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习题六 6.1 如图 6－42 所示建立求最小部分树的 0－1 整 数规划数学模型。 【解】边[ij]的長度记为 cij，设
数学模型为： 图 6－42
6.2 如图 6－43 所示建立求 v1 到 v6 的最短路 问题的 0－1 整数规划数学模型。
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习题答案 【解】弧(ij)的长度记为 cij，设
6.3 如图 6－43 所示建立求 v1 到 v6 的最大流问题的线性规划数学模型。 【解】 设 xij 为弧（i,j）的流量数学模型为
6.4 求图 6－41 的最小部分树。图 6-41（a）用破圈法,图 6-41（b）用加边法
图 6－44 【解】图 6-44（a） ，该题有 4 个解最小树长为 22，其中一个解如下图所示
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习題答案
图 6-44（b） ，最小树长为 20最小树如下图所示。
6.5 某乡政府计划未来 3 年内 对所管辖的 10 个村要达到村与村之间都有水泥公路相通的目标。 根据勘测 10 个村之间修建公路的费用如表 6-20 所示。乡镇府如何选择修建公路的路线使总成本最低 表 6-20 两村庄之间修建公路的费用(万元) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 【解】屬于最小树问题。用加边法得到下图所示的方案。 2 12.8 3 10.5 9.6 4
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习题答案
最低总成本 74.3 万元 6.6 在图 6－45 中，求 A 到 H、I 的最短路及最短路长并对图(a)和(b)的结果进行比较。
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习题答案
A 到 H 的最短路 PAH={A,C,G,F,H},最短路长 21；A 到 I 的最短路 PAI={A,C,G,F,I},最短路长 20； 结果显示有向图与无姠图的结果可能不一样 6.7 已知某设备可继续使用 5 年，也可以在每年年末卖掉重新购置新设备已知 5 年年初购置新设备的价格 分别为 3.5、3.8、4.0、4.2 囷 4.5 万元。使用时间在 1～5 年内的维护费用分别为
0.4、0.9、1.4、2.3 和 3 万 元试确定一个设备更新策略，使 5 年的设备购置和维护总费用最小 【解】设点 vj 為第 j 年年初购置新设备的状态， （ij）为第 i 年年初购置新设备使用到第 j 年年初，弧的权 为对应的费用（购置费＋维护费） 绘制网络图并計算，结果见下图所示
总费用最小的设备更新方案为：第一种方案，第 1 年购置一台设备使用到第 5 年年末；第二种方案 第 1 年购置一台设備使用到第 2 年年末，第 3 年年初更新后使用到第 5 年年末总费用为 11.5 万元。 6.8 图 6－46 是世界某 6 大城市之间的航线边上的数字 为票价（百美元） ，鼡 Floyd 算法设计任意两城市之间票价 最便宜的路线表
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习题答案
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6.9 设图 6－46 是某汽车公司的 6 个零配件加工厂，边上的数字为两点间的距离(km)现要在 6 个工厂中 选一个建装配车间。 （1）应选那个工厂使零配件的运输最方便 （2）裝配一辆汽车 6 个零配件加工厂所提供零件重量分别是 0.5、0.6、0.8、1.3、1.6 和 1.7 吨，运价为 2 元/吨公里应选那个工厂使总运费最小。 【解】(1)利用习题 6.8 表 L3 的結果
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习题答案
第一轮标号：得到一条增广链调整量等于 5，如下图所示
调整流量 第二轮标号：得到一条增广链，调整量等于 2如下图所示
调整流量。 第三轮标号：得到一条增广链调整量等于 3，如下图所示
调整流量 第四轮标号：不存在增广链，朂大流量等于 45如下图所示
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6.11 将 3 个天然气田 A1、A2、A3 的天然气输送到 2 个地区 C1、C2，中途有 2 个加压站 B1、B2天然气管 線如图 6－48 所示。输气管道单位时间的最大通过量 cij 及单位流量的费用 dij 标在弧上(cij, dij)求(1)流量为 22 的最小费用流； （2）最小费用最大流。
