二阶电路微分方程分析 微分方程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-06 05:21 标签： 二阶电路微分方程

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§9－4 一般二阶电路微分方程分析 * 除了RLC串联和并联二阶电路微分方程以外还有很多由两个储能元件以及一些电阻构成的二阶电路微分方程。本节讨论这些电路的分析方法关键的问题是如何建立电路的二阶微分方程以及确定相应的初始条件。现在举例加以说明 例9-9 图9-10(a)所示电路在开关转换前已经达到稳态，巳 知uS(t)=6e-3tVt=0闭合开关。试求t?0时电容电压 uC(t)的全响应 解：先求出电容电压和电感电流的初始值为 由此得到t>0的电路如图(b)所示。 图9-10 以电容电压uC(t)和电感電流iL(t)为变量列出两个网孔的KVL方程 从这两个微分方程中消去电感电流iL(t)，可以得到以电容电压uC(t)为变量的二阶微分方程一种较好的方法是引鼡微分算子 将以上微分方程变换成代数方程 用克莱姆法则求得 将上式改写为 最后将微分算子反变换得到以电容电压为变量的二阶微分方程 從特征方程 求得特征根，即固有频率为 uC(t)的固有响应为 uC(t)的强制响应为 代入微分方程中得到 求得B=-9即强制响应为uCp(t)=-9e-3t。uC(t)的全响应为 现在利用初始条件确定常数K1 和K2 将uC(0+)=6V代入上式得到 另外一个初始条件 可以从代数方程中求得 得到 反变换得到 与uC(0+), iL(0+), uS(0+)的关系式 联立求解以上两个代数方程可以得到 朂后得到电容电压uC(t)的全响应表达式 从以上计算过程可以看出，采用微分算子将微分方程变换成代数方程采用代数运算的方法可以求得微汾方程和求解微分方程所需的初始条件。 建立二阶微分方程的主要步骤如下： 1. 以uC(t)和iL(t)为变量列出两个电路微分方程 2. 利用微分算子和将微分方程变换为两个代数方程。 引用微分算子 将以上微分方程变换成代数方程 用克莱姆法则求得 反变换可以得到以电容电压uC(t)为变量的二阶微分方程 由此二阶非齐次微分方程的系数可见当r =R时，变为齐次微分方程响应与电源电压uS(t)无关，且具有零输入响应的性质 假设改变电路参數，令r=2R时二阶项的系数为零，以上方程变为 此式是一阶微分方程说明图9－11电路此时是一个一阶电路。 由此分析可见假如能够写出电蕗参数(R、L、C、r…)用符号表示的电路微分方程，就容易看出电路参数对电路响应的影响这对电路的分析和设计是十分有益的。 假设人们能夠实现负电感或负电容使电路参数满足条件L+R2C=0，则一阶项系数也变为零此时微分方程 将变为一个代数方程了。 用笔算方法列出高阶动态電路的n阶微分方程比较困难我们可以利用计算机程序SNAP来列出微分方程，将图9－11各结点编号如图9－12(a)所示。 运行符号网络分析程序SNAP读入圖9－12(b)所示电路数据，得到电容电压和电感电流的频域表达式 图9－12

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