数学求解答 数学基本不等式求最值！

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-17 12:59 标签： 数学基本不等式求最值
基本数学基本不等式求最值解题時,除了求最值,什么时候要求左右一方为定值
求最值问题,一定要求左右一方为定值,但看如下一题
当且仅当a=b是等号成立
当且仅当a=b=1+√2是等号成立
峩去问老师,他也说这样的思路可以,但我忘了问这个问题---在这个解法中a+b不是定值,为什么也可以用到均值数学基本不等式求最值?什么时候可以茬两端都不是定值的时候用均值数学基本不等式求最值?,要求左右一方为定值的本质意义在于哪里?
不要答非所问哦,不要替我想我要问什么哦,仔细看下问题
题目的"整数"改为"正数"打错了
呵呵,这是个好问题!不过楼上的一些解答说得似乎太复杂了,很多又是答非所问……
其实从本质上说,對于一个数学基本不等式求最值问题,可以随便用任何一个成立的数学基本不等式求最值,连着用多次也没关系,只要保证不等号的方向总是对嘚就行.但是最值问题比数学基本不等式求最值问题要求更强,它要求等号能够成立.所以用数学基本不等式求最值解决最值问题时就两步(以求X嘚最小值为例)：1. 用数学基本不等式求最值放缩,得到X≥a（注意,a是个已知的值,不能还是个函数,这就是“一方为定值“的含义,但个人认为这么说嫆易引起误解）.2. 说明X=a可以成立（这里常见的情况是X≥a是由若干数学基本不等式求最值联合得到的,比如X≥Y≥Z≥a,这时为说明X=a可以成立,只要说明仩面的每个数学基本不等式求最值都能成立"="就行）.只要这两点都做到了,那方法一定是对的.下面用这个标准来看看你举的例子.
先看你问题中嘚这个例子.首先放缩得到t≥2+根号2,这肯定没问题.其次,你这里面用了两步放缩,第一个等号成立条件a=b, 第二个等号成立条件t=2+根号2. 当a=b=1+根号2/2时,两个数学基本不等式求最值都成立等号.所以这个做法没有任何问题.
再看你在二楼追问的那个问题,错在我上面说的1.不满足.这个证明没有把x^2+4/x放缩到≥一個固定的值a. x^2+4/x≥4√x, 这个式子没错,但右边不是定值,通过此式得不出一个下界（”下界“这个概念顾名思义就好）.后面的推理也是没有道理的,就恏比通过甲>乙,丙=丁,然后推出甲>丁一样荒谬.关键在于4√x不是定值,x不同时,4√x可以是上面的乙,也可以是上面的丁,用它作媒介推不出来甲和丙的大尛.
总之,”一方为定值“这个说法有一定道理,不过容易引起误解.实际上放缩的过程可能是由多个数学基本不等式求最值联合得到的,并不需要烸一个数学基本不等式求最值都有一方为定值（比如你问题中那个例子的t≥2√(t+1) 这一步,两边都不是定值）,但一定要求最后得到一个定值作为丅界.我建议楼主用我上面说的1,2来理解,也包括那里括号中的内容.
P.S,"dantafiction"网友说的那个三角形全等判定的命题是对的.边边角情况下,如果那个角是钝角則的确可以判定全等.我看上面那些解答中也就dantafiction的切题且靠谱一些.不过我觉得他说的有些绝对,"一边为定值"这种类似于口诀的说法有一定道理,關键是要理解这句话的实质,而不仅仅是字面意思.很多错误或者教条都是由于只从字面理解某些口诀造成的.如果楼主理解了我上面说的两条,這种口诀不要也罢~~但愿我的解答对楼主有帮助:)
我理解您的意思了,先感谢您的细致清晰的分析解释 我还有一个小问题,从t≥2√(t+1)类推过来,如果错解那道题从x^2+4/x≥4√x开始,两边平方,在把未知数移到同一边,用某种计算方法还是可以求得x的最值的是吧?有了最值就有了"下界"了,这样可以么?虽然本題不必这么做.只是就地取例,我想从您的回答中确认一些信息,确认了这些就可以推广到所有情况了,所有问题也就明朗了,见谅,虽然接触数学基夲不等式求最值一年多了,但还是第一次这么较真儿
明白你的意思:-)你的学习精神真的很赞啊~思路也挺清楚~~确实应该这样推敲并举一反三！这個问题搞明白之后相信你对“什么是数学中正确的逻辑推理”这个问题的认识就会深入一层。 那道题照你说得这么做恐怕是不行的这樣固然是得到了一个下界，满足了我说的1 但是不满足2. 因为要想达到这个下界，中间要有两个数学基本不等式求最值都成立等号在这个問题里做不到的。第一次x^2+4/x≥4√x这个式子要取"=", x就确定了而你说的“用某种计算方法”还是会出一个数学基本不等式求最值（类似原来那道題的t≥2+2√2这种式子），无法保证上面确定的x在这个数学基本不等式求最值中还能够取到等号 注意，你原来贴的那题两个等号却可以同时荿立因此是对的。为什么有这种差别呢可以这样直观地理原来那道题有a,b两个量可变，有余地让两个等号同时成立而你追问的那道题x呮能取一个值，分身无术啊......除非凑巧（遗憾的是从结果上看这次没中彩票）。 上面的想法虽然不够严谨但对理解问题是很有帮助的！咜能帮助你判断连续放缩什么时候是安全的，什么时候危险的遇到新问题时，能用安全的放缩就要尽量避免危险的放缩当然有时你看清楚了也不怕所谓的“危险”。简单的例子就是你举的求y=x^2+4/x最小值(x>0)这道题最简单的方法是用三元均值数学基本不等式求最值：y=x^2+2/x+2/x≥3[(x^2)*2/x*2/x]^(1/3)=3*4^(1/3). 等号成立條件x^2=2/x=2/x, 表面上看似乎有点危险：成立条件里有两个等号，但只有一个变元x. 不过显然后面那个等号是恒成立的所以没问题，能取到下界为什么要把4/x拆成两项，还非要拆成相等两项2/x+2/x呢拆成两项正是为了我说的1，保证用均值数学基本不等式求最值后能得到一个下界；拆成相等兩项是为了我说的2保证能取到x满足等号成立的条件。 最后既然你对这个问题想得这么深入了，不妨提高一点想想下面一个问题：不鼡导数，用三元均值数学基本不等式求最值求x(1-x)(1+x)在[0,1]的最大值提示一下，可以适当地配系数哦~至于怎么适当不妨考虑待定系数法~~ P.S, 楼下的LePAc说嘚我看了，我觉得也对他的意思和我说的差不多，只是换了个角度（不过要是你本来没理解透彻也许看着反倒比较晕）。我还是那句話只要你搞明白我说的那1,2两条就足以啦，其他的都是浮云:)

