第一第二型曲面积分分的一道题

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-07-12 07:43 标签： 第二型曲面积分

第(6)题,为什么由对称性可以得到划線部分式子成立x^2和y^2又不是奇函数，为什么等于0啊

  • 结果应该为-πh^4/2 ,而不是-∏/2h^4 更不是0 解答：这道题目满足高斯公式的条件所以用高斯公式很简单。先添加平面z=h取上侧。构成一个封闭的曲面这个封闭曲面整个外侧方向。 於是∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=2∫∫∫（x+y+z）dxdydz -∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy(减去的这个积分曲面为z=h 注最后一定要减去这个添加的平面) 先计算三重积分2∫∫∫（x+y+z）dxdydz =2∫∫∫z dxdydz （这里利用了对称性，因为此三重积分的区域关于平面X=0和y=0对称且被积式分别为x和y的奇次方，所以它们的积分值为0 ）于是只需要计算 2∫∫∫z dxdydz =2∫（0,2π)dθ∫(0,h) ρ dρ ∫(ρ,h) z dz =πh^4/2 而∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy（积分曲面为z=h上侧）=前两项值为0因为平面z=h分别向x=0 和y=0面投影时的面积为0（实际上投影面为一个线段，知道为什么为0吗这是洇为dydz=cosα dS ,其中cosα=cos90°=0），所以曲面积分的值为0 于是只需要计算后面∫∫z^2dxdy =∫∫h^2dxdy 这里已经转化为一个二重积分了

【摘要】：文章从第二第二型曲媔积分分的定义、两类曲面积分的关系、积分曲面的对称性和高斯公式等方面探讨第二第二型曲面积分分的一题多解问题,有助于进一步理解第二第二型曲面积分分和重积分之间的关系


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