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《结构力学习题集》（上）-5超静定结构计算——位移法 （答案已传）
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《结构力学习题集》（上）-5超静定结构计算——位移法 （
关注微信公众号结构力学教材 要求耿淑伟 ? ? 上课带练习本,笔 ? 按时写作业? 不得缺课参考书 土木：龙驭球 道桥：李廉锟 动力部分：王焕定 好读：郭长城，湖南大学第一章 绪论（Introduction)一.对象结构:建筑物中承担荷载,起骨架作用的部分 ? 结构分为:杆系结构,板壳结构,实体结构 ? 研究对象:杆系结构 二 任务 研究结构的强度,刚度,稳定性的 计算原理和计算方法 三.内容 结构组成;内力,位移,临界力，极 限力计算.四 与其它课程的关系? 先修课数学：数学分析、线性代数、常微分方程 理力：平衡、运动分析、虚位移与达朗伯尔原理、 动力学普遍方 程 材力：截面法、变形体分析基本方法、微分关系、应变能等? 平行课弹力：基本方程、两类解法、板的基本知识，研 究板、壳、实体结构? 后续课结构课：提供内力变形等的设计依据 结构抗震、计算机在工程中的应用：提供基础五 杆件结构计算简图? 确定原则: ? 尽可能符合实际 ? 尽可能简单杆件结构计算简图体系的简化: 空间结构 ? 平面结构 杆件：l &5×(h ,b )?轴线 结点：铰结点；刚结点；组合结点 支座：可动、固定铰支座；固定端；定 向支座； ? 材料: 均匀、连续、各向同性、线性 ? 荷载：集中力、集中力偶、分布荷载 ? ? ? ?计算简图(结点）铰结点刚结点计算简图（铰支座）计算简图（定向、固定支座）计算简图（单层工业厂房）计算简图（管道）六. 杆系结构的类型1.梁2.拱3.桁架4.刚架 5.组合结构七 荷载分类? 分类：固定荷载──恒载、活动荷载 移动荷载──位置可变，大小、方向 不变 动力荷载──使结构产生不可忽视的 加速度几种题型： 一、判断题 二、单选题 三、填空题四、简算题五、计算题第二章 平面体系的机动分析几种常用的分析途径 1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。 2、如上部体系于基础用满足要求三个约束相联可去掉基础， 只分析上部体系。 3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，用链杆（即虚 铰）相连，而不用单铰相连。 4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将 体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。5、由基础开始逐件组装。 6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的前 提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。 15C B A D HG F无多余约束的几何不变体系E无多余约束的几何不变体系ⅠⅡⅢ(Ⅱ,Ⅲ )(Ⅰ,Ⅲ )(Ⅰ,Ⅱ)瞬变体系Ⅰ(Ⅰ,Ⅲ有一个多余约束的 几何不变体系ⅢⅡ ⅡⅢ(Ⅰ,Ⅲ )瞬变体系无多余约束的几何 不变体系变体系第三章 静定梁和静定刚架一、截面内力算式 轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。剪力= 截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面形心顺时针 转动，投影取正否则取负。弯矩= 截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩及外力矩产生相同的受 拉边。二、叠加法绘制弯矩图?首先求出两杆端弯矩，连一虚线， ?然后以该虚线为基线， ?叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。三、内力图形状特征 1、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截 面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。2、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平 衡。两杆相交刚结点无m作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。 3、具有定向连结的杆端剪力等于零，如无横向荷载作用， 该端弯矩为零。4.无何载区段 5.均布荷载区段 6.集中力作用处 7.集中力偶作用处平行轴线↓↓↓↓↓↓发生突变FS图＋－＋P －无变化M图斜直线二次抛物线凸向即q指向出现尖点尖点指向即P的指向发生突变m两直线平行备 注FS=0区段M图 平行于轴线FS=0处，M 达到极值1、悬臂型刚架：（不求反力，由自由端左起）2kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓5kN362m10kN2mM（kN.m) 4m162kN5kN3kN.m 2kN/m10 4↓↓↓↓↓↓↓33m M（kN.m) 32m2m2、简支刚架：（只需求出与杆端垂直的反力，由支座作起）Pl/22Pl 4 2kN/m↓↓↓↓↓↓↓02m6 4Pl2M（kN.m)2kN.m2m1201602m2m M（kN.m)80kN 80kN 200kN.m4m4ml/2Pl/2Pl3、三铰刚架：（关键是 求出水平反力)3ql2/4 ql2/4 C 3ql2/4 qa2 q↓↓↓↓↓C3ql/8 YAAB YB3ql/8XA YAABXBll YB= ql 2 - 0.5ql 2 +YA ? 2l = 0 ?M B YA = - ql 4 = ql 2 - ql 2 4 - X A ? 2l = 0 ?M C XA = 3ql 82l2kN 48kN.m44 8 8kN.m4kN 4、主从结构绘制弯矩图（利用4kN.m8kN.m 4kN.m M(kN.m)4kNM图的形状特征，自由端、铰支 座、铰结点及定向连结的受力特 性，常可不求或少求反力）2m2m2m2m2142m2m321110kN.m10kN164m108kN 8kNM(kN.m)2m2m2m2m15↓↓↓↓↓↓↓↓15kN.m1016kN/m1824kN483m2m6020kN 4020kN 30kN/m 20 ↓↓↓↓↓↓↓↓2m30kN 15kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓M（kN.m)M（kN.m)603m302m4m2m4m2m4m判断下列结构弯矩图形状是否正确，错的请改正。√q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓√ql2/8lPPP↓↓↓↓↓↓↓↓P↓↓↓↓↓↓↓↓√P第四章一、三铰拱的主要受力特点：静定拱在竖向荷载作用下，产生水平推力。 优点：水平推力的存在使拱截面弯矩减小，轴力增大； 截面应力分布较梁均匀。节省材料，自重轻能跨越大跨 度；截面一般只有压应力，宜采用耐压不耐拉的材料砖、 石、混凝土。使用空间大。 缺点：施工不便；增大了基础的材料用量。二、反力计算公式：注：1）该组公式仅用于：两底铰在同一水平线上且承受竖向荷载。 2）三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的位Z）有关， 而与拱轴线的形状无关；水平推力与矢高成反比。三、内力计算公式： M = M 0 - Hy 注：1、该组公式仅用于两底铰 Q = Q 0 cos? - H sin? 在同一水平线上,且承受 N = -Q 0 sin? - H cos? 竖向荷载； 2、仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值； 3、 M、Q、N图均不再为直线。 4、集中力作用处Q图将发生突变。 5、集中力偶作用处M图将发生突变。 四、三铰拱的合理轴线 在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩 剪力等于零,只有轴力的拱轴线。合理拱轴线方程为：注：1、对应已知荷载的合理拱轴线方程,M 0 ( x) M 0 ( x) y ( x) = = f 0 H MC 随f 的不同而有多条，不是唯一的。2、合理拱轴线与相应的简支梁的弯矩图形状相似，对应竖 标成比例.第五章静定平面桁架一、桁架的基本假定：1）结点都是光滑的铰结点； 2）各杆都是直杆且通过铰 的中心； 3）荷载和支座反力都 用在结点上。 二、结点法：取单结点为分离体，得一平面汇交力系，有两个 独立的平衡方程。 三、截面法：取含两个或两个以上结点的部分为分离体，得一 平面任意力系，有三个独立的平衡方程。四、特殊结点的力学特性 ：N1=0 N2=0 N1=0N1N2=N1 N1=N2 N3=0N3PN2=PN3N4N2 N4=N3βN1βN2=－N1五、对称结构在对称荷载作用下 对称轴上的K型结点无外力作用时， 其两斜杆轴力为零。 （注意：4、5、仅用于桁架结点）六、对称结构在反对称荷载作用下 ?与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零。 ?与对称轴重合的杆轴力为零。P P- 2P20kNPP- 2PP20- 20 220－P－P4m4×a4m4m4m－P－P4×a－P －P4m20 2方法：用截出来的部分桁架的平衡条件，求轴力。 力矩法：除所求杆外，其余各杆都相交于一点。 投影法：除所求杆外，其余各杆都平行。 特点：只有三个平衡方程，一次最多能求三个未知数。 例 求指定杆轴力 FPⅠ a/4解1 求支反力 2 求轴力 Ⅰ-Ⅰ截面 ta/4 a/4Ⅰ1a/4 a/4 a/4 a/43FP /43FP /4 FN1 ? Ft = 0 FN1 = - 3FP 4相 交 情 况FPFPFPFPFPFPa 为 截 面 单 杆第六章1、计算结构位移主要目的结构位移计算?a）验算结构的刚度；b）为超静定结构的内力分析打基础。2、产生位移的原因主要有三种3、变形体系的虚功原理:?a）荷载作用 b）温度改变和材料胀缩c）支座沉降和制造误差变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wv，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和W。F ? ? + ? FRk ck = ? ? FN du + ? ? M d? + ? ? FS ?ds4、结构位移计算的一般公式? k = -? FR c + ? ? FN du + ? ? M d? + ? ? FS ?ds注：1) 既适用于静定结构，也适用于超静定结构; 2) 既适用于弹性材料，也适用于非弹性材料; 3) 产生位移的原因可以是各种因素; 4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变形和轴向变形对 位移的影响； 5) 右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取 正。 