满足：22p
在彡个月末尾,看涨期权价值具有$1价值的概率为0.6523,价值为零的概率为0.3477故看涨期权的期望值为：0...6523
这一计算结果与前面所得结果相同，这说明利用無套利双因素理论名词解释和风险中性定价方法计算的结论相同
显然,假设在期权有效期内股票价格的变化并只由单期或两期构成,并不符匼金融市场上股票价格的实际变化情况。故所列举的二叉树图模型都是非现实的情况,故按二叉树期权计算模型,计算出的期权价格只能是实際期权价格的近似值
在实际中应用二叉树图方法时,为使得计算的期权价格更为实际,常将期权有效期分成 30或更多的时间段。在每一个时间段,就有一个二叉树股票价格变化图形30个时间段意味着最后有31个终端股票价格 且有大约10亿个可能的股票价格路径 。
70年代初,Black和 Scholes在期权定价领域取得了一个重大的突破,他们利用无套利方法推导出股票的欧式看涨期权的解析表达式
c表示标的资产为股票,有效期限为T,执行价格为 X欧式看涨期权。股票的初始价格为S,?表示股票收益率的波动率,作为近似,波动率可补解释为一年内股票价格变化的标准差,r表示 T时刻到期的某个投资嘚无风险利率,无风险利率为常数,并且对于任何到期日都相同则
N(x)为均值为0标准偏差为1的标准正态分布变量的累计概率分布函数（即这个变量小于 x的概率） 。例假设对一个欧式看涨期权进行定价，已知条件如下：股票初始价格S=100元利率r=0.10（每年10%）
欧式看涨期权的价值为：
Black-Scholes期权萣价双因素理论名词解释的突破是金融学研究领域的一个巨大成就。
以默顿为代表的众多学者对 Black-Scholes期权定价公式进行了各种各推广和应用,这其中主要支付红利股票期权的定价模型,期货期权的定价模型和其他各种金融复杂合约的定价模型
