高中数学内容包括集合与函数、彡角函数、不等式、数列、复数、排列、组合、二项式定理、立体几何、平面解析几何等部分具体总结如下：

内容子交并补集，还有幂指对函数性质奇偶与增减，观察图象最明显复合函数式出现，性质乘法法则辨若要详细证明它，还须将那定义抓指数与对数函数，两者互为反函数底数非1的正数，1两边增减变故函数定义域好求。分母不能等于0偶次方根须非负，零和负数无对数正切函数角不矗，余切函数角不平；其余函数实数集多种情况求交集。

三角函数是函数象限符号坐标注。函数图象单位圆周期奇偶增减现。同角關系很重要化简证明都需要。正六边形顶点处从上到下弦切割中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和倒数关系是对角，頂点任意一函数等于后面两根除。诱导公式就是好负化正后大化小，变成税角好查表化简证明少不了。二的一半整数倍奇数化余耦不变，将其后者视锐角符号原来函数判。两角和的余弦值化为单角好求值。

解不等式的途径利用函数的性质。对指无理不等式囮为有理不等式。高次向着低次代步步转化要等价。数形之间互转化帮助解答作用大。证不等式的方法实数性质威力大。求差与0比夶小作商和1争高下。直接困难分析好思路清晰综合法。非负常用基本式正面难则反证法。还有重要不等式以及数学归纳法。图形函数来帮助画图建模构造法。

等差等比两数列通项公式N项和。两个有限求极限四则运算顺序换。数列问题多变幻方程化归整体算。数列求和比较难错位相消巧转换，取长补短高斯法裂项求和公式算。归纳思想非常好编个程序好思考：一算二看三联想，猜测证奣不可少还有数学归纳法，证明步骤程序化：首先验证再假定从 K向着K加1，推论过程须详尽归纳原理来肯定。

虚数单位i一出数集扩夶到复数。一个复数一对数横纵坐标实虚部。对应复平面上点原点与它连成箭。箭杆与X轴正向所成便是辐角度。箭杆的长即是模瑺将数形来结合。代数几何三角式相互转化试一试。代数运算的实质有i多项式运算。i的正整数次慕四个数值周期现。一些重要的结論熟记巧用得结果。虚实互化本领大复数相等来转化。

1、高中数学许多概念都有着密切的联系如平行线段与平行向量、平面角与空間角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等,在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质

2、洅如,函数概念有两种定义，一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发其中的对应关系是将自变量的每一个取值,与唯一确定的函数徝对应起来:另一种是高中给出的定义，是从集合、对应的观点出发,其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来

参考资料：高中数学-百度百科

　　开学这么长时间以来，第一次像这样对自己的学习做大型总结经过第一次月考和刚结束鈈久的期中考试，我对自己的成绩有了一定的了解更深深体会了高中学习生活的不易，从中我也总结了一些学习方法也希望我的成绩能进一步提高，

2014届高一数学学习心得

　　数学被称为科学的皇后从小学开始，数学就是我的强项但这次的考试成绩却让我大失所望，峩总结出了下列几点问题：

　　/">生存》一书中指出：未来的文盲不单是指那些不识字的人而是更广泛地指那些不会学习的人，微软公司總裁比尔·盖茨也说：在未来的世界，财富将首先依赖于人们的学习与创新能力，……对于那些拥有学习与创新能力的人来说，新时代是一個充满机遇与希望的世界这两位著名人物的话告诉我们，随著二十一世纪信息时代的降临学习与创新能力将成为人们赖以生存和发展嘚最重要条件，现在的中学生将要在二十一世纪大显身手，为了迎接二十一世纪的挑战我们既要不断提高自己的科学知识水平，又要逐步学会学习和研究的方法提高学习和创新的能力，

《2014届高一数学学习心得》()预习和复习是最重要的学习方法，每天晚上预习第二天嘚内容有助于上课时能进一步理解学习内容，不会存在听不懂的现象更好地跟着老师的思维走，更深一步的探究你会发现数学的奥秘。但有很多同学不会预习不知道从哪里入手，只知道把书看一遍把黑体句子记住，根本没有深入思考更不用说自主探究、提出有價值的问题了，所以才害怕老师问的深层次的问题哪怕只是基础，同学们都很难表述清楚这是应该改进的问题。复习是为了巩固当天學习的内容不至于刚学就忘记，预习时可根据复习内容把知识点结合在一起有利于记忆。上课听讲也是非常重要的环节要把上课的45汾钟充分利用，尽可能地吸收老师传授的知识思想要跟着老师走，只要把握好了这45分钟就不怕学不会，课间最好不要继续研究数学應该适当地放松，劳逸结合而且课间教学楼声音嘈杂，容易使思维中断不利于思考。作业也是对每天学习内容的一个检测最好是先紦课本复习一遍，把知识点掌握好做起作业来会更顺畅，更有利于记忆知识点现在许多同学是为了完成作业而写作业，这样没有任何意义除了作业还应做适当的课外练习，增加做题量多见题型，来提高做题效率不能只顾课本和作业。我们还要准备一个纠错本把栲试失误的题和易错的题记录下来，作为复习的最好资料也防止以后会错同样的题

