下题解析中，已知有三个判断线性无关的题解，求秩，不是4-3吗，为什么还加1

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2017-11-05 04:12 标签： 判断线性无关的题

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设η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解（A是m×n矩阵）ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解，证明：
（1）向量组η1η1-η2判断线性无关的题；
（2）若秩r（A）=n-1，则向量组ξ，η1η2线性相关．

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已知η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，因此
又η1与η2是互不相同的即η1-η2≠0
∴向量组η1，η1-η2判断线性无关的题
（2）由秩r（A）=n-1知Ax=0的基础解系只含有一个解向量
∴ξ是Ax=0的一个基础解系
又η1-η2是Ax=0的一个非零解
∴ξ、η1-η2线性相关，即存在数k使得η1-η2=kξ
即向量组ξ，η1，η2线性相关
（1）写出向量组的线性组合然后利用η1与η2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，证明系数为零即可；（2）由r（A）=n-1得到齐次线性方程组Ax=0的基础解系只含有一个解向量；再由η1-η2是Ax=0的一个非零解，得到ξ、η1-η2线性相关从而证明结论．
向量组判断线性无关的题的判定与证明；向量组线性相关的判别．
此题考查向量组的判断线性无关的题或相关的判定、齐次线性方程组與非齐次线性方程组解的关系和解的结构，是基础知识点的综合．

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