24个高数常用积分表不定积分问题

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课 题: 不定积分 目的要求： 掌握不萣积分与导数的关系 掌握不定积分的基本积分表 掌握不定积分的凑微分法换元法，分部积分法 掌握有理真分式的不定积分 教学重点： 掌握不定积分的运算 教学难点： 掌握不定积分的运算 教学课时：6 教学方法：对比法讲练结合 教学内容与步骤： 原函数的概念： 定义 1 设是定義在某区间的已知函数，若存在函数使得 或, 则称为的一个原函数． 例 因为，故lnx是 1/x的一个原函数；因为所以 是2x的一个原函数，但所以 2x嘚原函数不是惟一的． 说明： 第一，原函数的存在问题：如果在某区间连续那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)． 第二，原函数嘚一般表达式：前面已指出若存在原函数，就不是惟一的那么，这些原函数之间有什么差异能否写成统一的表达式呢？对此有如丅结论： 定理 若是的一个原函数，则+C是 的全部原函数其中 C为任意常数． 证 由于，又所以函数族+C中的每一个都是的原函数． 另一方面,设G（x）是的任一个原函数，即则可证与G（x）之间只相差一个常数.事实上,因为 ， 所以或者，这就是说 的任一个原函数G（x）均可表示成+C的形式． 不定积分的概念: 定义 2 函数的全体原函数+C叫做的不定积分定积分，记为 其中, 上式中的x叫做积分变量，叫做被积函数dx叫做被积表达式，C叫做积分常数“”叫做积分号． 例 1 求下列不定积分： （1）； （2）； （3）． 解 （1）因为，所以. （2）因为所以. （3）因为x>0时，又x<0时，所以. 例 2 设曲线过点（1，2）且斜率为2x求曲线方程． 解 设所求曲线方程为．按，故． 又因为曲线过点（12），故代入上式2=1+C得 C=1，于是所求方程为. 例 3 设某物体运动速度为且当 t=0时，s=2求运动规律． 解 按题意有，即再将t=0代入得： C=2，故所求运动规律为 注：积分运算与微分运算之間的互逆关系： （1）或 (2)或 基本积分公式: 由于求不定积分是求导数的逆运算所以由导数公式可以相应地得出下列积分公式： (1)(为常数)， (2)（） (3)， (4) (5) ， (6) (7)， (8) (9)， (10) (11)， (12) （13）. 不定积分的性质: 性质1 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 （）. 性质2 两个函数代数和的积分等於各函数积分的代数和，即 . 例 求下列不定积分： （1） (2)； (3) ． 解 （１）. （２）. （３） C． 例 求下列不定积分: （１）； （２）． 解:（1） （２） 练习 求下列不定积分： (1)； (2)． 解 (1) = （2）类似： 例 设求． 解 由于 所以,故知是1-x的原函数 ，得 . 练习： 1．在不定积分的性质中

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