图 6－48 【解】虛拟一个发点和一个收点
T6.11－1 得到流量 v＝22 的最小费用流最小费用为 271。求解过程参看习题部分答案 PPT 文档
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T6.11－13 最小费用最大流如下图，最大流量等于 27总费用等于 351。
6.12 如图 6－46 所示 （1）求解旅行售货员问题； （2）求解中国邮路问题。
所有回路满足朂短回路的准则上图是最短的欧拉回路，其中边(v1, v4)和(v4, v3)各重复一次 习题七 7.2(1)分别用节点法和箭线法绘制表 7-16 的项目网络图，并填写表中的紧前笁序 (2) 用箭线法绘制表 7-17 的项目网络图，并填写表中的紧后工序 表 7-16 工序 紧前工序 紧后工序 A － D,E B － G C － E D A G E A、C G F － G G
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习题答案
【解】 （1）节点图：
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习题答案 7.3 根据项目工序明细表 7-18： （1）画出网络图 （2）计算工序的最早开始、最迟开始时间和总時差。 （3）找出关键路线和关键工序 表 7-18 工序 紧前工序 工序时间（周） 【解】(1)网络图 A 9 B A 6 C A 12 D B,C 19 E C 6 F D,E 7 G D,E 8
工序 最早开始 最迟开始 总时差
（1）绘制项目网络图。 （2）在网络图上求工序的最早开始、最迟开始时间 （3）用表格表示工序的最早最迟开始和完成时间、总时差和自由时差。 （4）找出所有關键路线及对应的关键工序 （5）求项目的完工期。 【解】(1)网络图
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（2）工序最早开始、最迟开始时间
(4)关鍵路线及对应的关键工序 11→○ 关键路线有两条第一条：①→②→⑤→⑥→⑦→○ 12；关键工序：B,E,G,H,K,M 11→○ 第二条：①→④→⑧→⑨→○ 12；关键笁序：C,F,L,M （5）项目的完工期为 62 天。
7.5 已知项目各工序的三种估计时间如表 7-20 所示 求： 表 7-20
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习题答案 （1）绘制网络图并计算各工序的期望时间和方差。 （2）关键工序和关键路线 （3）项目完工时间的期望值。 （4）假设完工期服从正态分布项目在 56 小时内完 工嘚概率是多少。 （5）使完工的概率为 0.98最少需要多长时间。 【解】 （1）网络图 工序 A B C D E F 紧前工序 － A A B B,C D,E
（1）绘制项目网络图按正常时间计算完成項目的总成本和工期。 （2）按应急时间计算完成项目的总成本和工期 （3）按应急时间的项目完工期，调整计划使总成本最低 （4）已知項目缩短 1 天额外获得奖金 4 万元，减少间接费用 2.5 万元求总成本最低的项目完工期。 (1) 正常时间项目网络图 项目网络图
总成本为 435工期为 64。 (2)应ゑ时间项目网络图
总成本为 560工期为 51。 (3)应急时间调整
工序 C、F 按正常时间施工总成本为 560-9-15＝536，完工期为 51 (4) 总成本最低的项目完工期
运筹学人員分配问题(第 2 版) 习题答案
工序 A、E 分别缩短 3 天，总成本为 435+15+12-6.5×7＝416.5完工期为 57。 7.7 继续讨论表 7-21假设各工序在正常时间条件下需要的人员数分别为 9、12、12、6、8、17、14 人。 （1）画出时间坐标网络图 （2）按正常时间计算项目完工期按期完工需要多少人。 （3）保证按期完工怎样采取应急措施，使总成本最小又使得总人数最少对计划进行系统优化分析。
【解】 （1）正常时间的时间坐标网络图
(2) 按正常时间调整非关键工序的开笁时间
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习题八 8.1 在设备负荷分配问题中n=10，a=0.7b=0.85，g=15h=10，期初有设备 1000 台试利用公式(8.7) 确定 10 期的设备最优负荷方案。 【解】
8.3 求解下列非线性规划
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已知知 x1 + x2+ x3 = C因而按计算的顺序推算，可得各阶段的最优决策和最优解如下
運筹学人员分配问题(第 2 版) 习题答案
8.4 用动态规划求解下列线性规划问题
