高一二次函数综合题不等式综合题 急!

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-05-28 12:20 标签： 二次函数综合题
高一的数学问题，函数并不等式
var sogou_ad_id=731549;
var sogou_ad_height=160;
var sogou_ad_width=690;论文发表、论文指导
周一至周五
9：00&22：00
解读函数与不等式综合题
　　在高考数学中，函数与不等式的综合题是函数、方程、不等式、数列等内容的有机结合. 证明不等式的方法很多，但在处理函数与不等式的综合题时，运用常规办法往往难以奏效或过程繁琐，需另辟蹊径. 本文结合实例，通过充分利用函数性质来探求这类题型的解题策略. 中国论文网 /9/view-6937894.htm　　等价转化后作差构造函数证明不等式 　　例1 设函数[f（x），g（x）]的定义域为[R]，且[f（x）]是奇函数，[g（x）]是偶函数，[f（x）+g（x）=ex]，其中[e]为自然对数的底数. 　　（1）求[f（x），g（x）]的解析式，并证明：当[x>0]时，[f（x）>0]，[g（x）≥1]； 　　（2）设[a≤0，b≥1]，证明：当[x>0]时，[ag（x）+（1-a）<f（x）x][<bg（x）+（1-b）]. 　　分析 根据函数性质，不难得出（1）中[f（x）=ex-e-x2>0，g（x）=ex+e-x2>1]. 如果直接将[f（x）]，[g（x）]的解析式代入（2）中的不等式，再化简变形进行证明的话，就会非常繁琐. 我们注意到[x>0]，（2）所证不等式等价于[axg（x）+（1-a）x<f（x）<bxg（x）+（1-b）x，]又注意到[f（x）]，[g（x）]满足[f（x）=g（x）]，[g（x）=f（x）]，故可以直接作差构造函数来加以证明. 　　解 （1）略 　　（2）①要证[f（x）x>ag（x）+（1-a），] 　　即证[f（x）>axg（x）+（1-a）x]， 　　构造函数[h（x）=f（x）-axg（x）-（1-a）x]， 　　又[f（x）=g（x），g（x）=f（x）]， 　　[∴h（x）=f（x）-[ag（x）+ax?g（x）]-（1-a）] 　　[=g（x）-[ag（x）+a?x?f（x）]-（1-a）] 　　[=（1-a）[g（x）-1]-axf（x）]. 　　[∵a≤0，g（x）≥1，f（x）>0，∴h（x）>0.] 　　故[h（x）]在[[0，+∞）]上为增函数，从而[h（x）>h（0）=0]，即[f（x）x>ag（x）+（1-a）]. 　　②要证[f（x）x<bg（x）+（1-b）]，即证[f（x）<bxg（x）+（1-b）x.] 　　构造函数[φ（x）=f（x）-bxg（x）-（1-b）x]， 　　[∴φ（x）=（1-b）[g（x）-1]-bxf（x）]. 　　又[∵b≥1，g（x）≥1，f（x）>0]， 　　[∴φ（x）<0]，即[φ（x）]在[[0，+∞）]上为减函数. 　　从而[φ（x）<φ（0）=0]，即[f（x）x<bg（x）+（1-b）]. 　　故不等式得证. 　　解读 本题第（1）问通过函数的奇偶性来构造方程组，从而得出函数解析式及其相关性质. 第（2）问通过结合条件等价变形，并巧妙地结合第（1）问中[f（x），g（x）]之间的关系，直接作差构造函数达到证明不等式的目的. 　　利用函数的最值证明不等式 　　例2 已知数列[an]的各项均为正数，[bn=n（1+1n）nan（n∈N*）]，[e]为自然对数的底数. 求函数[f（x）=1+x-ex]的单调区间，并比较[（1+1n）n]与[e]的大小. 　　分析 通过取[n]的特值，猜想[（1+1n）n<e]，而要证此不等式，则需证[1+1n<e1n]，故将[1n]换元成[x]，只需证[1+x<ex]，也就是证[f（x）<0]，即证[f（x）max<0]. 　　解 通过求导知，[f（x）=1-ex]，当[x0；]当[x>0]时，[f（x）<0]， 　　所以[f（x）]在[（-∞，0）]上增函数，在[（0，+∞）]上为减函数，[f（x）max=f（0）=0]， 　　故当[x>0]时，[f（x）<f（0）=0]，即[1+x<ex]. 　　令[x=1n]得，[1+1n<e1n]，即[（1+1n）n<e]. 　　解读 本题直接由函数的最大值得出函数不等式，再经过换元就得到数列不等式的大小. 　　例3 已知函数[f（x）=ex-ln（x+m）]. 　　（1）设[x=0]是[f（x）]的极值点，求[m]，并讨论[f（x）]的单调性； 　　（2）当[m≤2]时，证明：[f（x）>0]. 　　分析 对于第（2）问，如果直接转化为[f（x）min>0]，就必须探求[f（x）]的最小值，从而转化为对任意[m≤2]讨论[f（x）]的单调性，比较繁琐，不易采用此种思路.我们注意到，当[m≤2，x∈（-m，+∞）]时，[ln（x+m）≤ln（x+2）]，通过放缩，有[f（x）=ex-ln（x+m）≥ex-ln（x+2）]，所以只需证[ex-ln（x+2）>0]即可，而证明上述不等式，必须寻求当[m=2]时[f（x）]的最小值. 　　解 （1）略 　　（2）当[m≤2]，[x∈（-m，+∞）]时，[ln（x+m）≤ln（x+2）]， 　　故只需证明当[m=2]时，[f（x）>0]. 　　当[m=2]时，函数[f（x）=ex-1x+2]在[（-2，+∞）]上单调递增. 　　又[f（-1）0，]故[f（x）=0]在[（-2，+∞）]上有惟一实根[x0]，且[x0∈（-1，0）]. 　　当[-2<x<x0]时，[f（x）x0]时，[f（x）>0]. 　　[∴f（x）]在[x=x0]处取得最小值. 　　[∴f（x）≥f（x0）=ex0-ln（x0+2）]