5、弹性体系荷载作用下的位移计算 F N FNP MMP ? F S F SP ?K = ? ds + ? ds ＋?? ds - ? F Ri ? Ci GA EI EA 1）EI、EA、GA分别是杆件截面的抗弯、抗拉、抗剪刚度； k是一个与截面形状有关的系数，对于矩形截面、圆形 截面，k分别等于1.2和10/9。??2） FNP、FSP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因； 虚设单位荷载引起的内力是 FN , FS , M 3） 公式右边各项分别表示轴向变形、剪切变形、弯曲 变形对位移的影响。 MM dx 4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的 ? = ? ?P iPEI5）桁架NN P ? iP = ? l EA6）桁梁混合结构Δ=MM P NN P ds+ ? l ? ? EI EA用于桁架杆用于梁式杆 7）拱 通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在 扁平拱中计算水平位移或压力线与拱轴线比较接近时 才考虑轴向变形对位移的影响，即MM P NN P ?=? ds+ ? ds EI EA8）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应 的广义单位荷载。A B 求A点的 水平位移 P=1 求A截面 的转角m=1m=1m=1P=1 求AB两点 的相对位移P=1l1/l求AB两截面 的相对转角1/l求AB两点 连线的转角6、 图乘法? =??MM EIPdx =?Aw y CEI①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。 ②图乘法的应用条件： a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 ③竖标yc 取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积ω与竖标yc在杆的同侧， ω yc 取正号，否则取负号。 ⑤几种常见图形的面积和形心的位Z：⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。7 静定结构由于温度改变而产生的位移计算?it= ?at0w N ± ?a?thwM1） 该公式仅适用于静定结构。并假定温度改变沿截 面高度按线性变化。 2）正负规定：8 静定结构由于支座移动而产生的位移计算? Kc = -? FR ? c1）该公式仅适用于静定结构。 2）正负规定：9 互等定理 ?适用条件：弹性体系（小变形，ζ=Eε） ?内容 d12=d 21 r12=r21 W12= W21 r12= -δ21第七章力法一、 超静定结构次数的确定超静定次数的确定方法：撤除多余约束使原结构变成静定结构。结构的超静定次数＝多余约束的个数1、撤去一根支杆或切断一根链杆等于去掉一个约束 2、撤去一个铰支座或去掉一个单铰等于去掉二个约束 3、撤去一个固定支座或切断一根连续杆等于去掉三个约束 4、将一个固定支座改为铰支座或将刚结点改为单铰等于去掉一个约束框架结构： n = 3 f - h - 2rn ― 超静定次数； f ― 封闭框格数； h ― 单铰个数。 r ― 支座链杆数。二、多次超静定结构的计算↓↓↓↓↓↓↓↓ q ↓↓↓↓↓↓↓↓ B 基本体系 X2 B X1δ11δ21X1=1 ×X1＝A＝ δ12＋Δ2Pδ22↓↓↓↓↓↓↓↓δ11X1＋δ12X2＋Δ1P＝0 δ21X1＋δ22X2＋Δ2P＝0X2=1 ×X2＋Δ1P含义:基本体系在多余未知力和荷载共同作用下，产生的多余未 知力方向上的位移应等于原结构相应的位移。 主系数δii表示基本体系由Xi=1产生的Xi方向上的位移 付系数δij表示基本体系由Xj =1产生的Xi方向上的位移 自由项ΔiP表示基本体系由荷载产生的Xi方向上的位移对于n次超静定结有n个多余未知力X1、 X2、…… Xn，力法基本体系与原 结构等价的条件是n个位移条件，Δ1=0、 Δ2=0、 ……Δn=0，将它们展开δ11X1+ δ12X2+……+ δ1nXn+ Δ 1P=0 δ21X1+ δ22X2+……+ δ2nXn+ Δ 2P=0 ………………………………………… δn1X1+ δn2X2+……+ δnnXn+ Δ nP=0或： Δi=∑δijXj+ Δ iP=0 i，j=1，2，……n计算刚架的位移时，只考虑弯曲的影响。但高层建筑的柱要考虑轴力影响， 短而粗的杆要考虑剪力影响。力法计算步骤可归纳如下： 1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，求系数和自由项； 4）解方程，求多余未知力； 5）按 M=∑Mi? i+MP 叠加最后弯矩图。 X三、对称性的利用（1）奇数跨对称刚架对称荷载：只产生对称的内力和位移。对称轴截面上具有弯矩 和轴力，没有剪力；只有竖向位移，没有转角和水平线位移。FPFPFP反对称荷载：只产生反对称的内力和位移。对称轴截面上只有 剪力，没有弯矩和轴力；没有竖向位移，可有转角和 水平线位移。 FP FP FP?（2）偶数跨对称刚架对称荷载:若忽略杆件的轴向变形，在对称轴上的刚结点处将 不产生任何位移，在刚结点处横梁杆端有弯矩、轴力 和剪力的存在。FP 反对称荷载:FP FPFP2 EIFP FPEI?四、超静定结构计算的校核 1.平衡条件校核 取结构的整体或任何部分为隔离体，其受力应满足平衡条件。 （1）弯矩图：通常检查刚结点处是否满足∑M=0的平衡条件。 （2）剪力图和轴力图： 可取结点、杆件或结构的某一部分为隔离体，检查是否满足 ∑FX=0和 ∑FY=0的平衡条件。 2.位移条件校核 检查各多余联系处的位移是否与已知的实际位移相符。对 于刚架，可取基本结构的单位弯矩图与原结构的最后弯矩图 相乘，看所得位移是否与原结构的已知位移相符。五、超静定结构的位移计算计算超静定结构位移的步骤： （1）解算超静定结构，求出最后内力，此为实际状态； （2）任选一种基本结构，加上单位力求出虚拟状态的内力； （3）按位移计算公式或图乘法计算所求位移。 六、温度变化时超静定结构的计算 七、支座位移时超静定结构的计算八、 超静定结构的特性 超静定结构与静定结构对比，具有以下一些重要特性： 1.由于存在多余联系，当结构受到荷载外其他因素 影响，如温度变化、支座移动时结构将产生内力。 2.超静定结构的内力仅由平衡条件不能全部确定，必须考虑变形条件，因此内力与杆件的刚度有关。3.超静定结构的多余联系被破坏后，仍能维持几何不变，故有较强的防御能力。4.超静定结构由于存在多余联系，一般地说要比相 应的静定结构刚度大些，内力分布也均匀些。九、无弯矩状态的判定： 在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下 有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。 常见的无弯矩状态有以下三种： 1）一对等值反向的集中力沿 一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。P －P M=0 PP －PP2）一集中力沿 一柱轴 作用，只有该柱有轴力。M=0M=0 P3）无结点线位移的结构， 受结点集中力作用，只有轴力。 MP=0 Δ1P=0 δ11&0 M=M1X1+MP=0MP=0X1= Δ1P/δ11=0第八章一.位移法的基本未知量位移法基 本未知量位移法结点转角数目 =刚结点的数目 独立结点线位移数目 =铰结体系的自由度注意：铰化法判断结点独立线位移数目不适合具有平行于杆轴线的 可动铰支座和定向支座的刚架。二.载常数、形常数 三.位移法的计算超静定结构步骤 (1) 确定结构的基本未知量的数目，并引入附加联系而得到基本 结构。 (2) 令各附加联系发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构 在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩或 反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。 (3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作用 下的弯矩图，由平衡条件求出各系数和自由项。 (4) 计算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。 (5) 按叠加法绘制最后弯矩图。第九章 渐近法一、各种渐近法适用条件(1)力矩分配法：适于连续梁与无侧移刚架。 刚架中除了无侧移杆外，其余杆件全是剪力静定杆。 (2)无剪力分配法： (3)剪力分配法：适于梁为刚性杆，竖柱为弹性杆的框架结构。二、力矩分配法转动刚度 传递系数 分配系数不平衡力矩：各固端弯矩所不能平衡的差额。有结点集中力偶时，结点不平衡力矩=固端弯矩之和－结点集中 力偶(顺时针为正)力矩分配法求解步骤： （1）求分配系数和固端弯矩； （2）将会交于结点的固端弯矩之和(不平衡力矩)按分 配系数，反号分配给每一个杆端。 （3）各杆按各自的传递系数向远端传递。 （4）将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆 端最后弯矩。多结点力矩分配法：1）单结点力矩分配法得到精确解；多结点力矩分配法得到渐近解。 2）首先从结点不平衡力矩绝对值较大的结点开始。3）结点不平衡力矩要变号分配。4）结点不平衡力矩的计算： ?固端弯矩之和 （第一轮第一结点） （第一轮第二、三……结点）?固端弯矩之和结点不平 衡力矩加传递弯矩 ?传递弯矩（其它轮次各结点）?总等于附加刚臂上的约束力矩 5）不能同时放松相邻结点,但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快 收敛速度。例题100kN 30kN/m DB 4m i=2 A i=2 C 4m 3m 2m i=1.5解：（1）计算分配系数；（2）计算固端弯矩；2?3 = 0.3 2 ? 3 + 2 ? 4 + 1.5 ? 4 1.5 ? 4 ? AD = = 0.3 2 ? 3 + 2 ? 4 + 1.5 ? 4 100? 2 2 ? 3 M AD = = -48kNm 2 5? AB =? AC =2? 4 = 0.4 2 ? 3 + 2 ? 4 + 1.5 ? 4 1 M AB = ? 30? 4 2 = 60kNm 8 100? 2 ? 32 M DA = = 72kNm 2 5（3）进行力矩的分配与传递；（4 ）计算最后的弯矩AB B AC AD0.360 A0.40.3-48 → → 72 -1.8D-3.6 -4.8 -3.6 56.4 -4.8 51.6 C ↓ -2.470.2第十章影响线及其应用一、影响线的定义： 当P=1在结构上移动时，用来表示某一量值 Z变化规律的图形，称为该量值Z的影响线。?在Z的影响线中，横标表示的是P=1的作用位Z； ? 竖标表示的是单位荷载作用在不同位Z时产生量值Z的值。 如在RB影响线中的竖标yD表示的是： 当P=1移动到 D 点时，产生的 B 支座反力。?Z的影响线与量值Z相差一个力的量纲。所以反力、剪力、 轴力 的影响线无 量纲，而弯矩影响线的量纲是长度。二、单跨静定梁的影响线特点: ?反力影响线是一条直线； ?剪力影响线是两条平行线； ?弯矩影响线是两条直线组 成的折线。