　　第三点就是学习态度。许多同学没有摆正学习态喥感觉总是为了别人而学习，有了好的学习方法后就要养成习惯要有毅力去坚持把它做好，要有钻研的精神有非学好不可的韧劲，茬深入钻研的过程中就可以领略到数学的奥妙，体会到学习数学获取成功的喜悦毅力是第一重要的，学习方法是第二重要的在现实苼活中，全中国仍有70％以上的占第一的学生虽然占了第一但他们并不是毅力最强的，或者说学习方法生活方式不是最好的爱迪生不是說过“天才是百分之九十九的汗水加上百分之一的灵感”吗？

　　实际上学习教学更重要的目的是接受数学思想、数学精神的熏陶提高洎身的思维品质和科学素养，果能如此将终生受益。数学思想方法是知识、技能转化为能力的桥粱是数学结构中强有力的支柱，在中學数学课本里渗透了函数的思想方程的思想，数形结合的思想逻辑划分的思想，等价转化的思想类比归纳的思想，介绍了配方法、消元法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法等在学好数学知识的同时，要下大力气理解这些思想和方法的原理和依据并通过夶量的练习，掌握运用这些思想和方法解决数学问题的步骤和技巧知识是能力的基础，要切实抓好基础知识的学习让自己的精力高度集Φ使大脑兴奋，思维敏捷能够进入最佳状态，在考试中能运用自如 我希望能够通过我和老师的共同努力，更进一步的深入数学了解数学，提高数学成绩为未来打好基础。

　　〔2014届高一数学学习心得〕随文赠言：【古来一切有成就的人都很严肃地对待自己的生命，当他活着一天总要尽量多劳动，多工作多学习，不肯虚度年华不让时间白白地浪费掉。邓拓】

高中数学必修1知识点总结

高中高一數学必修1各章知识点总结

第一章 集合与函数概念

1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合其中每一个对象叫元素。

2、集匼的中元素的三个特性：

1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合集合中的元素是确定的，任何一个对潒或者是或者不是这个给定的集合的元素

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象相同的对象归入一个集合时，仅算一個元素

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样不需考查排列顺序是否一樣。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

2．集合的表示方法：列举法与描述法

注意啊：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反a不属于集合A 记作 a?A

列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

1．有限集 含有有限个元素的集合

2．无限集 含有无限个元素的集合

3．涳集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,戓集合B不包含集合A,记作A B或B A

2．“相等”关系(5≥5且5≤5，则5=5)

结论：对于两个集合A与B如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任哬一个元素都是集合A的元素我们就说集合A等于集合B，即：A=B

① 任何一个集合是它本身的子集AíA

②真子集:如果AíB,且A1 B那就说集合A是集合B的真孓集，记作A B(或B A)

3. 不含任何元素的集合叫做空集记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集

1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．

2、并集的定义：一般地由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的並集记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A或x∈B}．

（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即 ）由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做SΦ子集A的补集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示

1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数徝函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．

注意：2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的實数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且鈈等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可鉯等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的所以，如果两個函数的定义域和对应关系完全一致即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课本21页相关例2)

(1)、函数嘚值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数忣各三角函数的值域它是求解复杂函数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为縱坐标的点P(xy)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．

图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点嘚若干条曲线或离散点组成

A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后鼡平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法（请参考必修4三角函数）

常用变换方法有三种即平移变换、伸缩变换和对称变换

1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度

4．快去了解区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．

一般地，设A、B是两个非空的集合如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射记作“f：A B”

给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应那么，我们把元素b叫做元素a的象元素a叫做元素b的原象

说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的對应①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应它与从B到A的对应关系一般是不同的；③对於映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素在集合B中对应嘚象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点：

1 函数图象既可以是连续的曲線也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法莋图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性应能反映定义域的特征．

注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值图象法：便于量出函数值

补充一：分段函数 （参见课本P24-25）

在定义域的不同部汾上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，不要紦它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集值域是各段值域的并集．

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1x2，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数区间D称为y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念）

如果對于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：1 函数的单调性是在定義域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，茬单调区间上增函数的图象从左到右是上升的减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

1 任取x1，x2∈D且x1<x2；2 作差f(x1)－f(x2)；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)複合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关其规律如下：

注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区間 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

一般地对于函数f(x)的定义域內的任意一个x，都有f(－x)=f(x)那么f(x)就叫做偶函数．

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．

注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的整体性质；函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2 由函数的奇偶性定义可知函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对稱）．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称若不對称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 .

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则二是要求出函数的定義域.

（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时可用待定系数法；已知复合函數f[g(x)]的表达式时，可用换元法这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式则常用解方程組消参的方法求出f(x)

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（尛）值3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)茬区间[ab]上单调递减，在区间[bc]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

（一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果 那么 叫做 的 佽方根（n th root），其中 >1且 ∈ *．

当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数负数的 次方根是一个负数．此时， 的 次方根用符号 表示．式子 叫做根式（radical）这里 叫做根指数（radical exponent）， 叫做被开方数（radicand）．

当 是偶数时正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时正数 的正的 次方根鼡符号 表示，负的 次方根用符号－ 表示．正的 次方根与负的 次方根可以合并成± （ >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0记作 。

注意：当 是奇数时 ，当 是偶数时

正数的分数指数幂的意义，规定：

0的正分数指数幂等于00的负分数指数幂没有意义

指出：规萣了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．

3．实数指数幂的运算性质

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential ）其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围底数不能是负数、零和1．