　　又[f（x0）=ex0-2x0+2=0]，即[ln（x0+2）=-x0]. 　　[∴f（x）≥f（x0）=1x0+2+x0=（x0+1）2x0+2>0]. 　　综上，当[m≤2]时，[f（x）>0]. 　　解读 本题通过适当的放缩，转化为寻求当[m=2]时[f（x）]的最小值，利用最小值大于零从而达到证明不等式的目的. 与例2的区别在于，本题无法求出具体的最值点，而是首先验证极值点的存在性和惟一性，再说明此时极值点就是所求的最小值点，并充分利用极值点满足的方程来验证最小值大于零. 　　利用函数单调性证明不等式 　　例4 已知常数[a≥0]，函数[f（x）=ln（1+x）+a2x2-x，][x≥0，] 　　（1）讨论函数[f（x）]的单调性； 　　（2）设[n∈N*]，求证：[ln（n+1）<k=1n1k<ln（n+1）+2n-12n.] 　　分析 要证明（2）中[ln（n+1）<k=1n1k]，可先探求不等边左边的通项，转化为证[ln（1+x）-x<0]，此不等式恰好可以利用当[a=0]时函数[f（x）]的单调性加以证明. 要证明（2）问中的[k=1n1kx-x22（x>0）]，即证[ln（1+x）>][x22-x>0]，此不等式恰好可以利用当[a≥1]时函数[f（x）]的单调性加以证明. 　　解 （1）通过分类讨论知， 　　当[a=0]时，[f（x）]在[[0，+∞）]上单调递减. 　　当[0　　当[a≥1]时，[f（x）]在[[0，+∞）]上单调递增. 　　（2）由（1）知，[a=0]时，[f（x）]在[[0，+∞）]上减函数. 　　又[f（0）=0]， 　　[∴f（x）=ln（1+x）-x<f（0）=0]，即[ln（1+x）0）]. 　　令[x=1n，]则[ln（1+1n）<1n（n∈N*）]. 　　[即ln（1+1）<1，ln（1+12）<12，ln（1+13）<13，…，ln（1+1n）<1n，] 　　相加得，[ln（n+1）<k=1n1k]. 　　由（1）知，[a=1]时，[f（x）]在[[0，+∞）]上为增函数. 　　又[f（0）=0]， 　　[∴f（x）=ln（1+x）+x22-x>f（0）=0 （x>0）]， 　　即[ln（1+x）>x-x22（x>0）.] 　　令[x=1n]，则[ln（1+1n）>1n-12n2（n∈N*）.] 　　[∴ln（1+1）>1-12×112]，[ln（1+12）>12-12×122]， 　　[ln（1+13）>13-12×132，…，ln（1+1n）>1n-12×1n2] 　　相加得，[ln（n+1）>k=1n1k-12（1+122+132+…+1n2）]. 　　[∴k=1n1k<ln（n+1）+12（1+122+132+…+1n2）] 　　[<ln（n+1）+12[1+11×2+12×3+…+1（n-1）n]] 　　[=ln（n+1）+12[1+（1-12）+（12-13）+…+（1n-1-1n）]] 　　[=ln（n+1）+2n-12n]. 　　解读 本题第（2）问通过寻求数列不等式的通项，换元转化为函数不等式，再结合第（1）问函数的单调性的结论，从而达到证明不等式的目的. 　　在解题时遇到类似的问题，我们就可以尝试以上三种策略. 先根据题设条件和欲证结论选定变量（或者换元设置新的变量，利用欲证结论与题目所涉及的函数之间的联系来选取适当的函数，或者根据欲证结论构造新的函数），然后运用导数工具，充分利用函数的最值、单调性、有界性等性质达到证明不等式的目的.
转载请注明来源。原文地址：
【xzbu】郑重声明：本网站资源、信息来源于网络，完全免费共享，仅供学习和研究使用，版权和著作权归原作者所有，如有不愿意被转载的情况，请通知我们删除已转载的信息。
xzbu发布此信息目的在于传播更多信息，与本网站立场无关。xzbu不保证该信息（包括但不限于文字、数据及图表）准确性、真实性、完整性等。函数与不等式的综合题_百度文库
赠送免券下载特权
10W篇文档免费专享
部分付费文档8折起
每天抽奖多种福利
两大类热门资源免费畅读
续费一年阅读会员，立省24元！
函数与不等式的综合题
阅读已结束，下载本文需要
想免费下载本文？
定制HR最喜欢的简历
下载文档到电脑，同时保存到云知识，更方便管理
&#xe64e;加入VIP
还剩4页未读，
定制HR最喜欢的简历
你可能喜欢周热销排行
用户评论（0）
在此可输入您对该资料的评论~
添加成功至
资料评价：

我要回帖

更多关于 二次函数综合题 的文章

 

随机推荐