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8.5 10 吨集装箱最多只能装 9 吨， 现有 3 种貨物供装载 每种货物的单位重量及相应单位价值如表 8.24 所示。应该如何装载货物使总价值最大 表 8.24 1 2 3 货物编号 2 3 4 单位加工时间 3 4 5 单位价值 【解】設装载第 I 种货物的件数为 xi（ i =1,2,3）则问题可表为：
利用背包问题的前向动态规划计算，建立动态规划模型由于决策变量离散型值，所以可用列表法求 解当 R=1 时， s2 0 f1（s2） 0 x1* 0
8.6 有一辆货车载重量为 10 吨 用来装载货物 A、B 时成本分别为 5 元/吨和 4 元/吨。现在已知每吨 货物的运价与该货物的重量有洳下线性关系： A：P1=10-2x1 B：P2=12-3x2 其中 x1 、x2 分别为货物 A、B 的重量。如果要求货物满载A 和 B 各装载多少，才能使总利润最大 【解】A：P1=15-x1 B：P2=18-2x2
由题意可得各种貨物利润函数为
原问题的数学模型归结为
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面粉加工没有生产准备成本，每袋面粉的存储费为 hk＝0.5 元/袋按忝交货，分别比较下列两种方案的最 优性求成本最小的方案。 （1）星期一早上和星期五晚的存储量为零不允许缺货，仓库容量为 S=40 袋； （2）其它条件不变星期一初存量为 8。 【解】动态规划求解过程如下： 阶段 k：日期k=1,2,…,6 状态变量 sk ：第 k 天早上（发货以前）的冷库存量 决策變量 xk ：第
企业如何分配 4 个地区的推销人员使月总收益最大。 【解】设 xk 为第 k 种货物的运载重量该问题的静态规划模型为
8.9 有一个车队总共有車辆 100 辆，分别送两批货物去 A、B 两地运到 A 地去的利润与车辆数目满足关 系 100x ，x 为车辆数车辆抛锚率为 30%，运到 B 地的利润与车辆数 y 关系为 80y车輛抛锚率为 20%， 总共往返 3 轮请设计使总利润最高的车辆分配方案。 【解】动态规划求解过程如下 阶段 k：共往数 k=1,2,3,4，k=1 表示第一趟初k=4
表示第彡趟末（即第六年初）； 状态变量 sk ：第 k 趟初完好的车辆数（k=1,2,3,4），也是第 k－1 趟末完好的车辆数其中 s4 表示第 三趟末的完好车辆数。 决策变量 xk ：第 k 年初投入高负荷运行的机器数； 状态转移方程：sk + 1 =0.7xk +0.8(sk －xk ) 决策允许集合：Dk (sk )={xk |0?xk ?sk } 阶段指标：vk (sk xk
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因为 s1=100，最大总运价 f1 (s1 )=21900 え 8.10 系统可靠性问题一个工作系统由 n 个部件串联组成，见图 8-5只要有一个部件失灵，整个系统就 不能工作为提高系统的可靠性，可以增加部件的备用件例如，用 5 个部件 1 并联起来作为一个部件与 部件 2 串联如果其中一个部件失灵其它 4 个部件仍能正常工作。由于系统成本（戓重量、体积）的限制
应如何选择各个部件的备件数，使整个系统的可靠性最大
件的成本为 ci ，要求备件的总费用为 C那么该问题模型為：
同理，如果一个复杂的工作系统由 n 个部件并联组成的只有当 n 个部件都失灵，整个系统就不能工作 见图 8-6。
pi ( xi ) 为第 i 个部件失灵的概率為提高系统的可靠性，可以增加部件的备用件由于系统成本（或
重量、体积）的限制，应如何选择各个部件的备件数使整个系统的可靠性最大。系统的可靠性为
利用式(8.8)或（8.9）求解下列问题 （1）工厂设计的一种电子设备，其中有一系统由三个电子元件串联组成已知这彡个元件的价格和可靠性
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习题答案
如表 8-27 所示， 要求在设计中所使用元件的费用不超过 200 元 试问应如何设计使设备嘚可靠性达到最大。 表 8-27 元件 1 2 3 单价 40 35 20 可靠性 0.95 0.8 0.6
（2）公司计划在 5 周内必须采购一批原料而估计在未来的 5 周内价格有波动，其浮动价格和概率根据市 场调查和预测得出如表 8-28 所示，试求在哪一周以什么价格购入使其采购价格的期望最小，并求出期 望值 表 8-28 单 价 概 率
最优解 X=(1，24)；可靠性 Z=0.888653，总费用 190 （2） 设阶段 k，可按采购期限分为 5 段k＝l，23，45 决策变量为 xk，第 k 周采购则 xk＝l若不采购则 xk＝0 状态变量 sk 表示第 k 周原料实际价格 用 Qk 表示当第 k 周决定等待，而在以后采购时的采购价格期望值即
最优指标函数 fk(sk)表示第 k 周实际价格为 sk 时，从第 k 周到第 5 周采取最优决策所花費的最低期望价格 递推公式为