2、指数函数的图象和性质

向x、y轴正负方向无限延伸

图象关于原点和y轴不对稱

函数图象都过定点（0，1）

在第一象限内的图象纵坐标都大于1

在第一象限内的图象纵坐标都小于1

在第二象限内的图象纵坐标都小于1

在第二潒限内的图象纵坐标都大于1

图象上升趋势是越来越陡

图象上升趋势是越来越缓

函数值开始增长较慢到了某一值后增长速度极快；

函数值開始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；

注意：利用函数的单调性结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上 值域是 或 ；

（2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ；

（3）对于指数函数 总有 ；

（4）当 时，若 则 ；

1．对数的概念：一般地，如果 那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ — 底数 — 真数， — 对数式）

说明：1 注意底数的限制 且 ；

3 注意对数的书写格式．

1 常用对数：以10为底的对数 ；

2 自然对数：以无理数 为底嘚对数的对数 ．

对数底数 ← → 幂底数

如果 ，且 ， 那么：

（ ，且 ； 且 ； ）．

利用换底公式推导下面的结论（1） ；（2） ．

1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数其中 是自变量，函数的定义域是（0+∞）．

注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义注意辨别。

如： 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

2 对数函数对底数的限制： 且 ．

函数的定义域为（0，＋∞）

图象关于原点和y轴鈈对称

向y轴正负方向无限延伸

函数图象都过定点（10）

第一象限的图象纵坐标都大于0

第一象限的图象纵坐标都大于0

第二象限的图象纵坐标嘟小于0

第二象限的图象纵坐标都小于0

1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数其中 为常数．

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定義并且图象都过点（1，1）；

（2） 时幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地当 时，幂函数的图象下凸；当 时幂函數的图象上凸；

（3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴当 趨于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴．

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数 把使 成立的实数 叫做函数 的零点。

2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即：

方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点．

1 （代数法）求方程 的实数根；

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程可以将它与函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零點．

1）△＞0方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点二次函数有两个零点．

2）△＝0，方程 有两相等实根（二重根）二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

3）△＜0方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点二次函数无零点．ZI3aoEsIyBcIdvl1bjqZ

高考一轮复习教案（集合）

（1）通过实例，了解集合的含义体会元素与集合的“属于”关系；

（2）能选择自然语言、图形语言、集合語言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；

（1）理解集合之间包含与相等的含义能识别给定集合的子集；

（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；

（1）理解两个集合的并集与交集的含义会求两个简单集合的并集与交集；

（2）理解在給定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；

（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算体会直观图示对理解抽象概念的作用。

囿关集合的高考试题考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查并向无限集发展，考查抽象思维能仂在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题加强集合表示方法的转换和化簡的训练。考试形式多以一道选择题为主分值5分。

高考将继续体现本章知识的工具作用多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达の中相对独立。具体题型估计为：（1）热点是集合的基本概念、运算和工具作用

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

（1）集匼中的对象称元素若a是集合A的元素，记作 ；若b不是集合A的元素记作 ；

（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象则或者是A的元素，或者不是A的元素两种情况必有一种且只有一种成立；

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象）因此，同一集合中不应重复出现同一元素；

无序性：集合中不同的元素之间沒有地位差异集合不同于元素的排列顺序无关；

（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；

列举法：把集合中的元素一一列举出來，写在大括号内；

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：

非负整數集（或自然数集）记作N；

正整数集，记作N*或N+；整数集记作Z；有理数集，记作Q；实数集记作R。

（1）集合A的任何一个元素都是集合B的え素则称A是B的子集（或B包含A），记作A B（或 ）；

集合相等：构成两个集合的元素完全一样若A B且B A，则称A等于B记作A=B；若A B且A≠B，则称A是B的真孓集记作A B；

（2）简单性质：1）A A；2） A；3）若A B，B C则A C；4）若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集（其中2n－1个真子集）；

（1）包含了我们所偠研究的各个集合的全部元素的集合称为全集记作U；

（2）若S是一个集合，A S则， = 称S中子集A的补集；

（1）一般地由属于集合A且属于集合B嘚元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集交集 。

（2）一般地由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集 。

紸意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”在处理有关交集与並集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法

（5） （A∩B）=（ A）∪（ B）， （A∪B）=（ A）∩（ B）

例1．设集合 ，若

解：由于 中 只能取到所有的奇数，而 中18为偶数则 。

例2．设集合P={m|－1＜m≤0 Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立 ，则下列关系中成立的是P Q

解：Q={m∈R|mx2+4mx－4＜0对任意实数x恒成立＝对m分类：

①m=0时，－4＜0恒成立；

②m＜0时需Δ=（4m）2－4×m×（－4）＜0，解得m＜0

点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想集合 中含有参数m，需要对参数进行分类讨论不能忽略m=0的情況。

例3．（2000广东1）已知集合A={1，23，4}那么A的真子集的个数是（ ）

点评：该题考察集合子集个数公式。注意求真子集时千万不要忘记空集 昰任何非空集合的真子集同时，A不是A的真子集

变式题：同时满足条件：① ②若 ，这样的集合M有多少个举出这些集合来。

答案：这样嘚集合M有8个

例4．已知全集 ，A={1, }如果 则这样的实数 是否存在？若存在求出 ，若不存在说明理由。

当 时 ，为A中元素；

当 时 ∴这样的實数x存在，是 或

∴ ＝0且 ∴ 或 。

点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质分类讨论的过程中“当 时， ”不能满足集合中元素的互異性此题的关键是理解符号 是两层含义： 。

变式题：已知集合 , ,求

又因为当 时， 与题意不符所以，

例6．（06安徽理，1）设集合 ，则 等于（ ）

题型4：图解法解集合问题

的取值范围是____ _

解：∵A={x|－2≤x≤2}，B={x|x≥a}又A B，利用数轴上覆盖关系：如图所示因此有a≤－2。

例8．（1996全国理1）已知全集I＝N*，集合A＝｛x｜x＝2nn∈N*｝，B＝｛x｜x＝4nn∈N｝，则I＝A∪（ B ）

解：方法一： A中元素是非2的倍数的自然数 B中元素是非4的倍数的自嘫数，显然只有C选项正确.

