functions）是中常见的一类关于的。三角函数将的内角和它的两个边的相关联，也可以等价地用与有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究的基础数学工具。在中，三角函数也被定义为或特定的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是值。

三角函数一般用于计算中未知长度的边和未知的角度，在导航、工程学以及物理学方面都有广泛的用途。另外，以三角函数为模版，可以定义一类相似的函数，叫做。常见的双曲函数也被称为双曲正弦函数、双曲余弦函数等等。

早期对于三角函数的研究可以追溯到古代。例如数学家在鉴别泛滥后的边界、保持每边相同，都使用了三角术，只是他们可能还没有对这种方式定名而已。三角术的奠基人是公元前2世纪的。他按照人的做法，将圆周分为360等份（即圆周的弧度为360度，与现代的不同）。对于给定的弧度，他给出了对应的弦的长度数值，这个记法和现代的正弦函数是等价的。喜帕恰斯实际上给出了最早的三角函数数值表。然而古希腊的三角学基本是球面三角学。这与古希腊人研究的主体是天文学有关。在他的著作《球面学》中使用了正弦来描述球面的。古希腊三角学与其天文学的应用在埃及的时代达到了高峰，托勒密在《数学汇编》（Syntaxis Mathematica）中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值^{:133-140:151-152}。

传播到后，对三角术进行了进一步的研究。公元5世纪末的数学家提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦，这个做法被后来的古印度数学家使用，和现代的正弦定义一致了^:189。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度（3.75°）的三角函数值表^:193。然而古印度的数学与当时的中国一样，停留在计算方面，缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义，但他们的三角学是直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了正切和余切、正割和余割的概念，并计算了间隔10分（10′）的正弦和正切数值表^:214-215。到了公元14世纪，阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化（古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式）的努力为后来三角学从天文学中独立出来，成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。^:225

进入15世纪后，阿拉伯数学文化开始传入欧洲。随着欧洲商业的兴盛，航行、历法测定和地理测绘中出现了对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时，欧洲数学家开始制作更详细精确的三角函数值表。的学生制作了间隔10秒（10″）的正弦表，有9位精确值。瑞提克斯还改变了正弦的定义，原来称弧对应的弦长是正弦，瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后，数学家开始将古希腊有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。给出了托勒密的不少结果对应的平面三角形式。他还尝试计算了多倍角正弦的表达方式。^:275-278

18世纪开始，随着解析几何等分析学工具的引进，数学家们开始对三角函数进行分析学上的研究。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的表示。Collins将牛顿的结果告诉了，后者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。在1673年左右也独立得到了这一结果^:162-163。的《》（Introductio in Infinitorum，1748年）对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了，还有使用接近现代的简写sin.、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。

直角三角形中的定义[]

直角坐标系中的定义[]

{r}{x}}}都没有意义，这说明对于90度角和270度角，正切和正割没有定义。同样地，对于0度角和180度角，余切和余割没有定义。

三角函数也可以依据直角坐标系xOy中半径为1，圆心为原点O的来定义。给定一个角度θ，设A(1, 0)为起始点，如果θ > 0则将OA逆时针转动，如果θ < 0则顺时针移动，直到转过的角度等于θ为止。设最终点A转到的位置为P (x, y)，那么：

这个定义和坐标系的定义类似，但角度θ可以是任何的数值。对于大于360°或小于-360°的角度，可以认为是逆时针（顺时针）旋转了不止一圈。而多转或少转了整数圈不会影响三角函数的取值。如果按弧度制的方式记录角度，将弧长作为三角函数的输入值（360°等于2π），那么三角函数就是取值为全体实数R，周期为2π的。比如：

周期函数的最小正周期叫做这个函数的基本周期。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是2π弧度或360°；正切或余切的基本周期是π弧度或180°。

从几何定义中可以推导出很多三角函数的性质。比如说，正弦函数、正切函数、余切函数和余割函数是奇函数，余弦函数和正割函数是偶函数。正弦和余弦函数的图像形状一样（见右图），可以看作是沿坐标横轴平移得到的两个函数。正弦和余弦函数关于{\displaystyle x={\frac {\pi }{4}}}轴对称。正切函数和余切函数、正割函数和余割函数也分别如此。

不同的三角函数之间存在很多对任意的角度取值都成立的等式，被称为三角恒等式。其中最著名的是毕达哥拉斯恒等式，它说明对于任何角，正弦的平方加上余弦的平方总是1。这可从斜边为1的直角三角形应用得出。用符号形式表示，毕达哥拉斯恒等式为：

另一个关键的联系是和差公式，它根据两个角度自身的正弦和余弦而给出它们的和与差的正弦和余弦。它们可以用几何的方法使用的论证方法推导出来；还可以用代数方法使用得出。

当两个角相同的时候，和角公式简化为更简单的等式，称为二倍角公式（或倍角公式）。

这些等式还可以用来推导，以前曾用它把两个数的积变换成两个数的和而像那样使运算更加快速。（利用制好的三角函数表）

三角函数的和可参见、和。下面是六个基本三角函数的导数和积分的列表。

几何学中，三角函数的定义是建立在几何直观上的，只用几何和的性质，就可直接获知正弦和余弦的。中，三角函数是，数学家用给出了不依赖几何直观的代数定义：

可以证明以上的无穷级数对任意实数{\displaystyle x}都是收敛的，所以很好地定义了正弦和余弦函数。

三角函数的级数定义经常被用做三角函数的严格处理和应用的起点（比如，在中），因为的理论可从的基础上发展而来，不需要任何几何方面的考虑。这样，这些函数的和便可以单独从级数定义来确立。