xA RA aP=1C b L ＋BRB. 1FB.I.L1 ＋ FA.I.Lb/L ―+ a/L ＋FSC .I.Lab/LMC.I.L三、伸臂梁影响线的绘制方法: （1）欲作伸臂梁的 反力及支座间的截 面内力影响线，可 先作简支梁的影响 线，然后向伸臂上 延伸。 （2）伸臂上截 面内力影响线在该 截面以外的伸臂段 上才有非零值。l1 lxAF=1 C Bl1albl2FA1FBblalFSC影响线1l2 labl1 lab lM C 影响线bal l伸臂部分截面内力的影响线xF=1 K DdAB lEl1l2FAd1FBM K 影响线FSK 影响线四、机动法绘制影响线的方法 1、机动法作某量值Z的影响线，就是作单位移动荷载F=1作 作用时的竖向位移图； 2、机动法作影响线的步骤： 1）撤除与Z相应的约束，代以未知力。 2）使体系沿Z的正方向发生虚位移，作出荷载作用点的竖 向虚位移图，即Z的影响线轮廓。 3）再令该量值处虚位移δ Z=1，定出影响线竖标的值。 4）基线以上为正的影响线,基线以下为负的影响线。 3、对于间接荷载作用下用机动法分析时，δ P应该是纵梁的位移图。（因为荷载是在纵梁上移动的）定向节点左右两边杆件变形前后保持平行A D B Caaaaa1+0.5 + - 0.5RA I .L.R - 0.5的影响线 Aa 2 +10.5 + - 0.5 a + 2 - a 2- 0.5 - aL QB 的影响线 L I .L.QBMD的影响线2I .L.M D五、多跨静定梁任一反力或内力影响线作法： （1）当F＝1在相对量值本身所在部分来说是基本部分的梁段上移动时， 量值影响线竖标为零。 （2）当F＝1在量值本身所在的梁段上移动时，量值影响线与相应单跨静 定梁的相同。 （3）当F＝1在相对量值本身所在部分来说是附属部分的梁段上移动时， 量值影响线为直线。F=1 C KABDEFa aM K 影响线l六、结点荷载作用下的影响线在相邻两结点之间为直线： （1）首先绘直接荷载作用下的影响线； （2）从各结点引竖线与其相交，相邻交点连以直线。 七、静定桁架的影响线的特点： （1）在相邻两结点之间为直线： （2）用力矩方程作出的影响线，其左右两直线恒交于力矩 中心之下。第十一章结构的极限荷载一、塑性铰的特点（与机械铰的区别）（1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能够承受弯矩； （2）普通铰双向转动，塑性铰单向转动； （3）卸载时机械铰不消失；当q＜qu，塑性铰消失。 （4）普通铰的位置是固定的，而塑性铰的位置是由荷载情 况而变化的。二、求单跨超静定梁的极限荷载 方法一:平衡法根据极限状态的弯 矩图,求极限荷载。FPu l 1 = Mu + Mu 4 2MuFPuAFPul/4CMuB6M u FPu = l方法二:机动法机构的虚位移如图所 示，设跨中位移为 d ，则2d 4d ?1 = ,? 2 = l lMu Aθ1Mud由虚功方程：FPu ? d + (- M u?1 - M u ? ? 2 ) = 0 6 ? FPu = M u lFPu Mu C Mθ2uB三、 比例加载时有关极限荷载的几个定理 四、 多跨超静定梁的极限荷载例：图示各跨等截面连续梁，第一、二跨正极限弯矩为Mu， 第三跨正极限弯矩为2Mu，各跨负极限弯矩为正极限弯矩 的1.2倍，求qu。解：静力法画出各跨单独 破坏时的极限 弯矩图。寻找 平衡关系求出 相应的破坏荷 载。l/2qlq1.5ql 0.75l 0.75l9ql 2 16l/2ql 2 8l2.4Muql 2 41.2Mu1.2MuMuMu2Muql 2 41.2Muql 2 81.2Mu9ql 2 162.4MuMu2Muq1l = M u + 0.6M u 第一跨单独破坏时： 4q2l 2 第二跨单独破坏时： = M u + 1.2M u 86.4M u q1 = l217.6M u q2 = l26.76M u q3 = l22Mu第三跨单独破坏时：1.5q3l 9q3l 2 ?1.5l = = 2M u + 1.8M u 4 16破坏荷载为：qu =6.4 M u l2qll/2 l/2 ql θq1.5ql 0.75l 0.75l 1.5qllqθMu Δ解：机动法 给出各跨单独破坏时的虚位移图。由虚功方程 求出相应的破坏荷载。l 6.4 第一跨破坏：ql? = ql? = 1.2Mu? + Mu 2? ? q1 = 2 Mu 2 l第二跨破坏：qlq θMu Δ θ1.5qlql ? ql l 17.6 = ? = 1.2Mu? + 1.2Mu? + Mu 2? ? q2 = 2 Mu 2 2 2 l第三跨破坏：qlq θ2MuΔ1.5qlθ7.6M 8 M 3ql ? 3ql 3l = ? = 1.2M u? + 2.4M u? + 2M u 2? ? q3 = 2 u = 6.756 2u 2 2 4 9 l l第十二章一、动力计算中体系的自由度结构动力学确定体系上全部质量位Z所需独立参数的个数称为体系的振动自由度。 1、集中质量法 把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。2、广义座标法： 如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示y ( x, t ) = ? ak (t ) sink =1nk?x l二、单自由度体系运动微分方程1、 刚度法：m?? + ky = 0 y2、 柔度法： m? (t )d ? y+ y=0T = 2? m ? st = 2? k g三、结构的自振周期和频率k 1 g g w= = = = m md Wd ? st1.只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；2.Ｔ与m的平方根成正比，与k成反比，据此可改变周期；3.是结构动力特性的重要数量标志。求图示结构的自振圆频率。 1 k A mh I→∞ EI C解：求 δBθ1 lh 2h lh 2 d= = EI 2 3 3EIl1w=1 md 11=3EI mlh2hm??(t )d + y = 0 y四、两个自由度结构的自由振动1、柔度法 y1 (t ) + m1 ??1 (t )d11 + m2 ??2 (t )d12 = 0 y yy2 (t ) + m1 ??1 (t )d 21 + m2 ??2 (t )d 22 = 0 y y??2、刚度法m1 ??1 (t ) + k11 y1 (t ) + k12 y2 (t ) = 0 y m2 ??2 (t ) + k21 y1 (t ) + k22 y2 (t ) = 0 y3、体系的固有频率?1 ? 1 ? 2 = (m1 f11 + m2 f 22 ) ? (m1 f11 - m2 f 22 ) 2 + 4m1m2 f12 ? ? ? ? ? ?2 ? 2 ?4、体系的主振型由固有振动y1 (t ) = A1 sin(wt + ? ) ? ? y2 (t ) = A2 sin(wt + ? ) ?可得y1 (t ) A1 = = 常数 y2 (t ) A2体系振动过程中，振幅之比表示体系的主振型。1由w1w2?1 =A A(1) 2 (1) 1=w12- m1d11 =m2d12k12 w12 m1 - k11由( A22) ? 2 = ( 2) A11 - m1d11 2 k w = 2 = 2 12 m2 f12 w2 m1 - k11例：列振动方程，求自振频率和振型（m1=m2=m）m1l/3l/3F1 = 1m2解：(1)振动方程l/3y1 = d11 (-m??1 ) + d12 (-m??2 ) y y y 2 = d 21 (-m??1 ) + d 22 (-m??2 ) y y2l/9M 1图F2 = 1d11 = d 22 d 21 = d 224l 3 = 243EI 7l 3 = 486EI2l/9M 2图(2)自振频率?1、 = 2?d11m1 + d 22 m22 (d11m1 + d 22 m2 ) 2 - 4(d11d 22 - d12d 21 )m1m2 2m l3 ?2 = 486EI15m l3 ?1 = 486EIw1 =1?1= 5.692EI ml3w2 =1?2= 22.045EI ml 3(3)振型1第一振型?1 =A2 w = 1 ? A21? m2d122?1?- m1d11 =?1 - m1d11 =1 m2d12第二振型? A22 ? ?2 - m1d11 ? 2 = ?2 ? = = -1 A1 m2d12-1 1 11结束 (3)结构力学必须注意以下三个问题：1、平面杆件体系的几何构成分析，只有具备了基本的几何构成分析能力， 才会判断一个杆件系统是否结构，是静 定结构还是超静定结构，哪些是多余约 束。几何构成分析是“搭”杆件，而结构计算是“拆”杆件，知道怎样“搭”802、在结构力学的学习中必须牢固建 立“平衡”的思想，使“平衡”成为一 种潜意识，结构整体是平衡的，任何一个结点、一个杆件、几个杆件的集合体都是平衡的，都可用截面法取出隔离体 建立平衡方程。必须熟练地运用平面力813、静定结构内力分析必须过关，并且比较熟练，静定结构的内力分析是最基本的技能。整个结构力学一环扣一环，静定结构内力分析是静定结构位移计算 的基础，而静定结构内力和位移计算又 是力法的基础，力法又是位移法的基础， 位移法又是力矩分配法的基础，固定荷82第二章 平面体系的机动分析几种常用的分析途径 1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。 2、如上部体系于基础用满足要求三个约束相联可去掉基础， 只分析上部体系。 3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，用链杆（即虚 铰）相连，而不用单铰相连。 4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围， 将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。5、由基础开始逐件组装。 6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的前 提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个 等效（与外部连结等效）刚片代替它。 83C B A D HG F无多余约束的几何不变体系E无多余约束的几何不变体系ⅠⅡⅢ(Ⅱ,Ⅲ )(Ⅰ,Ⅲ )(Ⅰ,Ⅱ)瞬变体系Ⅰ(Ⅰ,Ⅲ有一个多余约束的 几何不变体系ⅢⅡ ⅡⅢ(Ⅰ,Ⅲ )瞬变体系瞬变体系无多余约束的几何 不变体系变体系1. 三个刚片用不在同一条直线上的三个虚铰两两相连， 则组成的体系是无多余约束的几何不变体系。( ）提示：规律3，其中的“铰”，可以是实铰，也可以是 瞬（虚）铰。 2.图示平面体系中，试增添支承链杆，使其成为几何 不变且无多余约束的体系。(a)(b)解： 答案如图b所示。873、图示体系几何组成为：B C FA.几何不变，无多余联系 B.几何不变，有多余联系 C.瞬变 D.常变IA D EIIⅢ解： 答案选C。提示：把刚片ABCD看成刚片I，EF看 成刚片II，基础是刚片III，根据三刚片规律。884.图示体系是 A 。 A.无多余约束的几何不变体系 B.有无多余约束的几何不变体系B.瞬变体系 D.常变体系提示：体系用不交于一点的三根链杆与基础相连，只需分析 体系本身。选择刚片示于图中，根据三刚片规律。I4m C h A 6m 3m 3m 6mII IIIB题4图题5图5.图示体系A 铰可在竖直线上移动以改变等长杆AB、 AC的长度，而其余结点位置不变。