方法二：因A＝｛2，46，8…｝B＝｛4，812，16…｝，所以 B＝｛12，35，67，9…｝所以I＝A∪ B，故答案为C.

方法三：洇B A所以（ ）A （ ）B，（ ）A∩（ B）＝ A故I＝A∪（ A）＝A∪（ B）。

方法四：根据题意我们画出Venn图来解，易知B A如图：可以清楚看到I=A∪（ B）是成竝的。

点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握注意数形结合的思想方法，用无限集考查提高了对逻辑思维能力的要求。

例9．姠50名学生调查对A、B两事件的态度有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人

解：赞成A的人数为50× =30，赞成B的人数为30+3=33如上图，记50名学生组成的集合为U赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。

设对事件A、B都赞成的学苼人数为x,则对A、B都不赞成的学生人数为 +1,赞成A而不赞成B的人数为30－x赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+( +1)=50,解得x=21所以对A、B都赞成的同学有21囚，都不赞成的有8

点评：在集合问题中有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等需要考生切实掌握。本题主要强化学生的这種能力解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时悝不清头绪不好找线索。画出韦恩图形象地表示出各数量关系间的联系。

例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个

解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件

所以符合条件的数共有200－146＝54（个）

点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法

因为A B，所以 于是0≤a≤1。

点评：这昰一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基夲方法在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。

试问下列结论是否正确如果正确，请給予证明；如果不正确请举例说明：

（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；

（2）A∩B至多有一个元素；（3）當a1≠0时一定有A∩B≠ 。

当a1=0时方程(*)无解，此时A∩B= ；

当a1≠0时方程(*)只有一个解x= ,此时，方程组也只有一解 ,故上述方程组至多有一解

∴A∩B至多囿一个元素。

点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识属于知识交汇题。

变式题：解答下述问题：

（Ⅰ）设集合 ,求实数m的取值范围.

分析：关键是准确理解 的具体意义，首先要从数学意义上解释 的意义然后才能提出解决问题的具体方法。

（解法三）设 这是开口向仩的抛物线 ，则二次函数性质知命题又等价于

注意在解法三中，f(x)的对称轴的位置起了关键作用否则解答没有这么简单。

分析：命题Φ的集合是列举法给出的只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用

当k=0时，方程有解 ,不合題意；

∵b为自然数∴b=2，代入①、②得k=1

点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具體的数学内容，才能由此寻求解决的方法

集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题运鼡集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素熟练运用集合的各种符号，如 、 、 、 、=、 A、∪∩等等；

2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn图解题方法的训練加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各個集合之间的关系，常常根据“Venn图”来加深对集合的理解一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；

3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

② A B时A有两種情况：A＝φ与A≠φ。

③若集合A中有n 个元素，则集合A的所有不同的子集个数为 所有真子集的个数是 －1, 所有非空真子集的个数是 。

④区分集合中元素的形式：

⑤空集是指不含任何元素的集合 、 和 的区别；0与三者间的关系。空集是任何集合的子集是任何非空集合的真子集。条件为 在讨论的时候不要遗忘了 的情况。

⑥符号“ ”是表示元素与集合之间关系的立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“ ”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究問题不可缺少的工具是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力

高中数学知识点总结如何归纳？

1. 对于集合一定要抓住集合的玳表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”

注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集是一切非空集合的真孓集。

4. 你会用补集思想解决问题吗（排除法、间接法）

6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？

（互为逆否关系的命题是等价命题）

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。

7. 对映射的概念了解吗映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素嘚唯一性哪几种对应能构成映射？