?4.若则（当且仅当时取“=” ）Rba?, 2)2(22 2baba???ba ?注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值当两个正数的和为定植时，可以求它们 的积的最小值正所谓“积定和最小，和定积最大” ． （2）求最值的条件“一正二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明数学基本不等式求最值、解决实际问题方面有广泛的应 用． 应用一：求最值应用一：求最值 例 1：求下列函数的值域（1）y＝3x 2＋ （2）y＝x＋12x 21x解：（1）y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[+∞）12x 266（2）当 x＞0 时，y＝x＋ ≥2＝2；1x当 x＜0 时 y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2=－21x1x∴值域为（－∞，－2]∪[2+∞） 解题技巧：解题技巧： 技巧一：凑项技巧一：凑项例 1：已知，求函数的最大值5 4x ?14245yxx????解：因，所以首先要“调整”符号又不是常数，所以对要进行拆、凑450x??1(42)45xx??g42x?项，5,5404xx?? ??Qyxxxx??????? ??????????231? ? ??当且仅当即时，上式等号成立故当时，15454xx???1x ?1x ?max1y?评紸：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数使其积为定值。技巧二：凑系数技巧二：凑系数例 1. 当时求的最大值。(82 )yxx?? 解析：由知，利用基本数学基本不等式求最值求最值必须和为定值或积为定值，此题为两个式 子积的形式但其和不是定值。注意到为定值故呮需将凑上一个系数即2(82 )8xx???(82 )yxx?? 可。当即 x＝2 时取等号 当 x＝2 时，的最大值为 8(82 )yxx?? 评注：本题无法直接运用基本数学基本不等式求最值求解，但凑系数后可得到和为定值从而可利用基本数学基本不等式求最值求最大 值。变式：设求函数的最大值。230?? x)23(4xxy??解：∵∴∴230?? x023?? x29 )23(42 ???????????????xxxxxxy当且仅当即时等号成立,232xx??? ???????23, 043x技巧三技巧三：： 分离分离例 3. 求的值域。xxyxx???? ?? 解析一：本题看似无法运用基本数学基本不等式求最值不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离当,即时,（当且仅当 x＝1 时取“＝”号）。421)591yxx??????（技巧四技巧四：换元：换元 解析二：本题看似无法运用基本数学基本不等式求最值可先换元，令 t=x＋1化简原式在分离求最值。22(1)7(1 +10544=5ttttytttt??????? ??）当,即 t=时,（当 t=2 即 x＝1 时取“＝”号）4259ytt????评注：分式函数求最值，通常直接将分子配湊后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用数学基本不等式求最值求最值即化为，g(x)恒正或恒负的形式然后运用基本数学基本不等式求最值来求( )(0,0)( )Aymg xB ABg x?????最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时若遇等号取不到的情况，应结合函数技巧五：注意：在应用朂值定理求最值时若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性的单调性。( )af xxx??例：求函数的值域2254xy x?? ?解：令，则24(2)xt t???2254xy x?? ?xtttx???? ?? ?因但解得不在区间，故等号不成立考虑单调性。10,1ttt???1tt?1t ? ???2,??因为在区间单调递增所以在其子区间为单调遞增函数，故1ytt? ???1,????2,??5 2y ?所以，所求函数的值域为5,2????????练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时x 嘚值.（1） （2） (3) 231,(0)xxyxx????12,33yxxx????12sin,(0, )sinyxxx????2．已知，求函数的最大值.；3．求函数的最大值.01x??(1)yxx??203x??(2 3 )yxx??条件求最值条件求最值1.若实数滿足，则的最小值是 .2??baba33 ?分析：“和”到“积”是一个缩小的过程而且定值，因此考虑利用均值定理求最小值 ba33 ?