范文一：声波在非均匀介质中的傳播

声波在非均匀介质中的传播

摘要：运用声波传播的基本理论以及数理知识推导出理想介质中声波的三个基本方程将其应用在理想均勻介质中得出小振幅声波传播的波动方程，应用以上知识获得非均匀介质中的波动方程给出它的几种解析解的形式并推其解非解析解的求解方法和需要考虑的因素。使用有限元法来构建声波在一维非均匀介质中传播的模型推测求解思路和方程解的方法（只分析较为简单嘚情况，给出解析式进行分析即可)

关键词：波动方程；有限元法；非均匀介质

. 用等方面的教学和研究工作,Tel:0431—,E—

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反偏移(demigration)是一种在2O世纪9O年代 系统发展起来的反射地震成像方法,其基本目的是 将深度偏移的结果(深度偏移像场)再反映射到时间 域中_】.在这个反映射过程中,速度模型,观测装置 及输出波场的类型都可以与在偏移过程中所使用的 有所不同.因此,在广义上反偏移被定义为是对偏 移像场所进荇的各种变换.如果速度模型,观测装 置及输出波场的类型都与偏移过程中所使用的相 同,反偏移将转化为偏移的逆变换.... 反偏移是当代反射地震荿像理论研究的前沿与 热点领域之一.因此,对反偏移的研究具有非常重 要的理论意义和实用价值.一方面.作为一种反射 地震成像方法,反偏移的基本理论和实用技术可以 为速度分析,波型转换,炮检距变换(包括零炮检,距 剖面构建),观测数据规格化以及数值模拟提供非常 规的理论基础和计算技术;另一方面,通过与深 度偏移的反复串联应用,反偏移理论可以为提出和 发展新的反射地震成像方法提供出发点.事实上, 经典的DMO技术与现代嘚向零炮检距偏移理论均 是偏移和反偏移串联应用的结果.

在现代反射地震的理论和实践中,反偏移与偏 移占有同等重要的地位.事实上,随着偏迻技术的 发展和速度建模的需要,偏移处理已经从经典处理 流程的末端变成了现代处理流程的一个中间环 节[7].而联系这个中间环节及其它环节嘚重要步骤

之一就是反偏移.如果没有反偏移,现代地震资 料处理中的一些新思想和新技术就无法实现.例 如,如果不利用反偏移的思想,就无法建竝一般条件 下向零炮检距偏移的Kirchhoff型理论. 本文的主要目的是要在经典声波和经典Fou— rier变换理论的框架下,讨论均匀介质中F—K(频 率一波数)域反偏移嘚基本概念,基本公式及其在非 均匀介质中的应用.根据定义,均匀介质是速度和 密度均为常数的均匀半空间.在这种介质中,声波 近似下的地震波傳播过程满足一个称为声波方程的 二阶偏微分方程.由于该方程的系数是不随坐标变 化的速度,所以可以对其进行空间Fourier变换.在 经过这样的变换處理后,原来在深度域中以三维形 式提出的由深度偏移像场重构时间域中偏移输入数 据体的反偏移问题就转化成为一个在F—K域中的 一

显然,均勻介质模型是一种对地下地质构造的 极端简化.如果按照目前频率一波数域偏移理论的 实际研究水平,讨论这种极端简化条件下的反偏移 理论,從表面上看似乎没有任何实际意义.确实,在 当今的频率,波数域偏移理论研究中一般假设地下 介质是任意非均匀的.所以,相应的反偏移研究似 乎吔应该从一般的非均匀介质(速度)模型出发.但 是问题并非如此简单.首先,目前出现在文献中的 所有F—K偏移理论均不能给出偏移场的分析解, 而对於目前的反偏移理论研究来讲偏移场的解析公 式却又是必不可少的,否则就无法根据偏移像场重 构出观测波场.事实上,对于一个给定的反射面來

讲,偏移像场是一个沿着垂直坐标分布的空间信号 (子波),而反偏移像场却是一个沿着时间轴分布的 时间信号(子波).由于在成像过程中需要对所囿的 频率分量求和(零时间成像条件),所以偏移像场相 对于时间频率的依赖关系是隐含的,只有借助于

第1期孙建国:均匀介质中的F—K反偏移:基本概念,基本公式及其在非均匀介质

Kirchhoff型真振幅偏移理论中的有关结果或是只 能在均匀介质的假设下借助于频散关系才能求出空 间波数和时间频率の间的具体依赖关系.由于在 Kirchhoff型真振幅偏移中要求实现射线追踪而对 于一般的非均匀介质又不存在独立于波场函数的频 散关系,所以就目前的研究程度来讲还无法只根据 一

般条件下的F—K偏移理论来研究相应的反偏移 问题.其次,即使是能够在偏移场公式未知的条件 下解决反偏移问题,吔需要一个关于反偏移场的标 准解答来对所得到的理论进行验证.确实,如果在 常速度假设下有关的反偏移理论不能给出本文的结 果,则说明相應的理论存在有这样或那样的问题. 再有,借鉴F—K偏移理论研究中的有关方法,可以 利用均匀介质中的反偏移理论构造出一般条件下反 偏移问题嘚近似解.除此而外,本文的结果还可以 用于对有关的反偏移算法和程序进行检验.事实 上,几乎所有的偏移理论在其建立过程中都引入了 这样或那样的近似.如果没有一个标准的分析解, 则难以分析偏移理论中的各种近似对于反偏移结果 的影响.最后.正如在正文中将要提到的那样,与一

般嘚偏移公式相比反偏移公式具有固有的奇异性. 为了探讨处理这种奇异性的方法,最好的途径就是 利用具有封闭形式的反偏移场公式.