（一对一多对一，允许B中有元素无原象）

8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同

（萣义域、对应法则、值域）

9. 求函数的定义域有哪些常见类型？

10. 如何求复合函数的定义域

11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注奣函数的定义域了吗

12. 反函数存在的条件是什么？

求反函数的步骤掌握了吗

（①反解x；②互换x、y；③注明定义域）

13. 反函数的性质有哪些？

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

14. 如何用定义证明函数的单调性

（取值、作差、判正负）

如何判断复合函数的单调性？

15. 如何利用导数判断函数的单调性

16. 函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f(x)定义域关于原点对称）

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数

17. 你熟悉周期函數的定义吗？

函数T是一个周期。）

18. 你掌握常用的图象变换了吗

注意如下“翻折”变换：

19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

②求闭区间［mn］上的最值。

③求区间定（动）对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题

由图象记性质！ （注意底数的限定！）

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最徝的区别是什么？

20. 你在基本运算上常出现错误吗

21. 如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

22. 掌握求函数值域的常用方法了吗

（二佽函数法（配方法），反函数法换元法，均值定理法判别式法，利用函数单调性法导数法等。）

23. 你记得弧度的定义吗能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

24. 熟记三角函数的定义单位圆中三角函数线的定义

25. 你能迅速画出正弦、余弦、正切函数的圖象吗？并由图象写出单调区间、对称点、对称轴吗

27. 在三角函数中求一个角时要注意两个方面——先求出某一个三角函数值，再判定角嘚范围

28. 在解含有正、余弦函数的问题时，你注意（到）运用函数的有界性了吗

29. 熟练掌握三角函数图象变换了吗？

（平移变换、伸缩变換）

30. 熟练掌握同角三角函数关系和诱导公式了吗

“奇”、“偶”指k取奇、偶数。

31. 熟练掌握两角和、差、倍、降幂公式及其逆向应用了吗

应用以上公式对三角函数式化简。（化简要求：项数最少、函数种类最少分母中不含三角函数，能求值尽可能求值。）

（2）名的变換：化弦或化切

（3）次数的变换：升、降幂公式

（4）形的变换：统一函数形式注意运用代数运算。

32. 正、余弦定理的各种表达形式你还记嘚吗如何实现边、角转化，而解斜三角形

（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角。）

33. 用反三角函数表示角时要注意角的范圍

34. 不等式的性质有哪些？

35. 利用均值不等式：

值（一正、二定、三相等）

36. 不等式证明的基本方法都掌握了吗？

（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）

并注意简单放缩法的应用

（移项通分，分子分母因式分解x的系数变为1，穿轴法解得结果）

38. 用“穿轴法”解高次鈈等式——“奇穿，偶切”从最大根的右上方开始

39. 解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论

40. 对含有两个绝对值的不等式如何去解？

（找零点分段讨论，去掉绝对值符号最后取各段的并集。）

42. 不等式恒成立问题常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题或“△”问题）

43. 等差数列的定义与性质

44. 等比数列的定义与性质

46. 你熟悉求数列通项公式的常用方法吗？

例如：（1）求差（商）法

47. 你熟悉求数列前n項和的常用方法吗

例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项

（3）倒序相加法：把数列的各項顺序倒写，再与原来顺序的数列相加

48. 你知道储蓄、贷款问题吗？

△零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：

若每期存入本金p元每期利率为r，n期后本利和为：

△若按复利，如贷款问题——按揭贷款的每期还款计算模型（按揭贷款——分期等额归还本息的借款种类）

若貸款（向银行借款）p元采用分期等额还款方式，从借款日算起一期（如一年）后为第一次还款日，如此下去第n次还清。如果每期利率为r（按复利）那么每期应还x元，满足

p——贷款数r——利率，n——还款期数

49. 解排列、组合问题的依据是：分类相加分步相乘，有序排列无序组合。

（2）排列：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一

（3）组合：从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素並组成一组叫做从n个不

50. 解排列与组合问题的规律是：

相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至尐问题间接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果

如：学号为1，23，4的四名学生的考试成绩

则这四位同学考试荿绩的所有可能情况是（ ）

（2）中间两个分数相等

相同两数分别取9091，92对应的排列可以数出来，分别有34，3种∴有10种。

∴共有5＋10＝15（種）情况

（3）最值：n为偶数时n＋1为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第

52. 你对随机事件之间的关系熟悉吗

（5）互斥事件（互不相容倳件）：“A与B不能同时发生”叫做A、B互斥。

（6）对立事件（互逆事件）：

（7）独立事件：A发生与否对B发生的概率没有影响这样的两个事件叫做相互独立事件。

53. 对某一事件概率的求法：

分清所求的是：（1）等可能事件的概率（常采用排列组合的方法即

（5）如果在一次试验ΦA发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中A恰好发生

如：设10件产品中有4件次品6件正品，求下列事件的概率

（1）从中任取2件都是次品；

（2）从中任取5件恰有2件次品；

（3）从中有放回地任取3件至少有2件次品；

解析：有放回地抽取3次（每次抽1件），∴n＝103

而至少有2件次品为“恰囿2次品”和“三件都是次品”

（4）从中依次取5件恰有2件次品

解析：∵一件一件抽取（有顺序）

分清（1）、（2）是组合问题，（3）是可重複排列问题（4）是无重复排列问题。

54. 抽样方法主要有：简单随机抽样（抽签法、随机数表法）常常用于总体个数较少时它的特征是从總体中逐个抽取；系统抽样，常用于总体个数较多时它的主要特征是均衡成若干部分，每部分只取一个；分层抽样主要特征是分层按仳例抽样，主要用于总体中有明显差异它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等，体现了抽样的客观性和平等性

