高数问题 曲面积分问题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-27 15:12 标签： 高数问题

三重积分、第一类曲面积分的问題

在学习第一类曲线积分与三重积分之后会发现它们的计算有些不同但又相似，实际上最根本的原因还是对概念的不理解只要理解概念加以思考，这些问题就应然而解

（1） 三重积分与第一类曲面积分的概念；

（3） 三重积分与第一类曲面积分的物理意义，三重积分在计算的过程中不能把积分趋

于带入到被积函数中而三重积分的积分曲面可以带入到被积函数中去；

（1） 概念 三重积分

设f (x , y , z )是空间有界闭区域Ω上的有界函数，将Ω任意分割成为n 个小闭区域，

?v 1?v 2，?v 3?v n ，其中?v 表示第i 个小闭区域，也带表第i 个小闭区域的体积在

如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时，这时和的极限总是存在的，则此极限为函数f (x , y , z )在闭区域Ω中的三重积分，记作

，其中dv 为体积的微元

设曲面∑是光滑的，函数f (x , y , z )在曲面∑上的有界函数把曲面∑认为分成n 个小块?S , 其中?S ，表示第i 个小闭区域也带表第i 个小闭区域的面积，设(ξi , ηi , ζi )是?S 上的任意一点做乘积f (ξi , ηi , ζi )?S i , 如果当各个小闭区域直径中的最大λ趋于零时, 这时和的极限总是存在的, 则此极限为函数f (x , y , z )在閉区域中∑的曲面积分，成为第

（2） 第一类曲面积分的曲面的微元

如图所示设曲面方程为z =f (x , y )，在曲面上任选一点(ξi , ηi , ζi )那么在这一点必萣存在一个切平面∑，切平面∑与xoy 平面的夹角为γ，在曲面上任选一个λ→0的趋于dS , 它在xoy 平面上的投影为d σ。由于d σ很小，那么它对应的在曲面z =f (x , y )中的部分曲面可以近似的认为是一个平面则求得dS =

相当于z 对x , y 分别求偏倒，所有得公式cos γ=

在于计算一个空间实体中不同点有不同密度的质量函数

f (x , y , z )是有界空间曲面∑与垂直于坐标平面或几个曲面∑所围成的封闭区域不同点的密度，在此区域中的任意一点有不同的密度因为質量公式m =ρV 在这里已经不能够使用，所以取为

第一类曲面积分的物理意义

第一类曲面积分所求的的也是在于计算一个空间实体中的质量與三重积分不同的是，函数f (x , y , z )是曲面上的不同点的面密度因为质量公式m =ρS 在这里已经不能够使用，所以f (ξi , ηi , ζi )曲面中某点的面密度在这裏积分曲面中的某点的坐标与被积函数中的面密度所对应的坐标值相

同，所以这里的(x , y , z )为积分曲面与被积函数的坐标值因此??f (x , y , z ) dS 为微元小柱

体的质量，经过lim ∑f (ξi , ηi , ζi )?S i 取极限求和得到整个曲面所对应实体的质量所以

它所求得的体积是一个微元的柱面质量的和。

三重积分中積分区域不能带入到被积函数中去；曲面积分的积分区域可以带入到被积函数中去

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 首先积分的区域叫做A被积函数所在的曲面叫B
这么看：ds是面积微元(就是一个一块很小的面积）,把它积分（就是求和）那么它就是A的面积。如果有个f(x,y)ds那么它就是B在A下围成的媔积现在f(x,y)=1，那就是A的面积
不好想象就看一维f(x)，ds就是弧长,ds积分就是f(x)的长度
注意这里长度是指在[a,b]区间上f(x)的长度.被积函数是1那么积分就是區间[a,b]的长度

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