根据上述討论,研究均匀介质中的F—K反偏 移的意义主要在于下列3点:(1)为一般条件下的F —

K反偏移近似理论提供检验标准;(2)为F—K反 偏移的算法研究提供一个可鉯进行解析验证的标准 解答;(3)为建立一般非均匀介质中的F—K反偏移 近似理论提供基础.

与Kirchhoff型反偏移相同,F—K域中的反偏 移定义为对F—K域中的偏移潒场所进行的各种变 换.在速度模型,观测装置以及反偏移像场的类型 都保持不变的条件下,F—K反偏移是F—K偏移的 逆运算.因此,为了建立F—K反偏移嘚基本概念 和基本公式,必须先从F—K偏移的基本概念和基 本理论公式入手.鉴于这个事实,在下文中首先回 顾经典常速度F—K偏移的基本概念和基夲公式, 然后再从有关公式出发建立常速度F—K反偏移的 基本概念和基本公式并讨论其在垂向及横向不均匀 介质中的应用.

1F—K偏移的基本概念和基本公式

首先,考虑2维空间中的F—K偏移理论. 设点P一(,)处的声波速度为(P)一(,)三

三常数.根据经典声学:,位于P点的介质在时 刻t所受到的压力或在P点介质粒孓的运动速度 U(x,,f)满足下列标量波动方程:

对这个方程两端作关于时间t和水平坐标的 Fourier变换,得到

式中,叫为角频率,为方向上的波数,U, 叫)定义为下列双重Fourier變换:

方程(2)的通解具有下列形式j:

式中,是:为垂直方向上的波数,即

显然,是满足频散关系叫.//g=是一+是或叫= .

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在这个公式中,对k的積分是一个Fourier变换,而 对的积分却不是.为了能利用快速Fourier变换 (FFT)进行计算,利用频散关系=Vk及/g一 k一是+走,把对的积分转换成为对k.的积分. 对于一个给定的k有dk┅O.所以l_ d一一dk:.(9)幽一丽z一丁

在这两个公式中代入频散关系得到

exp[-i(~ot+走)]d走do),(2O) 求出在三维或二维条件下的地表观测场. 3F—K反偏移算法及有关的计算问题

根据仩节的讨论,F—K域的反偏移算法包括 下列3个步骤:

第1期孙建国:均匀介质中的F—K反偏移:基本概念,基本公式及其在非均匀介质

k?忌;+k或?/v一k?,但是在由这两個 公式所决定的边缘点上反偏移映射公式(17)和(18) 不再有效.因此,在具体的实现过程中必须通过一 定的滤波过程将垂直波数k的零点剔除. 此外,映射公式~o=Vk的符号与Fourier正,反 变换核函数的定义形式有关.在本文中,Fourier 正,反变换的核函数分别定义为exp(一ioot)和

exp(iwt).因此,上行波的特点是角频率?的符号与 垂直波数k:的符號相同.但是,如果Fourier正,反 变换的核函数分别定义为exp(1oot)和exp(一loot), 则为了保证F—K反偏移场具有上行波的特征,角 频率?的符号必须与垂直波数k的符号相反, 即

与F—K偏移一样,在由k.到?的映射过程中 同样也存在插值问题.事实上,任何公式在计算机 上的实现都是离散的.对于F—K反偏移来讲,在 时间一空间域中需偠对空间坐标,.y,和时间坐标 t进行离散.在频率一波数域中需要对角频率?和 波数分量k—k,k以及对波数矢量的模k进行离 散.由上节的公式可知,在由M是,是.)戓M (忌k)到U(kk,一0,?)或U(k,一0,叫)的映 射过程中,需要进行插值计算的映射公式有两个:一 个是完成由k到?映射的公式(21),另一个是由? 计算k.的公式(6).虽然这两个公式都来洎于频散 关系,但却是一个问题的两个方面.事实上,对k到 ?映射的插值相当于是对方程(17)或(18)的左端项 进行网格化,而在由?计算k的过程中的插值相当 于昰对同一个方程的右端项进行网格化.因此,出 现在本文中的插值问题与在F—K偏移中的插值问

为了说明上述论断的正确性,回顾一下在F—K 偏移中必须要用插值技术的理由.令z,,,"和 分别为角频率?和波数分量k和k,及波数模k的 离散节点的编号(包括零),而??,?走?走和?忌 为相应的采样间隔.在二维条件下.频散关系的离 散形式为

不难理解,Ak和Ak的整倍数点不一定能与Ak或 ??的整倍数点相对应,反之亦然.因此,必须要进 行插值.对于三维映射中的插值问题可以進行完全 相同的讨论.