其他三角函数的级数定义：

这些定义也可以看作是每个三角函数作为实函数的泰勒级数。从的一个定理得出，这个实函数到复数有一个唯一的解析扩展。它们有同样的泰勒级数，所以复数上的三角函数是使用上述级数来定义的。

与指数函数和复数的联系[]

可以从上述的级数定义证明正弦和余弦函数分别是在它的自变量为纯时候的虚数和实数部分：

这个关系式首先被注意到，因此叫做 。从中可推出，对实数x，

进一步还可以定义对复自变量z的三角函数：

除了上述六个基本函数，历史上还有下列几个较少见的三角函数：

V}的。这种定义正弦和余弦函数的方法本质上等价于使用欧拉公式。（参见）。很明显这个微分方程不只用来定义正弦和余弦函数，还可用来证明正弦和余弦函数的。进一步的，观察到正弦和余弦函数满足{\displaystyle y''=-y\,}，这意味着它们是二阶导数算子的。

正切函数是非线性微分方程

通过测量沿着的路径的长度而指定一个，并构成正弦和余弦函数的特定。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典。如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于的

这里的k是表示在单位之间映射的常数。如果x是，则

这意味着使用度（或圈）的正弦的二阶导数不满足微分方程

这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此只有它的辐角是弧度的条件下，正弦的四阶导数才再次是正弦。

利用函数方程定义三角函数[]

在中，可以利用基于和差公式这样的性质的来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个满足这些条件。即存在唯一的一对实函数{\displaystyle \sin }和{\displaystyle \cos }使得对于所有实数{\displaystyle

从其他函数方程开始的推导也是可能的，这种推导可以扩展到复数。作为例子，这个推导可以用来定义中的。

三角函数的计算是个复杂的主题，由于和提供对任何角度的内置三角函数的的广泛使用，现在大多数人都不需要了。本节中将描述它在三个重要背景下的计算详情：历史上三角函数表的使用，计算机使用的现代技术，以及容易找到简单精确值的一些“重要”角度。（下面只考虑一个角度小范围，比如0到π/2，因为通过三角函数的周期性和对称性，所有其他角度可以化简到这个范围内。）

有计算机之前，人们通常通过对计算到多个的三角函数表的来计算三角函数的值。这种表格在人们刚刚产生三角函数的概念的时候就已经有了，它们通常是通过从已知值（比如sin(π/2)=1）开始并重复应用半角和和差公式而生成。

现代计算机使用了各种技术。一个常见的方式，特别是在有单元的高端处理器上，是组合或（比如、最佳一致逼近和，和典型用于更高或可变精度的和）和范围简约与表查找—首先在一个较小的表中查找最接近的角度，然后使用多项式来计算修正。在缺乏的简单设备上，有叫做的一个更有效算法（和相关技术），因为它只用了和加法。出于性能的原因，所有这些方法通常都用来实现。

对于非常高精度的运算，在级数展开收敛变得太慢的时候，可以用来逼近三角函数，它自身通过来逼近三角函数。

对于一些简单的角度，使用（也就是）可以很容易手工计算三角函数的值。事实上，{\displaystyle \pi /60} （3°）的任何整数倍的正弦、余弦和正切都可以手工计算。以下是一些常用的特殊函数值。

由于三角函数属于，而不是，所以严格来说并没有。因此要定义其反函数必须先限制三角函数的，使得三角函数成为。基本的反三角函数定义为：

对于反三角函数，符号sin^?1和cos^?1经常用于arcsin和arccos。使用这种符号的时候，反函数可能跟三角函数的倒数混淆。使用“arc-”前缀的符号避免了这种混淆，尽管“arcsec”可能偶尔跟“”混淆。

正如正弦和余弦那样，反三角函数也可以根据无穷级数来定义。例如，

这些函数也可以通过证明它们是其他函数的原函数来定义。例如反正弦函数，可以写为如下积分：

可以在条目中找到类似的公式。使用复，可以把这些函数推广到复数辐角上：

三角函数，正如其名称那样，在中是十分重要的。在三角学研究中，数学家们发现了许多利用三角函数来刻画三角形、圆形或多边形的定理。

正弦定理声称对于边长为a, b和c而相应角为A, B和C的三角形，有：

其中{\displaystyle R}是三角形的半径。正弦定理用于在一个三角形的两个角和一个边已知时计算未知边的长度。这是中常见情况。

余弦定理（也叫做余弦公式）是的推广：

三角函数在物理中也是重要的。例如，正弦和余弦函数被用来描述，它描述了很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函数是的一维投影。

三角函数在一般的研究中也很有用。这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候是很有用的。每一个信号都可以记为不同频率的正弦和余弦函数的（通常是无限的）和；这是的基础想法，这里的三角级数可以用来解微分方程的各种边值问题。例如，可以写为

在右边的动画中，可以看到只用少数的项就已经形成了非常准确的估计。