当图示尺寸为哪种情况 时，体系为几何不变。（ D ）A. h≠2m C. h≠4mB. h≠4m和h≠∞ D. h≠2m和h≠∞896.对图示结构作几何组成分析。(a) A B (b) A 1 2 BIC D CIIEIII解： 将刚片ABC 做等效变换，变换成三角形，并选 择刚片如图b。刚片I与基础III之间由铰A相连，刚片II与 基础III之间由铰B 相连，刚片I、刚片II之间由链杆1、2 组成的无穷远处的瞬铰相连，由于铰A与铰B 的连线与链杆1、 2平行，故该体系为瞬变体系。907.图示体系的几何组成为： A.常变体系 C.瞬变体系 B.无多余约束的几何不变体系 D.有多余约束的几何不变体系41235 5'6789解：先去掉二元体35、55'，刚片2367仅需3个链杆即 可构成无多余约束的几何不变体系，原体系有一个多余约 束，所以答案选择 D 。918.图示体系的几何组成为： A.常变体系 B.无多余约束的几何不变体系C.瞬变体系1 4D.有多余约束 的几何不变体系23 5 6解：刚片124与基础用铰1相连，刚片356与基础用 铰6相连，刚片124与刚片356之间用两个平行链杆45、 23相连，二铰1、6的连线不与与两个平行链杆45、23 平行，原体系为无多余约束的几何不变体系，所以答 案选择 B 。 92第三章一、截面内力算式静定梁与静定刚架轴力=截面一边的所有外力沿轴切向投影代数和。剪力= 截面一边的所有外力沿轴法向投影代数和，如外力绕截面形心顺时针转动， 投影取正否则取负。弯矩= 截面一边的所有外力对截面形心的外力矩之和。弯矩及外力矩产生相同的受拉边。 或由已知的杆端弯矩求剪力： M AB + M BA 0 QAB = + QAB 再由已知的杆端剪力求轴力。 l二、叠加法绘制弯矩图?首先求出两杆端弯矩，连一虚线， ?然后以该虚线为基线， ?叠加上简支梁在跨间荷载作用下的弯矩图。三、内力图形状特征 1、在自由端、铰支座、铰结点处，无集中力偶作用，截 93 面弯矩等于零，有集中力偶作用，截面弯矩等于集中力偶的值。2、刚结点上各杆端弯矩及集中力偶应满足结点的力矩平 衡。两杆相交刚结点无m作用时，两杆端弯矩等值，同侧受拉。 3、具有定向连结的杆端剪力等于零，如无横向荷载作用， 该端弯矩为零。4.无何载区段 5.均布荷载区段 6.集中力作用处 7.集中力偶作用处平行轴线↓↓↓↓↓↓发生突变Q图＋－＋P －无变化M图斜直线二次抛物线凸向即q指向出现尖点尖点指向即P的指向发生突变m两直线平行备 注Q=0区段M图 平行于轴线Q=0处，M 达到极值94集中力作用截 面剪力无定义集中力偶作用面 弯矩无定义1、悬臂型刚架：（不求反力，由自由端左起）2kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓5kN362m10kN2mM（kN.m) 4m162kN5kN3kN.m 2kN/m10 4↓↓↓↓↓↓↓33m M（kN.m) 3952m2mPaP P2Pa Pa lP P2、简支刚架：（只需求出与杆端 垂直的反力，由支座作起）2Pl Pl/2Pa 2Pa l4llPaP2kN/m↓↓↓↓↓↓↓0l120 1606 42mM（kN.m)2M（kN.m)2kN.m2m80kN2m2m96200kN.m4m4ml/2Pl/2Pl80kN803、三铰刚架：（关键是 求出水平反力qa2404m20kN↓↓↓↓↓qC4m3ql2/4 ql2/4804m20kN 3ql2/4XA YAABXBll YBCM B = ql 2 - 0.5ql 2 +YA ? 2l = 0 ?3ql/8 YAAB YB3ql/897YA = - ql 4 M C = ql 2 - ql 2 4 - X A ? 2l = 0 ?XA = 3ql 82lM（kN.m)2kN 48kN.m44 8 8kN.m4kN 4、主从结构绘制弯矩图（利用4kN.m8kN.m 4kN.m M(kN.m)4kNM图的形状特征，自由端、铰支 座、铰结点及定向连结的受力特 性，常可不求或少求反力）21 32 11 10kN.m 10 10kN 162m2m2m2m4m42m2m8kN 8kN P P PM(kN.m)2m aPa Pa Pa2m2m2mPaPaPaaa/2 a/2 a/2 a/29815↓↓↓↓↓↓↓↓15kN.m1016kN/m1824kN483m2m6020kN 4020kN 30kN/m 20 ↓↓↓↓↓↓↓↓2m30kN 15kN/m↓↓↓↓↓↓↓↓M（kN.m)M（kN.m)603m302m4m2m994m2m4m一、判断题1.图1a 和图1b两个承受相同的荷载的悬臂梁, 其截面 F 刚度不同，但内力图是一样的。 (a)2I I F I l/ 2 l/ 2√(b)图12.图2所示结构在承受所示荷载的状态下，链杆AC 和 ? BC 均不受力。????√图2100二、选择填空1. 在温度改变的影响下，静定结构将： ( BA. 有内力、有位移 C. 有内力、无位移 B. 无内力、有位移 D. 无内力、无位移 )2. 比较图a、图b所示两种情况：其内力_________，B 支座水平位移 A. 相同，不等 C. 相同，相等F l A l B。AB. 不相同，不等 D. 不相同，相等F l A l 15℃ B(a)(b) 1013. 图a所示结构弯矩图形状正确的是：M(A) (B)( A)l(C)(a)l(D)(b)1024. 图示结构 MDC （设下侧受拉 为正）为(D)A. － FaC. － Fa／2B. FaD. Fa／2提示：本题不需要求支座反力。由 F于原结构对称，所以 D M 又由于C点为铰接，故A，由 DC = M EC C EF - ? 2a ， 4 ，代入C4m B =0Fa/ 2D C EFa/ 2上式解得M DCFa = 2。M4m分段叠加法得 M C = M D CABM图1035. 图示结构内部温度上升t 度，外部温度不变，则K截 面剪力FSK为________。K解: 答案是0。因为该结构是静定结构，静定结构在 温度变化下不产生内力， 故FSK =0。1046. 图示桁架内力为零的杆为： （ ） A. 3根 B. 6根 C. 8 根 D. 7根(a)(b)F F0 0 0 0 0 0 0 0解: 答案是（ C ）。见图b。1057.判断下列结构弯矩图形状是否正确，错的请改正。√q↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓√ql2/8lPPP↓↓↓↓↓↓↓↓P↓↓↓↓↓↓↓↓√P第四章一、三铰拱的主要受力特点：静定拱在竖向荷载作用下，产生水平推力。 优点：水平推力的存在使拱截面弯矩减小，轴力增大； 截面应力分布较梁均匀。节省材料，自重轻能跨越大跨 度；截面一般只有压应力，宜采用耐压不耐拉的材料砖、 石、混凝土。使用空间大。 缺点：施工不便；增大了基础的材料用量。二、反力计算公式： VA=YA；VB=YB； H=MC0/f注：1）该组公式仅用于：两底铰在同一水平线上且承受竖向荷载。 2）三铰拱的反力与跨度、矢高（即三铰的位Z）有关， 而与拱轴线的形状无关；水平推力与矢高成反比。108三、内力计算公式： M = M 0 - Hy 注：1、该组公式仅用于两底铰 Q = Q 0 cos? - H sin? 在同一水平线上,且承受 N = -Q 0 sin? - H cos? 竖向荷载； 2、在拱的左半跨?取正右半跨取负； 3、仍有 Q=dM/ds 即剪力等零处弯矩达极值； 4、 M、Q、N图均不再为直线。 5、集中力作用处Q图将发生突变。 6、集中力偶作用处M图将发生突变。 四、三铰拱的合理轴线 在给定荷载作用下使拱内各截面弯矩 剪力等于零,只有轴力的拱轴线。合理拱轴线方程为：注：1、对应已知荷载的合理拱轴线方程,M 0 ( x) M 0 ( x) y ( x) = = f 0 H MC 随f 的不同而有多条，不是唯一的。2、合理拱轴线与相应的简支梁的弯矩图形状相似，对应竖 109 标成比例.第五章静定平面桁架一、桁架的基本假定：1）结点都是光滑的铰结点； 2）各杆都是直杆且通过铰 的中心； 3）荷载和支座反力都 用在结点上。 二、结点法：取单结点为分离体，得一平面汇交力系，有两个 独立的平衡方程。 三、截面法：取含两个或两个以上结点的部分为分离体，得一 平面任意力系，有三个独立的平衡方程。四、特殊结点的力学特性 ：N1=0 N2=0 N1=0N1N2=N1 N1=N2 N3=0N3PN2=P110N3N4N2 N4=N3βN1βN2=－N1五、对称结构在对称荷载作用下对称轴上的K型结点无外力作用时， 其两斜杆轴力为零。 六、对称结构在反对称荷载作用下 ?与对称轴垂直贯穿的杆轴力为零。 ?与对称轴重合的杆轴力为零。P P- 2P20kNPP- 2PP20- 20 220－P－P4m4×a1114m4m4m－P－P4×a－P －P4m20 21 1mNa A23m解：取1-1以右为分离体 NC=－10kN ∑Y=0 取2-2以右为分离体 ∑Y=6+YB+YC=0 O 6kN YB=0 ∑MO=0 NA=0a126kN1m×4＝4m8kN6kN10kN 110kNO －10 a解：取1-1以右为分离体 ∑MO=0N1=02Pa/2－10aN1 a/2 a/2 1 a1 a Na 2 a/2 3a/2 a Nc O解：取1-1以右为分离体 ∑X=0 Xc=－P Y = X C l = - 2P C y lx 3 取2-2以左为分离体 ∑Y=02P Na = 3Nbb取1-1以右为分离体 ∑MO=0 2P 2P =? 2 a + N b a - 2a = 0 Nb P 3 3aaa1第六章1、计算结构位移主要目的结构位移计算?a）验算结构的刚度；b）为超静定结构的内力分析打基础。2、产生位移的原因主要有三种 3、变形体系的虚功原理:?a）荷载作用； b）温度改变和材料胀缩；c）支座沉降和制造误差状态1是满足平衡条件的力状态，状态2是满足变形连续 条件的位移状态，状态1的外力在状态2的位移上作的外 虚功等于状态1的各微段的内力在状态2各微段的形上作 的内虚功之和T12 = ? ? N1? 2 ds + ? ? Q1? 2 ds + ? ? M 1? 2 ds1144、结构位移计算的一般公式? = ? ? ? ? + Q ? + M ? ?ds- ? R c N 2 2 2 i i注：1) 既适用于静定结构，也适用于超静定结构; 2) 既适用于弹性材料，也适用于非弹性材料; 3) 产生位移的原因可以是各种因素; 4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变形和轴向变形对 位移的影响； 5) 右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取 正。 5、弹性体系荷载作用下的位移计算?kp =?NNP ? EA ds+?kQQP ? GA ds+?MMP ? EI ds1）EI、EA、GA分别是杆件截面的抗弯、抗拉、抗剪刚度； k是一个与截面形状有关的系数，对于矩形截面、圆形 115 截面，k分别等于1.2和10/9。2） NP、QP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因； 虚设单位荷载引起的内力是 N , Q , M 3） 公式右边各项分别表示轴向变形、剪切变形、弯曲 变形对位移的影响。 