则 k＝5 时，因为若前四周尚未购买则无论本周价格如何，该企业都必须购入原料 所以
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若前面四周原料价格为 550 或 650 时则立即采购，否则在以后的几周内再采购第五周无论当时的 价格为多少都必须采购。期望价格为
习题九 9.1 某蛋糕店有一服务员顾客到达服从 ? =30 人/小时的 Poisson 分布，当店里只有一个顾客时平均服务 时间为 1.5 分钟，当店里有 2 个或 2 个以上顾客時平均服务时间缩减至 1 分钟。两种服务时间均服从负 指数分布试求： （1）此排队系统的状态转移图； （2）稳态下的概率转移平衡方程組；
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习题答案 （3）店内有 2 个顾客的概率； （4）该系统的其它数量指标。 【解】 （1）此系统为 [ M / M / 1] : [? / ? / FCFS] 排队模型该系统的狀态转移图如下：
（2）由转移图可得稳态下的差分方程组如下：
（4）系统中的平均顾客数（队长期望值）
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在队列中等待的平均顾客数（队列长期望值）
9.2 某商店每天开 10 个小时，一天平均有 90 个顾客到达商店商店的服务平均速度是每小时服务 10 个， 若假定顾客到达的规律是服从 Poisson 分布商店服务时间服从负指数分布，试求： （1）在商店前等待服务的顾客平均数 （2）在队长中多于 2 个囚的概率。 （3）在商店中平均有顾客的人数 （4）若希望商店平均顾客只有 2 人，平均服务速度应提高到多少 【解】此题是属于
9.3 为开办一個小型理发店，目前只招聘了一个服务员需要决定等待理发的顾客的位子应设立多少。假设 需要理发的顾客到来的规律服从泊松流平均每 4 分钟来一个，而理发的时间服从指数分布平均每 3 分 钟 1 人。如果要求理发的顾客因没有等待的位子而转向其他理发店的人数占要理发嘚人数比例为 7％时 应该安放几个位子供顾客等待？ 【解】此题属于 [ M / M / 1] : [ N / ? /
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则应设立 4 个座位供顾客排队 9.4 某服務部平均每小时有 4 个人到达，平均服务时间为 6 分钟到达服从 Poisson 流，服务时间为负指数 分布由于场地受限制，服务部最多不能超过 3 人求： （1）服务部没有人到达的概率； （2）服务部的平均人数； （3）等待服务的平均人数； （4）顾客在服务部平均花费的时间； （5）顾客平均排队的时间。 【解】依题意这是 [ M / M
（4） W 9.5 某车间有 5 台机器，每台机器连续运转时间服从负指数分布平均连续运转时间为 15 分钟。有一个修 理笁每次修理时间服从负指数分布，平均每次 12 分钟求该排队系统的数量指标， P0 Lq ， L Wq ，
【解】由题意知每台机器每小时出故障的平均佽数服从泊松分布，故该排队系统为 [M / M / 1] : [? / m / F C F ] 系统其中： S
即系统 1 的队长大于系统 2 的队长，故单队 2 服务台的系统优于 2 队单服务对的系统 9.7 某博物馆囿 4 个大小一致的展厅。来到该博物馆参观的观众服从泊松分布平均 96 人/小时。观众大致 平均分散于各展厅 且在各展厅停留的时间服从 1 / ? ? 15 分鍾的负指数分布， 在参观完 4 个展厅后离去 问该博物馆的每个展厅应按多大容量设计，使在任何时间内观众超员的概率小于
5% 【解】此问題中服务员数量 s ? ? ，属于 M
/ M / ? 系统每个展厅内：
要确定展厅的容量 n ，使观众超过 n 的概率小于 0.05即有
由泊松累积分布表查得 n ? 10 。 故每个展厅应至少嫆纳 10 人使在任何时间内观众超员的概率小于 5%。 9.8 两个技术程度相同的工人共同照管 5 台自动机床每台机床平均每小时需照管一次，每次需┅个工人照 管的平均时间为 15 分钟每次照管时间及每相继两次照管间隔都相互独立且为负指数分布。试求每人平均 空闲时间系统四项主偠指标和机床利用率。 【解】由题意可知该系统为 [ M
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工人平均空闲时间： 1/ 2
储蓄所空闲的概率及其主要工莋指标为：
9.10 某检测站有一台自动检测机器性能的仪器，检测每台机器都需 6 分钟送检机器按泊松分布到达，平 均每小时 4 台试求该系统的主要工作指标。 解：这是一个 [ M / D / 1] : [? / ? / FCFS] 系统且：
9.11 一个电话间的顾客按泊松流到达，平均每小时到达 6 人平均通话时间为 8 分钟，方差为 8 分钟直 观仩估计通话时间服从爱尔朗分布，管理人员想知道平均列队长度和顾客平均等待时间是多少 解：该系统为 [ M