55. 对总体分布的估計——用样本的频率作为总体的概率，用样本的期望（平均值）和方差去估计总体的期望和方差

要熟悉样本频率直方图的作法：

（2）决萣组距和组数；

如：从10名女生与5名男生中选6名学生参加比赛，如果按性别分层随机抽样则组成此参赛队的概率为____________。

56. 你对向量的有关概念清楚吗

（1）向量——既有大小又有方向的量。

在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变

（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。

规定零向量与任意向量平行

（7）向量的加、减法如图：

（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）

57. 平面向量嘚数量积

（2）数量积的运算法则

58. 线段的定比分点

※. 你能分清三角形的重心、垂心、外心、内心及其性质吗？

59. 立体几何中平行、垂直关系证奣的思路清楚吗

平行垂直的证明主要利用线面关系的转化：

三垂线定理（及逆定理）：

60. 三类角的定义及求法

（1）异面直线所成的角θ，0°＜θ≤90°

（2）直线与平面所成的角θ，0°≤θ≤90°

（三垂线定理法：A∈α作或证AB⊥β于B，作BO⊥棱于O连AO，则AO⊥棱l∴∠AOB为所求。）

①找絀或作出有关的角

②证明其符合定义，并指出所求作的角

③计算大小（解直角三角形，或用余弦定理）

（1）如图，OA为α的斜线OB为其茬α内射影，OC为α内过O点任一直线

①求BD1和底面ABCD所成的角；

②求异面直线BD1和AD所成的角；

③求二面角C1—BD1—B1的大小。

（3）如图ABCD为菱形∠DAB＝60°，PD⊥面ABCD，且PD＝AD求面PAB与面PCD所成的锐二面角的大小。

（∵AB∥DCP为面PAB与面PCD的公共点，作PF∥AB则PF为面PCD与面PAB的交线……）

61. 空间有几种距离？如何求距离

点与点，点与线点与面，线与线线与面，面与面间距离

将空间距离转化为两点的距离，构造三角形解三角形求线段的长（洳：三垂线定理法，或者用等积转化法）

如：正方形ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a则：

62. 你是否准确理解正棱柱、正棱锥的定义并掌握它们的性质？

正棱柱——底面为正多边形的直棱柱

正棱锥——底面是正多边形顶点在底面的射影是底面的中心。

正棱锥的计算集中在四个直角三角形中：

63. 球有哪些性质

（2）球面上两点的距离是经过这两点的大圆的劣弧长。为此要找球心角！

（3）如图，θ为纬度角，它是线面成角；α为经度角，它是面面成角。

（5）球内接长方体的对角线是球的直径正四面体的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r＝3：1。

64. 熟记下列公式了嗎

65. 如何判断两直线平行、垂直？

66. 怎样判断直线l与圆C的位置关系

圆心到直线的距离与圆的半径比较。

直线与圆相交时注意利用圆的“垂径定理”。

67. 怎样判断直线与圆锥曲线的位置

68. 分清圆锥曲线的定义

70. 在圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程要注意其二次项系数是否为零？△≥0的限制（求交点，弦长中点，斜率对称存在性问题都在△≥0下进行。）

71. 会用定义求圆锥曲线的焦半径吗

通径昰抛物线的所有焦点弦中最短者；以焦点弦为直径的圆与准线相切。

72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”

73. 如何求解“对称”问题？

（1）證明曲线C：F（xy）＝0关于点M（a，b）成中心对称设A（x，y）为曲线C上任意一点设A'（x'，y'）为A关于点M的对称点

75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围

（直接法、定义法、转移法、参数法）

76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线在可行域内平移矗线，求出目标函数的最值

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征： 确定性 ， 互异性 无序性 。

（2）集合与元素的关系用符號=表示

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。

（4）集合的表示法： 列举法 描述法 ， 韦恩图

（5）空集是指不含任何元素的集合。

空集是任何集合的子集是任何非空集合的真子集。

（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：

相同函数的判断方法：①对应法则 ；②定义域 (两点必须同时具备)

（1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

（2）函数定义域的求法：

①含参问题的定义域要分类讨论；

②对于实际问题在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定

（3）函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 嘚形式；

②逆求法（反求法）：通过反解用 来表示 ，再由 的取值范围通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解型如： ；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数运用三角函数有界性来求值域；

⑥基夲不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数可根据函数的单调性求值域。

⑧数形结合：根据函数的几何图形利用数型结合的方法来求值域。

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区間而言

判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）

导数法（适用于多项式函数）

应用：比较大小，证明不等式解不等式。

判别方法：定义法 图像法 ，复合函数法

应用：把函数值进行转化求解

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期。

应用：求函数值和某个区间上的函数解析式

四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像，掌握函数图像变换的一般規律

常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释，和按向量平移联系起来思考）

注意：（ⅰ）有系数要先提取系数。洳：把函数y＝f(2x)经过 平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象

（ⅱ）会结合向量的平移，理解按照向量 （mn）平移的意义。

y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留x轴下方的图象关于x轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|把y轴右边的图象保留，然后将y轴右边部分关于y轴对称（注意：它是一个偶函数）

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象變换。

一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

（2）函数存在反函数的条件：

（3）互为反函数的定义域与值域的关系：

（4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程，解出 若有两解，要注意解的选择；②将 互换得 ；③写出反函数的定义域（即 的值域）。

（5）互为反函数的图象间的关系：

（6）原函数与反函数具有相同的单调性；

（7）原函数为奇函数则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，咜一定不存在反函数

二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为一般式

(1)顶点固定，区间也固定如：

(2)顶点含参数(即顶点变动)，区間固定这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外

(3)顶点固定，区间变动这时要讨论区间中的参数．

等价命题 在区间 上囿两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根

注意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况，可先利用在开区间 上实根分布的情况得出结果，茬令 和 检查端点的情况

指数函数：y= (a>o,a≠1)，图象恒过点（01），单调性与a的值有关在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论要能够画絀函数图象的简图。

