△ABC三边为三分之一是有理数吗。求证cosnA为三分之一是有理数吗。

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-04-07 14:09 标签： 三分之派是有理数吗
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已知△ABC的三边长都是有理数．（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数．
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（1）证明：设三边长分别为a，b，c，2+c2-a22bc，∵a，b，c是有理数，b2+c2-a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，∴2+c2-a22bc必为有理数，∴cosA是有理数．（2）①当n=1时，显然cosA是有理数；当n=2时，∵cos2A=2cos2A-1，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；②假设当n=k（k≥2）时，结论成立，即coskA、cos（k-1）A均是有理数．当n=k+1时，cos（k+1）A=coskAcosA-sinkAsinA，，，解得：cos（k+1）A=2coskAcosA-cos（k-1）A∵cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数，∴2coskAcosA-cos（k-1）A是有理数，∴cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数．即当n=k+1时，结论成立．综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数．
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（1）设出三边为a，b，c，根据三者为有理数可推断出b2+c2-a2是有理数，b2+c2-a2是有理数，进而根据有理数集对于除法的具有封闭性推断出2+c2-a22bc也为有理数，根据余弦定理可知2+c2-a22bc=cosA，进而可知cosA是有理数．（2）先看当n=1时，根据（1）中的结论可知cosA是有理数，当n=2时，根据余弦的二倍角推断出cos2A也是有理数，再假设n≤k（k≥2）时，结论成立，进而可知coskA、cos（k-1）A均是有理数，用余弦的两角和公式分别求得cos（k+1）A，根据cosA，coskA，cos（k-1）A均是有理数推断出cosA，coskA，cos（k-1）A，即n=k+1时成立．最后综合原式得证．
本题考点：
余弦定理的应用；数学归纳法．
考点点评：
本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力．
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已知三角形ABC的三边长都是有理数 求证：cosA是有理数 对任意正整数n,cosA是有理数还是RT.
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cos a = (b^2 + c^2 -a^2)/2bc 社b=k1*a ,c= k2*a ,k1,k2也是有理数 ,所以带入 (k1^2+k2^2-1)a^2 / 2(k1k2)a^2 = (k1^2+k2^2-1) / 2k1k2 ,因为分数是有理数 所以cosA 是有理数
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扫描下载二维码△ABC三边为有理数。求证cosnA为有理数。_百度知道
△ABC三边为有理数。求证cosnA为有理数。
可不可以通过n=1,2成立，假设n=k,k+1成立，去证明n=k+2成立?
我有更好的答案
用余弦定理和有理数封闭性质。
我知道，那是证明cosA,我说的是证明cosnA
若n是正整数，可用数学归纳法可证明cos(nA)=2cosAcos(n-1)A-cos(n-2)A
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