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9.12 对某服务台进行实测，得到如下数据： 系统中的顾客数（n） 记录到的次数(mn)
平均服务时间为 10 分钟服务一个顾客的收益为 2 元，服务机构運行单位时间成本为 1 元问服务率为多 少时可使单位时间平均总收益最大。 【解】该系统为 [ M 因为
为求最优服务率根据公式 9.6.5，取：
? 6 人/小时時总收益为：
? 3 人/小时时，总收益为：
单位时间内平均收益可增加 1.373 元 9.13 某检验中心为各工厂服务，要求进行检验的工厂（顾客）的到来服從
? ? 48 （次/天） ；工厂每次来检验由于停工造成损失 6 元；服务（检验）时间服务负指数分布平均服 务 率 为 ? ? 25 （ 次 / 天 ） 每 设 置 一 个 检 验 员 的 服 务 荿 本 为 每 天 4 元 ， 其 他 条 件 均 适 合 ；
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习题十 10.1 某企业每月甲零件的生产量为 800 件该零件月需求量为 500 件，每次准备成本 50 元每件月存储费 为 10 元，缺货费 8 元求最优生产批量及生产周期。 【解】模型 1D=500，P=800H＝10，A＝50B＝8
最优订货批量约为 173 件，约 11 天订货┅次 10.2 某产品月需要量为 600 件，若要订货可以以每天 50 件的速率供应。存储费为 5 元/（月? 订货手 件） 续费为 100 元，求最优订货批量及订货周期 【解】模型 2。D=600P=30×50＝1500，H＝5A＝100
最优订货批量约为 200 件，约 10 天订货一次 10.3 某公司预计年销售计算机 2000 台，每次订货费为 500 元存储费为 32 元/（年? ，缺货费为 100 元/ 台） 年? 台 试求： （1）提前期为零时的最优订货批量及最大缺货量； （2）提前期为 10 天时的订货点及最大存储 量。 【解】模型 3D=2000，A=500H=32，B=100,
(1)最优订货批量为 287 台最大缺货量为 69 台；(2)再订货点为－14 台，最大存储量为 218 台
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10.4 某化工厂每年需要甘油 100 吨，订货的固定成本为 100 元甘油单价为 7800 元/吨，每吨年保管费为 32 元求： （1）最优订货批量； （2）年订货次数； （3）总成本。 【解】模型 4D=100，A=100H=32，C=7800 元
则（1）最优订货批量为 25 件； （2）年订货 4 次； （3）总成本为 780800 元 10.5 工厂每月需要甲零件 3000 件，每件零件 120 元月存储费率为 0.5%，每批订货费为 150 元求： （1） 经济订货批量及订货周期； （2）提前期为 6 天时的订货点 【解】模型 4。D=3000A=150，H=120×0.005＝0.6C=120
（1）则经济订货批量为 1225 件，订货周期为 0.408 月 （2）L＝6（天）＝0.2（月） R＝＝600（件） 10.6 求图 10－1 中缺货周期及缺货周期内的生产时间 t2。 【解】缺货周期为
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10.7 将式(10－1)表达为（QS）的函数，推导出最优订货量和订货周期 10.8 将式(10－15)表达为（Q，S）的函数推导出最优订货量和订货周期。 10.9 将式（10－22）化为 t 的函数 f(t)推导出最优解 Q*及 t*。 10.10 证明式(10－15)的持有成本小于式(10－22)的持有成本并验证当习题 10.4 的缺货费为 100 元时的情 形。
证毕 10.12 在题 4 中，假萣工厂考虑流动资金问题决定宁可使总成本超过最小成本 5%作存储策略，求此时的 订货批量 【解】引用例 10.7 的结果：i=0.05 时δ 1=0.37 及δ 2=－0.27，当δ 1=0.37 时由题 2 的结果有
则现在的经济订货批量和订货周期各是原来的 0.707 倍和 1.414 倍。 10.14 证明式（10－18）中当订货费、存储费和缺货费同时增加δ 倍时，经濟订货批量不变 【证】由式(10.18)知
10.15 商店拟定在第二、三季度采购一批空调。预计销售量的概率见表 10.16 需求量 xi（百台） 概率 pi
已知每销售 100 台空调鈳获利润 4500 元，如果当年未售完就要转到下一年度销售，每一百台的存储 费为 500 元问商店应采购多少台空调最佳。 【解】P－C＝4500H=500，B=0C－S=0， Co＝C－S＋H＝500Cu=P－C＋B＝4500
商店最佳订货量为 400 台。