MM dx 4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的 ? = ? ?P iPEI5）桁架NN P ? iP = ? l EA6）桁梁混合结构Δ=MM P NN P ds+ ? l ? ? EI EA用于桁架杆用于梁式杆 7）拱 通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在 扁平拱中计算水平位移或压力线与拱轴线比较接近时 才考虑轴向变形对位移的影响，即MM P NN P ?=? ds+ ? ds EI 116 EA8）该公式既用于静定结构和超静定结构。但必须是弹性体系 9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应 的广义单位荷载。A B 求A点的 水平位移 P=1 求A截面 的转角m=1m=1m=1P=1 求AB两点 的相对位移117P=1l1/l求AB两截面 的相对转角1/l求AB两点 连线的转角6、 图乘法w y0 MM P ? = ?? dx = ? EI EI①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。 ②图乘法的应用条件： a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 ③竖标y0 取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否则取负号。 ⑤几种常见图形的面积和形心的位Z：⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； b）当 EI 分段为常数或 M、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。118⑦非标准图形乘直线形： a）直线形乘直线形l a?M Mikdxcbdl? = 2ac + 2bd + ad + bc ? 6b)非标准抛物线成直线形 a h c l d b=ab2 hl c + d S = l ?2 ac + 2 bd + ad + bc ?+ 6 3 2119+h7 静定结构由于温度改变而产生的位移计算? it= ?at0w N ± ?a?thwM1） 该公式仅适用于静定结构。并假定温度改变沿 截面高度按线性变化。 2）正负规定：8 静定结构由于支座移动而产生的位移计算?ic = -? RK ? cK1）该公式仅适用于静定结构。 2）正负规定：9 互等定理 ?适用条件：弹性体系（小变形，ζ=Eε） ?内容 d12=d 21 W12= W21 120 r12=r21求图示简支梁中点的挠度。EI=常数，弹簧的刚度系数为k。q A↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ql2/8B试用单位荷载法求出 梁的挠曲线。 Pl PxPMPAlP=1ql/2BMPl－xlP=1l/4 M 1/2 x M MM P NN P ?C = ? dx+ EI k l-x ?2 Pl?l - x ?+ Px?l - x ?? y ( x) = 2 1 ? 2 l ql 5 l ? 1 ql 6 EI = ? ? ? ? ? ??2 + ? EI ? 3 2 8 8 4 ? 2 2k P 2 ?l - x ? ? x + 2l ? = 4 6 EI 5ql ql = + 385EI 4k121PPP求ΔDV 3mBCA－8PD8P 3P 04m×3=12m 0 0 0 0P=10 0 0 0 0－4/31 ? 5 4 ? 72P ? DV = ?3P?1?3+ 5P? 3 ?5 + 4P? 3 ?4? = EA EA ? ?122一、判断题1. 虚功原理不涉及材料的物理性质，因此它适用于 √ 任何固体材料。 2. 功的互等定理适用于线性和非线性变形体系。w3. 图示桁架中腹杆截面的大小对C点的竖向位移有 影响。Fw提示：在F作用下， 腹杆全为零杆。1234. 图示梁的跨中挠度为零。（ √ ）M M提示：本题梁的位移为 反对称。 ( w )0 0 0 2F B 0 0 0 0 F=15. 图a 桁架，B点将产生向左的水平位移。(a) F A F C 0 B 2F 0 (b) F A F (c)解:由于AC、BC为零杆，对结构的位移无影响，可以 去掉（图b），用本章所讲的虚力原理，在B点施加一水平 单位力（图c），根据位移计算公式 FN FP l ，易得 ? ＝0。 Δ=? HB EA1246. 图示桁架中，杆CD加工后比原尺寸短一些，装配 后B点将向右移动。 ( w )C 0 A (a) B A (b) C 0 D 0F =1BD解 在B点施加一水平单位力（图b），应用变形体 位移计算的一般公式Δ=??FN CD? dsN CD有变形的杆件只有CD杆，由于 F 因此 Δ B H = F N CD ? d s = 0。125= 0，?7. 图a、b为同一对称桁架，荷载不同，而K点竖向位 移相同。(a) F（√F）(b) 2F (c) F FKKK提示：图b可以化为图a与图c相叠加。由于图c为反对 称荷载，故c图中K点竖向位移为零，由此易得结论。126二.选择填空1.应用虚功原理时，其中力系应满足 A. 约束 B. 物理 C. 连续D条件。D. 平衡2.图中先加F1后加F2，其中的虚功项F? F?C。Δ? ?Δ? ?Δ ??Δ??A. F1 Δ11B. F2 Δ22C. F1 Δ12127D. F 2 Δ 2 2 + F1 Δ1 23. 应用虚功原理时，其中位移应满足AD. 平衡条件。A. 约束B. 物理C. 连续4. 图示同一结构的两种受力状态，根据互等定理， 第D组答案是正确的。 A. ? 2 = Δ4 C. Δ1 = ? 2+ ? 3?? ?θ?B. ? 1 = Δ5 D. Δ 4 = ? 2 + ? 3?? ? ?? ??θθ???θ?1281. 求图所示结构 C 点的竖向位移△CV 。2 EA 常数 C6 A EI 12m 3 4 5 3m F 4m 4m 4m 7 8 9解：提示 在C点施加竖向单位力，由于桁架部分为 附属部分，所以各杆均为零杆，因此只需求杆AC的弯矩 即可 （过程略）。 192 F ΔC V = (? ) EI1292. 结构仅在ACB部分温度升高t，并在D处作用外力 偶M, 试求图示刚架A、B 两点间水平向的相对线位移。 已知各杆EI为常数，α为线膨胀系数，h为截面高度。(a) +t A E a a C +t D +t B a F a M a M/2 M/ 2 MP M a F=1 F=1 (b) (c) M/2 M M/2解：由于ACB为静定结构的附属部分，故该部分温度变 化时对基本部分无影响，只需考虑外荷载的影响。 在A、B点施加一对单位力，画出 M , M P 图分别如图b、c， 则 1 1 M 2 Ma 2 ΔA B = (- ? a ? a ? ? ) ? 2 = EI 2 2 3 3 EI130第七章力法深刻理解：超静定次数、柔度系数、对称结构、对称荷载、反对称荷载等基本概念；超静定次数的确定原则，力法的基本原理，力法的三个“基本”（基本未知量、基本体系、基本方程），力法计算 超静定结构的标准步骤，超静定结构在荷载作用下 的内力与变形特点，超静定结构在支座移动等因素 作用下的内力与变形特点，对称结构在对称或反对 称荷载作用下的内力与变形特点。131熟练掌握：判断超静定次数，确定多余约束， 用力法计算荷载作用下超静定梁、刚架的内力， 利用对称性取半边结构，简化力法计算， 支座移动情况下用力法计算超静定结构。1321、关于结构的超静定次数与多余约束正确判断超静定次数是用力法计算超静定结构的前提。教材上提到用公式确定结构的超静定次数，建议大家不用此方法，还是利用几何构成分析来确定超静定次数和多余约束，因为那两个公式并不太好应用，容易出错，即使算出了超静定次数，还是要利用几何构成分析来确定多余约束。1332、深刻理解力法典型方程中每一个方程、每一项、 每个符号的含义n 次超静定结构的力法的基本方程是利用叠加原理导出的，无论结构是什么型式、力法的基本未知量和基本体系怎么选取，其力法的基本方程均为此形式，也称力法的典型方程：? d 11 X 1 + d 12 X 2 + ? + d 1n X n + ? 1P = 0 ?d X + d X + ? + d X + ? = 0 ? 21 1 22 2 2n n 2P ? ? ??????????????? ?d n1 X 1 + d n 2 X 2 + ? + d nn X n + ? nP = 0 ?1343、力法计算超静定结构的标准步骤1354、对称性的利用对称结构的内力与变形特点总结：对称结构受非对称荷载作用，可将荷载分成 对称和反对称两组（除非荷载分解很复杂），再 利用对称性计算。136对称结构受对称或反对称荷载作用，用力法计算，有两种处理方式： 选取对称的基本结构，在对称荷载作用下 只考虑对称基本未知量，在反对称荷载作用下 只考虑反对称基本未知量； 沿对称轴切开结构，根据对称轴截面上的 内力或位移特点，安上相应的支座，对任一个 半边结构计算，然后根据内力图对称性补齐成 整体的内力图。137几个应注意的问题 1. 超静定结构的特性 (1) 在超静定结构中，支座移动、温度改变、材料胀缩、 制造误差等因素都可以引起内力。 (2) 在荷载作用下，超静定结构的内力分布与各杆刚 度的比值有关，而与其绝对值无关。因此，在计算内力时， 允许采用相对刚度。若改变各杆的刚度比值，则结构的内 力分布也随之改变。一般来说，刚度大的杆件，分配到的 内力也大；若各杆件的刚度按同一比例增减，则结构的内 力保持不变。 (3) 由温度或支座移动、制造误差等因素在超静定结 构中引起的内力，与各杆刚度的绝对值有关。 例：判断下列说法的正确性。 （1）没有荷载就没有内力这个说法对任何结构都是成立的. 解：错误。138（2）对超静定结构在荷载作用下进行内力分析时，只 需知道各杆的相对刚度。 解：正确。2、判断超静定结构的次数时应注意的问题 (1) 不要把原结构拆成几何可变体系。 (2) 通常要把全部多余约束都拆除。 (3) 只能在原结构中减少约束，不能增加新的约束。 (4) 去掉连接n个杆件的复铰相当于去掉n-1个单铰；将 连接n个杆件的刚结点变成铰结点相当于去掉n-1个约束。 (5) 只能去掉多余约束，不能去掉必要约束. 例题： （1）n次超静定结构，任意去掉n个约束均可作为力 法基本结构的说法对吗？ 解：错误。只能去掉多余约束，不能去掉必要约束。139（2） 图a所示结构的超静定次数为多少？ 解：8次。提示：相应的静定结构如图b所示.(a)A(b)B C（3）图示结构超静定次数为多少？ 解：6次。注意：1、2杆 组成二元体，不能看作多余 约束。1401 2（4） 图示结构超静定次数为多少？AB解：7次。提示：先去掉AB 杆, 再去掉铰A 结点（相当于2个 约束）, 最后去掉铰结点B（相当 于2个单铰）。。 （5） 图示结构的超静定次数为多少？BAC解：6次。提示：内部 ABC只需三个约束，即可与外 部保持几何不变， 而现在却 用3个铰相连，故有三个多余 约束， 外部刚架也有三个多 余约束。141对称性的利用（1）超静定结构的对称性包括两方面：几何形状和支 承对称；杆件截面和材料性质（刚度）也对称。 （2）作用于对称结构上的任意荷载可以分为对称荷 载和反对称荷载两部分分别计算。 （3）在对称荷载作用下，变形是对称的，弯矩图和 轴力图是对称的，剪力图是反对称的。在反对称荷载作用 下, 变形是反对称的，弯矩图和轴力图是反对称的，剪力 图是对称的。利用这些规则, 只需计算半边结构。（4）选取半结构的原则如下：奇数跨对称刚架在正对称荷载作用下，对称轴处 简化为一定向支座。 奇数跨对称刚架在反对称荷载作用下，对称轴处简 化为一竖向链杆。142偶数跨对称刚架在对称荷载作用下，当不考虑中柱轴 向变形时，对称轴的截面无位移，简化为固定支座。