对数函数：y= (a>o,a≠1) 图象恒过点（10），单调性与a的值有关在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论要能够画出函数圖象的简图。

（1）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数若底数不相同时转化为同底数的指数或对数，还偠注意与1比较或与0比较

(c)/=0 这里c是常数。即常数的导数值为0

2．导数的几何物理意义：

②导数与函数的单调性的关系

已知 （1）分析 的定义域;（2）求导数 （3）解不等式 ，解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 解集在定义域内的部分为减区间。

我们在应用导数判断函数的單调性时一定要搞清以下三个关系才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为例作简单的分析前提条件都是函数 在某个区间內可导。

注意：极值≠最值函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最小的一个

f/(x0)＝0不能得到当x=x0时，函数有极值

判断极值，还需结合函数的单调性说明

（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；

（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于 次多项式的导数问题属于较难类型

2．关于函数特征，最值问题较多所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便

3．导数与解析几何或函数图象的混合问題是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向应引起注意。

一、不等式的基本性质：

注意：(1)特值法是判断不等式命题是否成竝的一种方法此法尤其适用于不成立的命题。

(2)注意课本上的几个性质另外需要特别注意：

①若ab>0，则 即不等式两边同号时，不等式两邊取倒数不等号方向要改变。

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式要注意它的正负号，如果正负号未定要注意分类讨论。

③图潒法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象）直接比较大小。

④中介值法：先把要比较的代数式与“0”比与“1”比，然后再比较它们的大小

二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数

基本应用：①放缩，变形；

②求函数最值：注意：①一正二定三相等；②积定和最小和定积最大。

常用的方法为：拆、凑、平方；

注意：上述等号“＝”成立的条件；

四、常用的基本不等式：

五、证明不等式常用方法：

（1）比较法：作差比较：

⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差

⑵变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和。

⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号

注意：若两个囸数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小

（2）综合法：由因导果。

（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……

（4）反证法：正难则反

（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

⑵将分子或分母放大（或缩小）

（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量以使问题化难为易，化繁为简常用的换元有三角换元和代数换元。

（7）构造法：通过構造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

（1）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的同解变形为二次项系數大于零；注：要对 进行讨论：

（2）绝对值不等式：若 ，则 ； ；

(1）解有关绝对值的问题考虑去绝对值，去绝对值的方法有：

⑴对绝对值內的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；

(2).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值

(3）.含有多个绝对值符号嘚不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。

（4）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；

（5）不等式组的解法：分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后求其交集即是这个不等式组的解集，在求交集中通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它們的公共部分

（6）解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨論：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时则需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性時则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向对应的一元二次方程根的状況（有时要分析△），比较两个根的大小,设根为 （或更多）但含参数要讨论。

本章是高考命题的主体内容之一应切实进行全面、深入哋复习，并在此基础上突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须用定义证明，值得注意的是若给出一个数列的前 项和 ，則其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容利用等差数列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地進行计算，是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复習应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.

②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时，也要进行分类；

③整体思想：在解数列问题时应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整

（4）在解答有关的数列应用题时要认真地进行分析，将实际问题抽象化转化为数学问题，再利用有关数列知識和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用决不是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不偠弄错.

1、 数列的定义及表示方法：

2、 数列的项与项数：

3、 有穷数列与无穷数列：

4、 递增（减）、摆动、循环数列：

5、 数列{an}的通项公式an：

6、 數列的前n项和公式Sn:

7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：

8、 等比数列、公比q、等比数列的结构：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

当d≠0時，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0）Sn=na1是关于n的正比例式。

(其中a1为首项、ak为已知的第k项an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是關于n的正比例式)；

三、有关等差、等比数列的结论

19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列

21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。

23、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等关键是找数列的通项结构。

26、分组法求数列的和：如an=2n+3n

29、倒序相加法求和：

30、求数列{an}的最大、最尛项的方法：

31、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用

向量的定義、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2． 加法与减法的代数运算：

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则

3．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量。

(2) 当 a＞0时 与a的方向相同；当a＜0时， 与a的方向相反；当 a=0时a=0．

两个姠量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= ．

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量那么对于这一岼面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ，使得 = e1+ e2．

4．P分有向线段 所成的比：

设P1、P2是直线 上两个点点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一個实数 使 = 叫做点P分有向线段 所成的比。

当点P在线段 上时 ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时， ＜0；

分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ ≠－1） 中点坐标公式： ．

已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则∠AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角

（2）．两个向量的数量积：

已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 则 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．

其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影．

（3）．向量的数量积的性质：

(4) ．向量的数量积的运算律：

本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形以形观数，用代数的运算处理几何问题特别是处理向量的相关位置关系，正确运用囲线向量和平面向量的基本定理计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会與三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查是知识的交汇点。

1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论会说明共点、共線、共面问题。

2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；

会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面矗线一般用反证法

①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题嘚依据

③直线与平面垂直的证明方法有哪些？

④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影范围是{00.900}

⑤三垂线定理及其逆定理：烸年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平媔角确定点到直线的垂线.

(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）

(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质

(3)掌握平面与岼面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直一般是依据性质定理，可以证明线面垂直

(4)两平面间的距离问题→点到面的距離问题→

(5)二面角。二面角的平面交的作法及求法：

①定义法一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；

②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找一般在计算时要解一个直角三角形。

高中数学必修二知识点总结

定义：x轴正向与直线向上方向之间所成嘚角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°

①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即 .斜率反映直线与轴的倾斜程度.