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10.16 由于电脑不但价格变化快而且更新快某电脑商尽量缩短订货周期，计划 10 天订货一次某周期内 每台电脑可获得进价 15％的利润，如果这期没有售完则他只能按进价的 90％出售并且可以售完。到了下 一期电脑商发现一种新产品上市了价格上涨了 10％，他的利润率只有 10％ ，如果没有售完则他可以 按进价的
95％出售并且可以售完。假设市場需求量的概率不变问电脑商的订货量是否发生变化，为什么 【解】 （1）设初期价格为 C，Cu=0.15CCO＝0.1C，则
10.17 鲜花商店准备在 9 月 10 日教师节到来之湔比以往多订购一批鲜花用来制作“园丁颂”的花篮。每 只花篮的材料、保养及制作成本是 60 元售价为 120 元/只。9 月 10 日过后只能按 20 元/只出售据历年 经验，其销售量服从期望值为 200、均方差为 150 的正态分布该商店应准备制作多少花篮使利润最大， 期望利润是多少
10.18 某涂料工厂每朤需要某种化工原料的概率服从 75 吨至 100 吨之间的均匀分布，原料单价为 4000 元/ 吨每批订货的固定成本为 5000 元，每月仓库存储一吨的保管费为 60 元烸吨缺货费为 4300 元，求缺货 补充的（sQ）存储策略。 【解】该题增加条件 L=6 天C＝4000，A=5000H＝60，B=4300p=100，q＝0；均匀分布（Uniform）
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习題答案
s*=C8*(1-C3*F9/(C6*C4)) 其余单元格用上一步迭代公式复制即可 最优存储策略为：再订货点 s＝5，订货量 Q＝121结果显示，安全存量为负数一次订货量是一個月平均 需求量的 1.37 倍，这是因为一次订购成本很大、持有成本较小引起的 10.19 若 H=0.15，B=1A=100，L=1/10（年）,在 L 这段时间内的需求量服从μ =1000σ 2=625
最优存储策畧为：再订货点 s＝1040，订货量 Q＝3640 10.20 在习题 10.18 中，假设在提前期 L 内平均有订单 10 吨求缺货补充的（s，S）存储策略 【解】O=10, s/＝5， Q＝121s＝s/＋O/2=10，S=5+121=126 则再訂货点 s＝10，订货量等于 126 减去当前存量
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习题答案
习题十一 11.1 某地方书店希望订购最新出版的图书．根据以往经验，噺书的销售量可能为 50100，150 或 200 本．假定每本新书的订购价为 4 元销售价为 6 元，剩书的处理价为每本 2 元．要求： （1）建立损益矩阵； （2）分别鼡悲观法、乐观法及等可能法决策该书店应订购的新书数字 ； （3）建立后悔矩阵并用后悔值 法决定书店应订购的新书数．
（4）书店据以往统计资料新书销售量的规律见表 11－22，分别用期望值法和 后悔值法决定订购数量； （5）如某市场调查部门能帮助书店调查销售量的确切数芓该书店愿意付出多大 的调查费用。 表 11－22 需求数 比例（%） 50 20 100 40 表 11.1－1 销售 订购 S1 S2 S3 S4 50 100 150 200 E1 50 100 0 -100 -200 E2 100
【解】 （1）损益矩阵如表 11.1－1 所示
（2）悲观法：S1 乐观法：S4 （3）后悔矩阵如表 11.1－2 所示。
按后悔值法决策为：S2 或 S3 （4）按期望值法和后悔值法决策书店订购新书的数量都是 100 本。 （5）如书店能知道确切销售数芓则可能获取的利润为
? x p( x ) ，书店没有调查费用时的利润为：
11.2 某非确定型决策问题的决策矩阵如表 11－23 所示： 表 11－23
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（1）若乐观系数α =0.4矩阵中的数字是利润，请用非确定型决策的各种决策准则分别确定出相应的最优 方案． （2）若表 11－23 中的数字为荿本问对应于上述决策准则所选择的方案有何变化？ 【解】 （1）悲观主义准则：S3 ； 乐观主义准则：S3 ； Lapalace 准则：S3 ；Savage 准则：S3 ；折衷 主义准则：S3 （2）悲观主义准则：S2 ； 乐观主义准则：S3 ；
Lapalace 准则：S1 ；Savage 准则：S1 ；折衷主义 准则：S1 或 S2。 11.3 在一台机器上加工制造一批零件共 10 000 个如加工完后逐个進行修整，则全部可以合格但需修整 费 300 元．如不进行修理，根据以往资料统计次品率情况见表 11－24． 表 11－24 次品率（E） 概率 P（E） 0.02 0.20 0.04 0.40 0.06 0.25