偶数跨对称刚架在反对称荷载作用下，原结构简化为 半结构，且中柱的惯性矩减半。（5） 几种典型对称结构的半结构如下列各图所示。(a) (b) (c)正对称半结构反对称半结构143(a)(b)(c)或对称轴正对称半结构反对称半结构(a)y(b)(c)ii/2y正对称半结构144反对称半结构(a)y(b)(c)ii/ 2ii/2y正对称半结构反对称半结构(a)y(b)(c)i/ 2iEA=8y正对称半结构145反对称半结构(a)(b)(c)正对称半结构反对称半结构注意：在利用对称性时应能正确判断荷载的对称性。 例： 在不计轴向变形下，图a所示对称结构（EI=C），可 取图b来计算吗？ (a) F/ 2F (b) (c) F/ 2解：不可以。 正确的半结构应 为图c。146例：图 a所示对称结构，可简化为图b来计算吗？(a) 1.5 l l 1.5 l l l l l l F F (b) F解：可以。147例：作图a所示结构M图，EI=常数。(a) M (b) M/ 2 (c) M/ 2aM/ 2aa/ 2a/ 2解：本题为反对称荷载，故先简化成半结构（图b）, 该半结构是静定结构，根据平衡条件即可作出弯矩图(图 c）。148例：用力法计算并做图a所示结构M 图。EI=常数。(a) F F l (b) F (c)M =FlFl l (d) l (e) (f)M =FlM =Fl/ 2Fl Fl/ 2对称轴Fl/ 2Fl/ 2Fl Fl/ 2M图解：把原结构简化成图b所示的半结构，再简化成图c， 进一步简化成e图所示的简支梁，可得原结构的M图（图f）。149例：试用力法计算图a 所示结构由于AB杆的制造误差 （短S）产生的M 图，已知EI=常数。(a)A(b)(c)A a/ 2 a/2Δ /2EA= ∞aX 1 =1a B a(e)(d)Δ /2 Δ /2?? 3 EIΔ 2 a2M图解：取1/4结构（图b）。由于AB杆短S，可看作支座 A发生向下的位移S／2。150列力法方程 d11 X1 + ?1c = 0其中d 11a3 = 3EI而S1c是当基本结构（图d）发生向下的支座位移时,沿 X1方向产生的位移，因此Δ c = -Δ / 2 1解方程得3EIΔ X1 = 2a 3M 图示于图e。151例：图a所示结构，用力法求解时最少未知量个数为 多少？ 解：最少未知量个数为1。 提示：先取半结构（图b），再对图b取半结构 如图c所示。(a)F 3EI 3EI(b)F/ 2 EI h 3EI(c)F/ 4 3EIEI2EIEIEIll152例：结构如图所示（f为柔度系数），选择正确答案。A. C.MA A EI lM A ? MCB. D.M A = MCM A = -M CMc F f lM A ? MCFC EI解:正确答案是C。153第八章位移 法深刻理解结点位移、弦转角、杆端弯矩、固端弯矩、刚度等基本概念；位移法的基本思想、基本未知量、基本体系、基本方程，深刻理解位移法的 杆端弯矩方程，深刻理解位移法建立平衡方程的两 种方法。 熟练掌握用位移法求解无侧移的连续梁和刚架， 以及简单的有侧移刚架的计算。1541、深刻理解位移法的基本思想与基本步骤 位移法的基本思想是“先拆后合”。1552、深刻理解位移法中的符号约定 在位移法中要套用公式写杆端弯矩，因此符 号约定（结点转角、弦转角、杆端弯矩一律以顺 时针为正）非常重要。结点转角、弦转角、杆端弯矩在未求出之前一律假设正号，实际的方向根据求出的量的正负号确定；1563、关于位移法的杆端弯矩方程 位移法的杆端弯矩方程是为位移法的第二大 步服务的，对每一根拆成的超静定杆，不必再原 始地用力法计算一遍，而是直接套通用的杆端弯 矩的公式。现对杆端弯矩方程作以下说明： 一根超静定杆的杆端弯矩包括：外载荷的贡 献；支座位移（转角和垂直于杆轴的相对位移）的贡献。可以用叠加原理写出总的杆端弯矩。157杆端弯矩的公式较多，可以总结如下：1584、关于位移法中的固端弯矩 为了正确地写出杆端弯矩表达式中的固端弯 矩，特作以下两点说明： 首先必须会确定写固端弯矩的计算模型。固 端弯矩是对拆成的超静定杆件，仅考虑荷载作用、 不考虑支座移动时的杆端弯矩，因此确定固端弯 矩模型的原则是：结点位移为零，支座保留原状。159对固端弯矩，建议只记忆或在教材的表8-1查找其绝对值，其符号由变形图确定，因为表8-1中只给出了水平方位的梁在几种荷载下的固端弯矩，不可能包含所有情况，而结构中的杆件有各种支座布局（如左端链杆、右端固定）、各种方位、 各种荷载情况。160如图(a)，先勾画出变形图，有两个反弯点，第一个反弯点左边向上凸、右边向下凸，第二个反弯点左边向下凸、右边向上凸，向哪边凸一定是哪边受拉，因此杆的A端上边受拉，弯矩为逆时针，B端上边受拉，弯矩为顺时针，161对图(b)情况，类似地分析得到F M ABql 2 ql 2 F =, M BA = 12 12如图(c)，先勾画出变形图，只有 一个反弯点，反弯点左边向上凸， 因此杆的A端上边受拉，弯矩为 逆时针，MF AB3Pl =16162如图(d)，先勾画出变形图，只有一个反弯点，反 弯点左边向下凸、右边向上凸，因此杆的A端下边 受拉，弯矩为顺时针，B端上边受拉，弯矩为顺时针，F M ABql 2 ql 2 F = , M BA = 6 31635、关于位移法的基本未知量的判断结点独立线位移的判断是难点。在不计杆件轴向变形的前提下，有两种手段判断结点独立线位移：勾画结构变形图或弦线图，根据变形图或弦线图确定结点独立线位移；刚结点改铰结点法：将结构所有的刚结点（包括固定支座）改为铰结点，为使此铰接体系成为几何不变需要添加的最少的链杆数即为结点独立线位移数。1646、关于位移法的基本体系 基于位移法的基本思想，有两种具体的做法： 直接取隔离体建立平衡方程，就是教材上第 五节以前用的方式，这种方式是位移法的入门方 法，优点是简便、直观、易懂，缺点是不能象力 法那样标准化、模式化、程序化，没有统一形式 的平衡方程。165采用位移法的基本体系，就是教材上第五 节讲述的，这种方法虽然不很直观易懂，但是非常标准化、模式化、程序化，有统一形式的平衡方程，对以后学习力矩分配法、矩阵位移法、结构动力学也很有帮助。教材上第五节对此方法讲得很细致、很精彩，希望大家仔细学习、品味，加深理解和体会，熟练掌握此方式。在此强调两点：166直接建立平衡方程和采用基本体系建立平衡方程本质上是相同的，即前面讲的“先拆后合”与此节的“先锁后松”无本质差别；与力法中一样，位移法的基本思路也是过渡法，过渡的桥梁就是基本体系，位移法也有三个基本（基本未知量、基本体系、基本方程），也要深刻理解位移法基本方程的每个方程、每一项、每个符号的含义：1671687、 静定部分的处理(a) A Fa a a D (b) B C BFFa例如，图a中AB为静定部分，很容易画出该部分 的弯矩图，将MBA=Fa 反作用于B点，再计算B点以 右部分即可（图b）。1698、 一根直杆的刚度不同时, 位移基本未知量的确定如图，将BD杆分为BC和CD两根杆件，则本题有三个 未知量?B，?C ，SC。A EI EI C2EIBD170一、判断题 1. 位移法仅适用于超静定结构，不能用于分析静 定结构。( w ) 2. 位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。 ( ( w) 3. 位移法的基本结构为超静定结构。(√ ) 4. 位移法中角位移未知量的数目恒等于刚结 点数。（ w ） 提示：与刚度无穷大的杆件相连的结点不取为 角位移未知量。1715. 转动刚度（杆端劲度）S 只与杆件线刚度和 其远端的支承情况有关。（√ ）6. 力矩分配法中的分配系数、传递系数与外来 因素（荷载、温度变化等有关。） （ w ） 7. 图示刚架可利用力矩分配法求解。(√ )1728. 图a所示对称结构可简化为图b所示结构来计 q 算。( √ )a q q a a q a (a) (b) q a9. 图示结构的结点位移基本未知量为1(√ )。 EI=∞ 提示：只有一个线位移未知量。1731. 用位移法计算图示结构最少未知量数目为： （ ） A. 1 B. 2EI= ∞ A B F EIC. 3D. 5Δ1θEIΔ2解：答案是A。结构的位移图如图b所示，图中?1，?2和? 之间 存在几何关系，只有一个未知量是独立的。174则（2. 图示结构中EI =常数,EI1=∞，全长受均布荷载q ，）A.ql2 M AB = 12qB. M AB = 0q12( l )2 3ql2 C. M AB = 8qD. M AB13ql2 =108EI1 A l/ 3 CEI D l/ 3EI1 l/ 3BCql qlDACqlq12( l )2 36 6 6 解:答案是D。 由于EI1=∞ ，则C，D两点对于杆CD 来说相当于固定 支座，CD杆的内力如图b，将其C端的弯矩和剪力反作用 于AC杆，则AC杆的受力情况如图c。易得M ABq l2 q ? l ? ql l 13ql 2 = ? + ?? ? + ? = 12 9 2 ? 3 ? 6 3 1081752由于MAB为逆时针方向，故取负号。3. 超静定结构的计算，下列正确说法是：( C )A. 只需利用变形条件B. 只需利用平衡条件C. 既要考虑平衡条件还要考虑变形条件(几何方程)D. 是否利用变形条件由荷载情况和结构构造情况决定176第九章渐 近 法力矩分配法的理论基础是位移法，适用范围是连续梁和无侧移刚架。它的特点是避免联 立方程，单结点力矩分配得到的是精确解，多 结点力矩分配得到的是渐进解。熟练掌握：用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架的内力。177力矩分配法思路： 1、先固定结点，由固端弯矩获得结点不 平衡力矩；2、然后用分配系数求杆端分配弯矩；3、接着用传递系数求传递弯矩；4、最后计算杆端最终杆端弯矩。这种直接求杆端弯矩，区段叠加作 M图的方法即为力矩分配法。1781、深刻理解力矩分配法的几个基本概念 转动刚度 S ：表示杆端对转动的抵抗能力（A端AB为施力端，B端为远端），在数值上等于使杆端产生 单位转角时须施加的力矩。?4i ?3i ? =? ?i ?0 ? 远端固定 远端铰支 远端滑动 远端自由S AB转动刚度与远端支承情况、杆的线刚度有关。179分配系数 ? ：表示了结点A受外力矩作用时各杆A端Aj分担的抵抗弯矩的比例，? Aj =Aj?SAS AjAj,??AAj=1传递系数 C ：表示了传递到远端的弯矩与近端分配 的弯矩的比值，C Aj ?1 ?2 ? =?0 ?- 1 ? ? 远端固定 远端铰支 远端滑动传递系数仅与远端支承情况有关。 1802、用力矩分配法计算结构时，任一结点角位移 引起该结点某一杆端的弯矩应为该杆端的（ B ） A.最后弯矩； B. 历次分配弯矩之和 ； C. 历次分配弯矩和传递弯矩之和； D. 固端弯矩与历次分配弯矩之和。1813. 在力矩分配法中，各杆端之最后弯矩值是（ C )A. 分配弯矩之代数和；B.固端弯矩与分配弯矩之代数和； C. 固端弯矩与分配弯矩、传递弯矩之代数和； D. 分配弯矩与传递弯矩之代数和。4. 用力矩分配法计算时，放松结点的顺序为( D ) A. 对计算和计算结果无影响；B. 对计算和计算结果有影响； C. 对计算无影响； D. 对计算有影响，而对计算结果无影响。1825. 图示结构AC杆端A的分配系数? = ______ 。 AC解：S AB = EIAEI S AD = 2E .5 2IC3mD2 EIEIS AC2.5 EI = 4? = 2 EI 54m 4mB? AC 所 以 注意: AC 斜杆的C 端相当于固定端。1834 = 76. 