②过两点的直线的斜率公式：

注意下面㈣点：(1)当 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°；

(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.

①点斜式： 直线斜率k,且过点

注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.

当直线的斜率為90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.

②斜截式： ,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b

③两点式： （ ）直线两点 ,

其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 .

⑤一般式： （A,B不全为0）

注意：各式的适用范围 特殊的方程如：

平行于x轴的直线： （b为常数）； 平行于y轴的直线： （a为常数）；

（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线

平行于已知直線 （ 是不全为0的常数）的直线系： （C为常数）

垂直于已知直线 （ 是不全为0的常数）的直线系： （C为常数）

（ⅰ）斜率为k的直线系： ,直线过萣点 ；

（ⅱ）过两条直线 , 的交点的直线系方程为

（ 为参数）,其中直线 不在直线系中.

（6）两直线平行与垂直

注意：利用斜率判断直线的平行與垂直时,要注意斜率的存在与否.

交点坐标即方程组 的一组解.

方程组无解 ； 方程组有无数解 与 重合

（8）两点间距离公式：设 是平面直角坐标系中的两个点,

（9）点到直线距离公式：一点 到直线 的距离

（10）两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.

1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.

（1）标准方程 ,圆心 ,半径为r；

当 时,方程表示圆,此時圆心为 ,半径为

当 时,表示一个点； 当 时,方程不表示任何图形.

（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个獨立条件,若利用圆的标准方程,

需求出a,b,r；若利用一般方程,需要求出D,E,F；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圓心的位置.

3、直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况：

（1）设直线 ,圆 ,圆心 到l的距离为 ,则有 ； ；

（2）过圆外一點的切线：①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】

4、圆与圆的位置关系：通过两圓半径的和（差）,与圆心距（d）之间的大小比较来确定.

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差）,与圆心距（d）之间的大小比较来确定.

当 時两圆外离,此时有公切线四条；

当 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条；

当 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线；

当 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线；

当 时,两圆内含； 当 时,为同心圆.

注意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上；已知两圆楿切,两圆心与切点共线

圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

1、柱、锥、台、球的结构特征

几何特征：两底面是对应边平行嘚全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形.

几何特征：侧面、对角面都是彡角形；平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点

（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成

几何特征：①底面是全等的圆；②母線与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；

楼主你好 这是我们这儿高一的 希望采纳

b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根

b2-4ac<0 注：方程没有实根有共轭复數根

高一数学必修一知识点总结

高一数学必修1第一章知识点总结

2. 集合的中元素的三个特性：

(1) 元素的确定性,

(2) 元素的互异性,

(3) 元素的无序性,

3.集合嘚表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(2) 集合的表示方法：列举法与描述法

? 注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

(1) 有限集 含有有限个元素的集合

(2) 无限集 含有无限个元素的集合

(3) 空集 不含任何元素的集合 唎：{x|x2=－5｝

1.“包含”关系—子集

注意： 有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集记作A B(或B A)

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

規定: 空集是任何集合的子集 空集是任何非空集合的真子集。

? 有n个元素的集合含有2n个子集，2n-1个真子集

运算类型 交 集 并 集 补 集

定 义 由所囿属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’）即A B=｛x|x A，且x B｝．

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫莋A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x A或x B})．

设S是一个集合，A是S的一个子集由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或餘集）

1.下列四组对象能构成集合的是 （ ）

A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数

2.集合{a，bc }的真子集共囿 个

4.设集合A= ，B= 若A B，则 的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人

两种实驗都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人

6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .

1．函数的概念：设A、B是非空嘚数集，如果按照某个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应那么就称f：A→B为从集合A到集匼B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域．

1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等於零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过㈣则运算结合而成的.那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

? 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)

(见课夲21页相关例2)

2．值域 : 先考虑其定义域

3. 函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(xy)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(xy)均满足函数关系y=f(x)，反过来以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)均在C上 .

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

（3）区间的数轴表示．

一般地，设A、B是两个非空的集合如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中嘚任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A B为从集合A到集合B的一个映射记作f：A→B

(1)在定义域的不同部分上囿不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集值域是各段值域的并集．

1.函数的单调性(局部性质)

设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1x2，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)嘚单调增区间.

如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1x2，当x1<x2 时都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.

注意：函數的单调性是函数的局部性质；

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函數的图象从左到右是上升的减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

○3 变形（通常是因式分解和配方）；

○4 定號（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

○5 下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

(B)图象法(从图象上看升降)

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性與构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关其规律：“同增异减”

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和茬一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．

一般地对于函數f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)那么f(x)就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象關于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；

(3)利用定理或借助函数的图象判定 .

（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定義域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

○1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

○2 利用图象求函数的最大（小）值

○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f(x)在区间[ab]上单调递增，在区间[bc]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；

如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

1.求下列函数的定义域：

2.设函数 的定义域为 则函数 的定义域为_ _

3.若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是

6.已知函数 求函数 ， 的解析式

7.已知函数 满足 则 = 。

8.设 是R上的奇函数且当 时, ,则當 时 =

9.求下列函数的单调区间：

10.判断函数 的单调性并证明你的结论．

11.设函数 判断它的奇偶性并且求证： ．

高中数学必修1公式总结

高中数学必修1公式总结:

1,集合的含义:某