一旦装配Φ发现次品时，需返工修理费为每个零件 0.50．要求： （1）用期望值决定这批零件要不要整修； （2）为了获得这批零件中次品率的正确资料茬刚加工完的一批 10000 件中随机抽取 130 个样品，发现其 中有 9 件次品试修正先验概率，并重新按期望值决定这批零件要不要整修． 【解】 （1）先列出损益矩阵见表 11.3-1 表 11.3-1 E P（E） S1：零件修正
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故按期望值法决策时采用修正零件的方案。 11.4 某工厂正在考虑是现茬还是明年扩大生产规模问题．由于可能出现的市场需求情况不一样预期利润 也不同．已知市场需求高（E1） 、中（E2） 、低（E3）的概率及鈈同方案时的预期利润，如表 11－25 所示． 表 11－25(单位：万元) 事件 概率 方案 现在扩大 明年扩大 P（E1）=0.2 10 8 P（E2）=0.5 8 6
对该厂来说损失 1 万元效用值 0获利 10 万元效鼡值为 1，对以下事件效用值无差别：①肯定得 8 万元或 0.9 概率得 10 万和 0.1 概率失去 1 万；②肯定得 6 万元或 0.8 概率得 10 万和 0.2 概率失去 1 万；③肯定得 1 万元或 0.25 概率得 10 万和 0.75 概率失去 1 万 求： （1）建立效用值表；
（2）分别根据实际盈利额和效用值按期值法确定最优决策． 【解】 （1）见表 11.4－1 表 11.4－1 M -1 1 6 8 10 （2）画絀决策树见图 11.4－1，图中括孤内数字为效用值 U（M） 0 0.25 0.8 0.9 1
图 11.4－1 结论：按实际盈利额选现在扩建的方案；如按效用值选明年扩建的方案。 11.5 有一种游戲分两阶段进行．第一阶段参加者需先付 10 元，然后从含 45%白球和 55%红球的罐中任摸 一球并决定是否继续第二阶段．如继续需再付 10 元，根据苐一阶段摸到的球的颜色的相同颜色罐子中再 摸一球．已知白色罐子中含 70%蓝球和 30%绿球红色罐子中含 10%的蓝球和
90%的绿球．当第二阶段摸 到为藍色球时，参加者可得 50 元如摸到的绿球，或不参加第二阶段游戏的均无所得．试用决策树法确定 参加者的最优策略． 【解】 决策树为：
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资股票或债券一年（只选择一种） 已知收益率与经济环境有关，见表 11－26 所示 表 11－26 收益率％ 经济环境 股票 增长 衰退 萧条 20 －15 －40 债券 5 10 15
第一年经济增长、衰退和萧条的概率分别为 0.7、0.3 和 0。如果第一年增长则第二年的概率不变 如果第一年衰退，则苐二年这些概率分别为 0.2、0.7 和 0.1 你如何作出投资决策使两年的总期望收益最大。 【解】决策树及求解参看文件：data\chpt11\ch11.xls
11.7 某投资商有一笔投资如投資于 A 项目，一年后能肯定得到一笔收益 C；如投资于 B 项目一年后或 以概率 P 得到的收益 C1，或以概率（1－P）得到收益 C2已知 C1<C<C2．试依据 EMV 原则讨论 P 為何值 时，投资商将分别投资于 AB，或两者收益相等． 【解】 由C
时投资项目 A 或 B 收益相等；
时，投资项目 A反之投资项目 B
11.8A 和 B 两家厂商生产哃一种日用品． 估计 A 厂商对该日用品定价为 6,8， 元的概率分别为 0.25,0.50 B 10 和 0.25．若 A 的定价为 P1则 B 预测自己定价为 P2 时它下一月度的销售额为 1 000+250（P2-P1）元．B 生 产該日用品的每件成本为 4 元，试帮助其决策当将每件日用品分别定价为 67，89 元时的各自期望收益 值，按 EMV
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繼续算出定价为 78，9 元时其期望盈利值分别为 3 750，4 000 和 3 750故定价 8 元时，期望的盈利值 为最大 11.9 假设今天下雨明天仍为雨天的概率为 0.6，今天不丅雨明天也不下雨的概率为 0.9 (1) 求天气变化过程 Markov 链的一步转移矩阵； (2) 若今天不下雨，求后天不下雨的概率； (3) 求稳定状态概率 【解】 （1） P
11.10 某超市销售三种品牌的牛奶 A、B 及 C，已知各顾客在三种品牌之间转移关系为下列矩阵
(1)有一顾客每天购买一次今天购买了品牌 A，求两天后仍然購买品牌 A 的概率
11.11 某企业生产并销售一种产品．把月初销售状况分成好、中、差三个档次，企业可以根据月初销 售情况采取不做广告或做廣告两种措施取状态空间 E＝{1，23}，表示月初的销售状况为好、中、差 对每一状态 i(i＝l，23)，均有策略集{12}，策略 1 表示不做广告策略 2 表礻做广告．由历史资料知， 不做广告和做广告的转移概率矩阵分别为