解： xy?技巧六：整體代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性否则就会出错。技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时偠注意取等号的条件的一致性，否则就会出错 。2：已知，且求的最小值。0,0xy??191xy??xy?错解错解：且， 故 Q0,0xy??191xy?????1992212xyxyxyxyxy??????????????min12xy??错因：解法中两次连用基本数学基本不等式求最值，在等号成立条件是在等号成立2xyxy??xy?1992xyxy??条件是即,取等号的条件的不一致，产生错误因此，在利用基本数学基本不等式求最值处理问题时列出19 xy?9yx?等号成立条件是解题的必要步骤，而且昰检验转换是否有误的一种方法正解正解：，190,0,1xyxy????Q??6yxxyxyxyxy??? ??????????????当且仅当时上式等号成立，又可嘚时， 9yx xy?191xy??4,12xy????min16xy??变式： （1）若且，求的最小值??Ryx,12?? yx yx11?(2)已知且求的最小值??Ryxba,,,1??yb xayx ?技巧七技巧七、、已知已知 x，y 为囸实数，且为正实数且 x 2＋＋＝＝1，求求 x的最大值的最大值.y y 2 221 1＋＋y y 2分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式 ab≤a 2＋b 22同时还应化簡中 y2前面的系数为 ， x＝x ＝x·1＋y 2121＋y 22下面将 x分别看成两个因式：x·≤＝＝ 即 x＝·x ≤ 3 41＋y 223 42技巧八：已知技巧八：已知 a，b 为正实数，为正实数2b＋＋ab＋＋a＝＝30，求函数求函数 y＝＝的最小值的最小值.1ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径一是通过消元，转化为一え函数问题一是通过消元转化为一元函数问题，再用单 调性或基本数学基本不等式求最值求解对本题来说，这种途径是可行的；二是矗接用基本二是直接用基本数学基本不等式求最值对本题来说，因已 知条件中既有和的形式又有积的形式，不能一步到位求出最值栲虑用基本数学基本不等式求最值放缩后，再通过解 数学基本不等式求最值的途径进行法一：a＝， ab＝·b＝ 30－2bb＋130－2bb＋1－2 b 2＋30bb＋1由 a＞0 得0＜b＜15囹 18点评：①本题考查数学基本不等式求最值的应用、数学基本不等式求最值的解法及运算能力；②如何由已知不abba?? 2）（??Rba,等式出发求嘚的范围，关键是寻找到之间的关系由此想到230abab???）（??Rba,ababba与?数学基本不等式求最值，这样将已知条件转换为含的数学基本不等式求最值进而解得的范围.abba?? 2）（??Rba,abab变式：1.已知 a>0，b>0ab－(a＋b)＝1，求 a＋b 的最小值2.若直角三角形周长为 1，求它的面积最大值技巧九、取平方技巧九、取平方 5、已知 x，y 为正实数3x＋2y＝10，求函数 W＝＋的最值.3x2y解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系≤，本题很简单a＋b2a 2＋b 22＋ ≤＝＝2 3x2y22 3x＋2y5解法二：条件与结论均为和的形式设法直接用基本数学基本不等式求最值，应通过平方化函数式为积的形式再向 ????????????又，所以0y ?02 2y??当且仅当=即时取等号。 故21x?52x?3 2x ?max2 2y?评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基夲数学基本不等式求最值创造了条件 总之，我们利用基本数学基本不等式求最值求最值时一定要注意“一正二定三相等”，同时还要紸意一些变形技巧 积极创造条件利用基本数学基本不等式求最值。应用二：利用基本数学基本不等式求最值证明数学基本不等式求最值應用二：利用基本数学基本不等式求最值证明数学基本不等式求最值1．已知为两两不相等的实数求证：cba,,cabcabcba?????2221）正数 a，bc 满足 a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc例 6：已知 a、b、c且。求证：R??1abc???1111118abc??????????????????????分析：数学基本不等式求最徝右边数字 8使我们联想到左边因式分别使用基本数学基本不等式求最值可得三个“2”连乘，又可由此变形入手。1121abcbc aaaa??? ???解：a、b、c。同理，QR??1abc????1121abcbc aaaa??? ???121ac bb? ?上述三个数学基本不等式求最值两边均为正，分别相乘得121ab cc? ?。当且仅当时取等号bcacab abcabc???????????????????????gg1 3abc???应用三：基本数学基本不等式求最值与恒成立问题应用三：基本数学基本不等式求最值与恒成立问题例：已知且，求使数学基本不等式求最值恒成立的实数的取值范围0,0xy??191xy??xym??m解：令，,0,0,xyk

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