用力矩分配法计算图示结构时, 杆端CD的分 配系数μCD是：（ ） A. 1/4 B. 4/13 C. 3/16 D. 4/7B C A D 解：答案是 B。 EI 3EI 3EI 3EI 9 EI EI EI SCB = 3i = 3 ? = 4m 4 4 EI 2m SCD = 4i = 4 ? = EI 4m 4m 4 1 4 ?CD = = 9 13 注意:BC杆的B端为铰结。 1+ 41847. 试用力矩分配法计算图示连续梁，并绘M图。20 kN mA A20 kN m10 kN mm 10 kNEE D D EIEI2mm 2AABB10 kN m10 kN m 10 kN mE EEI EI B EI EI C C EI EI B 2m m 2 m2 m 2m m 2 2CCD D(b)(a)10 kN m 10 kN mABC(d)AB(c)10 kN mCDE解：利用对称性，原结构可分 解为图b与图c的叠加，由图c取半 B A C 个结构，如图e所示；由图b取半个 (e) 结构，如图d所示。 由图e得：MBA=10kN? m，MAB=5kN? m，MBC=0185对于图d所示结构(f)10 kN mDS BA = 4i AB = 4 = 2 EI 2B E A EI 3 C S BC = 3iBC = 3 = EI 2 2EI 10 kN mA20/7 2.8610 kN mB4/7 3/7 40/7 30/7 5.71 4.29 0 0C4 ? BA = 7? BC3 = 7(g) 15.71 4.29（单位：kN? m）分配过程示于图f, 原结构弯矩图如图g所示。4.29 2.147.86（单位：kN? m）186第十一章影响线及其应用要学好本章，必须把握两点：一是深刻理解影响线的 概念，若影响线的概念认识得不深入，遇到稍复杂的静 定结构的影响线，脑子就易产生各种混乱；二是深刻理解影响线与固定荷载的内力图的既区别、又联系的辩证关系，要认识到影响线与内力图不同，也要看到影响线 其实也不是什么新东西，仍然要使用静定结构内力分析 的基本方法，因为移动荷载作用在结构上就是无限多种 固定荷载作用在结构上的情况的集合。187深刻理解：移动荷载、影响线、结点荷载等基本概念；静力法作影响线的特点，简支梁的支座反力、弯矩、剪力的影响线，外伸梁的影响线、结点荷载作用下梁 的影响线与简支梁影响线的关系，机动法作影响线的 特点。188用静力法绘制求某一量值的影响线，所用方法与在固定荷载作用下静力计算方法是完全相同的，都是取隔离体，建立平衡条件来求解。不同之处仅在于作影响 线时，作用的荷载是一个移动的单位荷载，因而所求 得的量值是荷载位置x的函数，即影响线方程。 注意：当荷载作用在结构的不同部分上所求量 值的影响线方程不相同时，应将它们分段写出，并 在作图时注意各方程的适用范围。189深刻理解机动法作影响线的特点 静定结构的支反力和截面内力都可视为约束反力（支 座反力是外部的约束反力，截面内力是内部的约束反力）， 因此可解除与该支座反力或截面内力对应的约束，结构就成为机构，勾画出虚位移图，此时机构上的主动力只有单位荷载与该支座反力或截面内力，虚功方程只有两项，就 可方便地求出该支座反力或截面内力的变化规律：? 1 Z ( x) = ? ? d Z ?190? ? ? d P ( x) ? ?? 1 Z ( x) = ? ? d Z ?? ? ? d P ( x) ? ?使机构沿 Z 的正方向发生虚位移，作出单位荷载 作用点的虚位移图，即得到 Z 的影响线的轮廓，再令d Z = 1 ，即可得到影响线图的纵坐标值。191机动法作影响线时注意两点： ●使机构沿的正方向发生虚位移后，要画单位荷载作用点的虚位移（特别是象结点荷载作用的梁的某个截面内力影响线的情况），最终由单位荷载作用点的虚位移图 得到影响线。 ● 横坐标以上的图形，单位荷载的虚功为负，影响线值 为正；横坐标以下的图形，单位荷载的虚功为正，则的虚功为负，影响线值为负。192例：作FyA 、 M1 、 M2 、 FS2 、 MB 、 FS3 、 FyC 、 FS4 、 FSC左 、 FSC右 影响线A 2m 1 1m 1m 2 1m 1m B 3 1m 1m C 2m 4 1m D 1m1FyA1FyA影响线（1M1影响线M1193A 2m1 1m 1m2 1m 1mB3 1m 1mC 2m4 1mD 1mM2影响线1M21（FS2影响线1MB影响线2FS21（MB194A12B3C4D2m1m 1m1m 1m1m 1m2m1m1mFS3影响线1 1FCy影响线 FS4影响线FS31FCy1FS4195A2m11m 1m21m 1mB31m 1mC2m41mD1mFSC左影响线1FSC右影响线FSC左1FSC右196本章讨论了两方面的问题: 影响线的作法和影 响线的应用。前者是主要的。在影响线的作法中, 又以静力法作静定梁的影响线为重点。需要注意的 是这影响方程是有适用范围的。 当只需要定性地了解影响线的形状时, 机动法作影响线是最方便的。197必须掌握影响线的物理意义, 才能掌握影响线的 作法。从而能正确地区分影响线和内力图。影响线必 须与某确定的截面中某量值联系在一起。在影响线的应用方面, 最重要的概念是最不利荷载位置的概念。并不是把所有的荷载加到梁上, 梁就 处于最危险状态。要针对该截面该量值确定其最不利 荷载位置或最不利荷载布置才能求出。198一、判断题1. 任何静定结构的支座反力、内力的影响线，均由 一段或数段直线所组成。√2. 静定结构和超静定结构的内力影响线均为折线组成。 3. 图示结构FSC影响线的CD段为斜直线。w wFCDB应为水平直线。1994. 图示结构FSD的影响线如图b所示。(a)2aDa aF=1√1(b)F SD 的影响线二、选择题1. 结构某一截面某一内力影响线将A. 随实际荷载 C. 因坐标系的不同选择B而改变。B. 不随实际荷载 D. 随实际荷载数值2002. 用 机 动 法 作 静 定 结 构 内 力 影 响 线 的 理 论 基 础是。 A. 变形体虚力原理 C. 刚体虚位移原理B. 刚体虚力原理 D. 功的互等定理C3. 简支梁上有单位力偶移动，其截面C的剪力影响线 应该是第 图。Al /2CM =1l /2B(A) l/ 2 (B) (C) (D)1/l 1/lD2014. 图示桁架中杆3C的轴力影响线在 等于零。 A. 2-4 B. 1-5 C. 1-2和4-5F=11 2 3 4 5区间不 D. 2-3AC5. 梁的绝对最大弯矩表示在一定移动荷载作用下 A. 梁某一截面的最大弯矩 B. 梁某一截面绝对值最大的弯矩 C. 当移动荷载处于某一最不利位置时相应的截面弯矩 D. 梁所有截面最大弯矩中的最大值202D6. 影响线的基线应当与（ A . 梁轴线平行 C . 单位力的作用线垂直C）B . 梁轴线垂直 D . 单位力的作用线平行 ）7.简支梁绝对最大弯矩值是： （ C A. 梁中某截面的最大弯矩值 B. 梁跨度中点附近某截面的弯矩值 C. 梁中各截面最大弯矩中的最大值 D. 梁中间截面的最大弯矩值2031. （判断题）用静力法作影响线，影响线方程中的 变量代表截面位置的横坐标。（ w ）2.（判断题）图示结构BC杆轴力影响线应画在BC 杆上。（w）BF =1 AC图3-4影响线的作用范 围是单位荷载的移动 范围，应画在AB杆上 而不是BC杆。2043. 作图示结构主梁截面A（右）和A（左）的剪力影 响线。(a) G1 Ed/2 d/2 dG2G3 AG4F=1 G5G6G7 B4d解: 用机动法。 先作基本结构的位移图, 再作附属部分的位移图 （图b、c）, FSAL和 FSAR的影响线如图（b′、c′）205(a) G1 Ed/ 2 d/ 2 dG2G3 AG4F=1 G5G6G7 B4d(b) G1F SALG2 G3 A 1 G4F=1 G5 G6 G7F SAL(b')F SAL 的影响线1(c) G1F SAR1F=1 G7A F SAR (c')F SAR 的影响线1/413/42064. 桁架上有小车移动如图a所示，小车的吊重及自重 共20kN，平均分配在两个轮上，则杆a的最大内力为 。(a) 2m a 1m A B 6???m B (b) F Na的影响线 2解: (1)先作FNa的影响线(图b） 。 当F=1在A 点以左移动时， F N a = 0 ( 0 ? x ? 3) 当F=1在B点以右移动时，FN a = (2)求杆a 的最大内力为。当小车左轮移动到B点时, FNa取最大值 ? 2?? kN = 21.2 kN FN a max = 10 ? ? 2 + ? 2 ? ? ?2072 (6 - x ) ( 4 ? x ? 6) 2第十三章结构弹性稳定确定临界荷载的方法 静力法―应用静力平衡条件求解； 能量法―应用以能量形式表示的平衡条件。结构稳定的自由度：为确定结构失稳时所有可能的变形状态 所需的独立参数的数目。208静力法―依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件， 求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值 即为临界荷载。 图a所示单自由度结构，设压杆偏 离竖直位Z时仍处于平衡状态如图b。 由∑MA=0有Fl sin ? - k? = 0 sin ? = ?位移很小时可认为故有( Fl - k )? = 0当 ? = 0时上式满足，对应原有的平衡形式? 对于新的平衡形式， ? 0 则有Fl - k = 0209 稳定方程或特征方程例 试求图a所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的刚 度均为k。 解：结构有两个自由度，失稳时A、 B点的位移如图b。 设位移是微小的，由∑MB=0，∑MC=0F ( y2 - y1 ) + ky1l = 0 ? ? - Fy1 + 2ky1l + ky2l = 0?即 (kl - F ) y1 ) + Fy2 = 0 ? (a ) ?(2kl - F ) y1 ) + kly2 = 0?y1、y2不全为零，则应有(kl - F ) F =0 (2kl - F ) klFcr = 0.382kl临界荷载展开 F 2 - 3klF + ( kl) 2 = 0 解得 F = 3 ? 5 kl = ?2.618kl ? 210 2 ?0.382 kl由(a)式不能求得y1、y2的确定解答，但可以求出两者的比值。将 F = 3 + 5 kl 代回(a)式可得 2y2 1 + 5 = = 0.618 y1 3 + 5相应的位移图如图c。 将 F = 3 - 5 kl 代回(a)式可得2y2 1 - 5 = = -1.618 y1 3 - 5相应的位移图如图d。实际结构必先以图d的形式失稳，图c只是理论上存在。 211§具有弹性支座的压杆稳定图a所示刚架， AB杆上端铰支；下 端不能移动但可转 动，其转动受BC杆 的弹性约束，可用 抗转弹簧表示，如 图b。 抗转弹簧刚度k1：使梁BC的B端发生单位转 角时所需的力矩。由图c可得 3EI1k1 = l1图b所示压杆失稳时， 由∑MB=0可得M 1 k1?1 FS = = l l压杆挠曲线的平衡微分方程为EIy ?? = - Fy + FS (l - x )A、B和 ?1不能全为零，则1 0 0 n k1 F k - ( 1 + 1) = 0 Fl 0令 n2 = F 通解为EIy ?? + n 2 y =k1?1 (l - x ) EIlk1?1 (l - x ) Flcos nl sin nl稳 定 方 程y = A cos nx + B sin nx +? 