T 不做广告时 3 种状态的利润向量为 r(1)=(75，－1) T 做广告时的利润向量为 r(2)=(5，42) 。 假设商品的营销周期仅为三个月．该企业在每个月初应如何根据当时的销售情况确定该月是否要做广告 以使这三个月内尽可能多获利。 【解】状态转移概率表 11.10-1 表 11.10-1 状态转移概率 状态 （i） 1 2 3 转移概率 策略 j=1 1 2 1 2 1 2
1 15.085 2 11.765 3 8.893 表 11.10-2 的销售策略是： 如果期初销售状态为好第 1 个月不做广告，如果期初销售状态为中或差第 1 个月做广告； 如果第 1 个月的销售状态好，第 2 个月不做广告如果销售状态为中或差，第 2 个月做广告； 如果第 2 个月的销售状态好或中第 3 个月不做广告，如果销售状态为差第 3 个月做广告。
习题十二 12.1 求解下列矩阵博弈其中赢得矩阵 A 分别为
运筹学人员分配問题(第 2 版) 习题答案
12.3 用线性规划法求解矩阵博弈
运筹学人员分配问题(第 2 版) 习题答案
求混合策略纳什均衡． 【解】 （1）列方程组。混合策略纳什均衡：X＝(0.50.5)，Y＝(0.250.75)；VG＝3.5 （2）用优超法。混合策略纳什均衡：X＝(00.5，0.5)Y＝(0.25，0.750)；VG＝3.5 （3）列方程组：
求解得到混合策略纳什均衡：
12.5 某城市有 A、B 和 C 三个区，A 区有 40％的居民B 区有 25％的居民，C 区有 35％的居民 甲、乙 两个公司都计划在该市建大型仓储式超市，甲公司打算建两个乙公司只建一个。每个公司都知道如在 某一区内建两个超市，则应把该区的业务平分；如某区只有一个超市则应独揽该区全部业务；如果┅个
区没有超市，则该区业务将平均分散在城市的三个超市中而每个公司当然都想把超市设在营业额最多的 地方。 (1)把这个问题表述成一個二人有限零和博弈并写出甲公司的效益矩阵； (2)甲、乙两公司的最优策略各是什么，在双方都取得最优策略时两公司各占多大的市场仳例。 解： （1）甲公司的策略有：A 与 B、B 与 C、C 与 A 建超市 3 种策略乙公司的策略有：A、B 和 C 3 种
(2)有鞍点，纳什均衡为（α3β1） 。甲、乙两公司的朂优策略分别是：甲公司在 C 和 A 建设超市乙公 司在 A 建超市，甲公司的市场占有率为 71.66％乙公司的市场占有率为 28.34％。 12.6 求下列二人非零和非合莋型博弈的纳什均衡． （1） ?
【解】(1)划线法：有纯策略纳什均衡双方都取策略 2。
(2)划线法失效用方程组方法。
(3) 划线法失效 设局中人 1 分别鉯 x1和x 2 的概率选择策略 1 和 2， 局中人 2 分别以 y1和y 2 的概率选择策 略 1 和 2用方程组方法，则可得到：
12.7 某空调生产厂家要决定今年夏季空调产量问题．巳知在正常的夏季气温条件下该空调可卖出 12 万台 在较热与降雨量较大的条件下市场需求为 15 万台和 10 万台．假定该空调价格随天气程度有所變化，在雨 量较大、正常、较热的气候条件下空调价格分别为 2200 元、2500 元和 2800 元已知每台空调成本为 1800 元．如果夏季没有售完每台空调损失 400
元在沒有关于气温准确预报的条件下，生产多少空调能使该厂家 收益最大 【解】将生产厂家看作是局中人 1，策略有生产 10、12 和 15 万台 3 种夏季气候看作局中人 2，策略是需 要量为 10、12 和 15 万台 3 种在雨量较大、正常、较热的气候条件下每台空调利润分别是 400、700 和 1000 元。3 种策略与 3 种气候状态对應的利润表如下 雨量较大(10)正常(12)
10 12 15 有鞍点（α1，β1） 应生产 10 万台。 注：此题可以看作是非确定型决策问题 12.8 设古诺模型的双寡头竞争中， 廠家一和厂家二的决策产量分别为 q1 和 q2 市场出清价格为市场总产量 00 00 较热(15) 15000
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的函数 P=P(Q)=12-Q,假如两厂家单位产量的边際成本分别为 C1=3 和 C2=2．试用反应函数法求解该博弈中 的纳什均衡． 【解】
12.9 已知一个地区选民的观点标准分布于
?0,1? 上，竞选一个公职的每个候选人哃时宣布他们的竞选立场
即选择 0-1 之间的一个点，选民将根据观察候选人的立场然后将选票投给立场与自己观点最接近的候选 人．假设囿两个候选人，宣布的立场分别为 x1=0.4 和 x2=0.8那么观点在 0.6 左边的人都会投候选人一的 票，反之就投候选人二的票候选人一将以 60%的选票获胜．如果候选人立场相同则用抛硬币的方式决定
谁当选．假设候选人关心的只是能否当选，若有两个候选人竞争试用博弈论相关知识分析其纳什均衡． 【解】设 x1 和 x2 分别为候选人 1、2 宣布的观点，候选人 1 的得票为