式中三个未知常数A、B、 1tan nl =边界条件为x = 0，y = 0 y ? = ?1nl EI 1+ (nl ) 2 k1l可建立x = l， y = 0 k A + 1 ?1 = 0 F ?k ? Bn - ? 1 + 1??1 = 0 ? Fl ? A cos nl + B sin nl = 0k1给定→nl 最小正根→Fcr k1=0时sinnl =0：两端铰支k1=∞时tannl =nl： 一端铰支一端固定一端弹性固定 另一端自由的压杆一端固定另一端有 抗移弹簧支座的压杆稳定方程为 nl tan nl = k1l EIEI ( nl ) 3 稳定方程为 tan nl = nl k 3l 3两端各有一抗转弹簧，上端有一抗移弹簧的压杆如图c 按静力法导出稳定方程为1 cos nl 0 - n sin nl 0 sin nl n ? k3l ? ?1 ? F ? ? 0 k2 F k2 F =0 k - 2 k1 1? k 3 k 3l F ? ? + ?F k -k ? ? 1 1? ? k3 n cos nl F弹性支座压杆稳定方程的一般形式 其他各种特殊情况的稳定方程均可由此推求。例 试求图a所示刚架的临界荷载。解：此为对称刚架承受正对称荷载，其失稳形式为正对称 的如图b或反对称的如图c。216正对称失稳时，取半结构计算如图d。 立柱为下端铰支上端弹性固定的压杆， 弹性固定端的抗转刚度为k1 = 2i1 = 4 EI l求得稳定方程为tan nl =nl ?nl ?2 1+ 4试算法解得最小正根为nl=3.83临界荷载为 Fcr = n 2 EI = 14.67 EI 2217l反对称失稳时，取半结构计算如图e。 立柱为上端弹性固定，上下两端有相对 侧移而无水平反力。弹性固定端的抗转刚度 为k1 = 6i1 = 12 EI l求得稳定方程为nl tan nl = 12试算法解得最小正根为nl=1.45 临界荷载为 结构以反对称形式失稳，临界荷载为218Fcr = n 2 EI =2.10 EI l2Fcr = n 2 EI =2.10 EI l2势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条 件的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移 （就是真实的位移）使结构的势能EP为驻值，即δE P = 0EP = Vε + VVε―结构的应变能； V―外力势能。V = - ? Fi Δii =1 n外力势能定义为Fi ―结构上的外力 Δi ―与外力相应的虚位移有限自由度结构→所有可能的位移状态只用有限个独立参数 a1，a2，…，an即可表示，EP只是这有限个独立参数的函数。单自由度结构→EP只是参数a1的一元函数，势能的变分为dE P dE P =0 δE P = δa1 结构处于平衡时 δE = 0 δa1 是任意的 故 P da1 da1 219dE P =0 由 da1可建立稳定方程以求解临界荷载。δE P = ?E P ?E ?E δa1 + P δa2 + ? + P δan ?a1 ?a 2 ?a n?EP ? = 0? ?a1 ? ?EP ? = 0? ?a2 ? ? ? ? ?EP ? = 0? ?an ?多自由度结构势能的变分为由δEP=0及δa1， δa2，… ，δan的任意性，必须有由此获得一组含a1， a2，… ，an的齐次线性代数 方程，要使a1， a2，… ，an不全为零，则此方程组的 系数行列式应为零→建立稳定方程→确定临界荷载。220例 用能量法求图a所示结构的临界荷载。 解：结构具有两个自由度，失稳时发生 图b所示位移。1 2 1 2 Vε = ky1 + ky2 2 22 ? y2 ( y2 - y1 ) 2 ? ? V = - FΔ = - F ? + ? 2l ? 2l ? ?结构的势能为1 2 E P = Vε + V = [( kl - F ) y12 + 2 Fy1 y 2 + ( kl - 2 F ) y 2 ] 2l y1、y2不能全为零 1 ? = [( kl - F ) y1 + Fy2 ] = 0 ? l ? ( kl - F ) F ? 1 =0 = [ Fy1 + (kl - 2 F ) y2 ] = 0? F ( kl - 2 F ) ? l 221 ??EP 结构处于平衡时 ?y1 ?EP ?y2展开整理得 F 2 - 3klF + k 2l 2 = 02.618kl 解得 F = 3 ? 5 kl = ? ? 2 ?0.382 kl最小值为临界荷载Fcr = 0.382kl第十四章结构动力学223224225例1. 计算图示结构的频率和周期。 例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。m l /2 1EI l /2dHmA,E,I1dV1E,IE,Adl3 48EI m l3 d= T = 2? w= 3 48EI ml 48EI1 wH = md H? =16 EI h2lwV =1 md V例3.计算图示刚架的频率和周期。 6 EI m EI =由截面平衡 kk= 24EI h3?1h2II h6 EI h212 EI h312 EI h3k 24EI w= = m m h32266 EI h2m h3 T = 2? 226 2 EI简谐自由振动的特性 由式y(t ) = Asin(w t + a )惯性力为： I (t ) = -m??(t ) = mAw 2 sin(wt + a ) y可得，加速度为：?(t ) = - Aw 2 sin(wt + a ) ? y在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规 律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极 值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。 它们的幅值产生于 sin(wt + a ) = 1 时，其值分别为：y? = A??? = - Aw 2 yI ? = mAw 2既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现 时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不 含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。 227 227例. 计算图示体系的自振频率。m1 = m解：单自由度体系，以a表示位移参数的幅值, B EI=? C kl1 m2 = m 3各质点上所受的力为：l I = m1w A1 = mw ? a 2 1 ? 2 2 3 I 2 = m2w A2 = mw ? la 3 2 1 = mw 2 ? la 2? 1 2 2A l /2D l /2A1. .m1BakCm2.A .2I1?建立力矩平衡方程 ? M B = 0I1? ? l 3 ? + I 2 ? l - kal ? l = 0 2 2kal I 2?1 l 1 3 2 2 mw al ? + mw al ? l - kal ? l = 0 2 2 2 2 k 2 ?w = 化简后得 mw = k 228 m一些重要性质：（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越 大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度 越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。229例、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 m m ml/2解：1）求δl/23l/ 16l/2l/2P=1l/2l/2l3 d1 = 48EI5l/ l/ 2l3 d3 = 192EI32P=1w1 =1 md 1 1=48EI ml3w3 =1 md 3=192EI ml3w2 =md 2=768EI 7ml31 l2 l 3l l 5l 7l 3 d2 = (2 ? ? - ? ) = EI 6 2 16 2 32 768EI据此可得：ω1? ??ω2 ? ??ω3= 1 ?2 ? 215.1 ??230 结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大。例. 试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。 m 1 m解：（1）计算频率2a1a a1aa3 a3 a3 d11 = , d12 = d 21 = - , d 22 = EI 4EI 6EI EI EI w1 = 0.967 w2 = 3.203 3 ma ma3（2）振型M1M2Y11 d 12m2 =1 Y21 d 11m1 - 2 w1Y11 1 =Y21 0.277Y12 d 12m2 =1 Y22 d 11m1 - 2 w2Y12 1 = Y22 3.61 3.610.5a0.2771 第一振型2311第二振型两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动m1 y1 + k11 y1 + k12 y2 = P1 (t ) 0 .. m2 y2 + k21 y1 + k22 y2 = P2 (t ) 0..如 P (t ) = P sin?t 1 1 P2 (t ) = P2 sin?t y2 (t ) =Y2 sin?tP1(t)y2(t)y1 (t 在平稳阶段，各质点也作简谐振动： ) =Y1 sin?t(k11 -? 2 m1 )Y1 + k12Y2 = P 1 k 21Y1 + (k 22 -? 2 m2 )Y2 = P2k11 -? m1 k12 D0 = k 21 k 22 -? 2 m22P2(t) y1(t)Y1=D1/D0 Y2=D2/D0D1 = P k 22 -? 2 m2 - k12 P2 1 D2 = P2 k11 -? 2??? m ?- k121 P 1k11 -w m1 k12 D= =0 2 k 21 k 22 -w m22如果荷载频率θ与任一个自振频率 ω1、 ω2重合，则D0=0, 当D1、D2 不全为零时，则出现共振现象232如图示对称结构在对称荷载作用下。k11 = k22 , k12 = k21与ω2相应的振型是Psinθt m l/3 l/3Psinθt m l/3Y12 k12 2 2 ==－1 ? k 22 -w 2 m = k11 -w 2 m = k12 = k 21 2 Y22 k11-w2 m当θ=ω2 ，D0=0 ，也有：2 D1 = P k 22 -? 2 m2 - k12 P2 = P k22 -w2 m -k12 P = 0 12 2? D = P ?k-? 2 11? m ?- k121 P 1? = P ?k11? -w m?-k2 221P = 0D1 D2 Y1 = , Y2 = D0 D0不会趋于无穷大，不发生共振， 共振区只有一个。 233233对称体系在反对称荷载作用下时，只有当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时才发生共振。对称主振型的自振频率相等时不会发生共振。同理可知：对称体系在反对称荷载作用下时，只有当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时才发生共振。234