显然,上述关于插值的理由对于反偏移同样成 立,因为在反偏移中需要利用k和k求取?.对 于具体的插值公式,当然也可以应用F—K偏移中 的一些成熟公式,但是它们并不一定是最佳的选择. 为了说明这个问题,首先回顾一下在F—K偏移中 用到的一些插值公式.根据文献[9],在F—K偏移 Φ运算速度较快的常用插值方法有两点线性插值, 两点几何插值和两点sinc插值.假设两个相邻采 样点之间的距离为l,则插值公式的一般形式为.y— u.】.y1+叫2ly2.式中,u..和:是加权系数,.y.和.y2 分别是在采样点.和上的采样值,ly为待求的 函数值.对于线性插值,一l—u-一.式中, 为插值点距点.的距离.对于几何插值,先对公 式(24)取对数,然后再进行线性插值.因此,几何插 值在其最终形式和几何意义与线性插值相似.对于 sinc插值,可以证明

在实际的偏移应用中,sinc插值的效果比较 恏,而线性和几何插值等方法在偏移结果中要出现 假同相轴.为避免假同相轴的出现.在偏移过程 中至少需要对所处理的剖面补】倍的零值.另 外,利用sinc插值虽然可避免假同相轴的出现,而 且不需要补零,但是精确sinc插值要用到很多的采 样值,从而其计算效率要低于线性或几何插值. 以上是文献E9]對有关插值算法的介绍和评价. 显然,两点插值具有很高的计算效率.但是,也正是 由于只用了两个点.所以其计算结果对于个别点 的计算精度有很強的依赖性.另外,线性插值的结 果不具有光滑性,其一阶导数在跨越插值区间时 连续.因此,上述在F—K偏移中用到的一些插值 方法虽然可以直接用於解决在反偏移中由空间波数

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到时间频率的映射问题,但是并不能给出所期望的 一

些类似于光滑性的性质.为了解决這个问题,笔 者建议采用具有高阶光滑度的插值公式.至于到底 采用什么样的插值公式才能同时兼顾计算效率和插 值结果的光滑性,笔者将另外進行专门的讨论. 4在垂向非均匀介质中的应用

4.1垂向非均匀介质中的F—K偏移像场 在垂向不均匀的()介质中,方程(2)依然成 立.但是,如果V()是关于深度坐标嘚一般函 数,方程(2)就不再有可以用初等函数或积分表达的 通解.鉴于这个事实,把方程(2)的通解写为下列形 式:

C2exp(--iIk:()dz).(24) 式中,C和C.是深度的函数.一般来讲,应该通過 解微分方程的途径来近似地确定C和C2的具体形 式.但是,如果忽略垂直波数k.()的变化率对于 波场的影响,则可以得到与均匀介质中类似的结果, 即对於上行波有C2—0及C.一U(k,=0,). 从而,

式中,k是在区间深度区间[o,]上的平均垂直波 数,即

在水平分层均匀介质中,

式中,一?/.从而,对于分层均匀介质有志. =

在时间域内,外嶊场U(x,,t)具有下列形式: 』.』.弧×

因此,偏移像场M(x,)为

在这个公式中,对于一个给定的k和分别有 dk一O和dV(z)一0.所以,公式(9)对于一个给定 的深度依然成立.令?:一是一k:,囿

由于式(31)和(33)只对一个给定的深度成立, 所以不能通过定义在整个深度区间上的Fourier变 换来求取M(kk)或M(k,k,k).为了克服这 个困难,假设地下的速度呈均匀水平层狀分布.在 这样的假设下,

]上的偏移像场.在物理上,它们都代表沿着垂

直轴分布的,具有有限空间频带的空问子波. 在波动方程偏移理论研究中,为了建立反向传 播算子,一般把普遍意义下的单程波动方程或波场 表示定理用于一个外推步长所包含的介质之内.因 此,无论是多么复杂的速度结构,茬实际的偏移理论 研究中一般只考虑位于深度区间[z,,z?]一[zi,z +AzH]上的薄板状介质.因此,在式(35)中的每

第l期孙建国:均匀介质中的F—K反偏移:基本概念,基本公式忣其在非均匀介质

个M(,)或Mi(,,)都是通过局部化近似

在局部深度区间[,?]上的连续函数.在这个区 间之外,M,(,)或M(,,)恒为零.

根据上述讨论,对U(,Hl,CO)或U,(,, ,)的重构实际上是一个萣义在深度区间[, ]上的局部反偏移问题.由于在每一个层内速 度为常数,所以对于位于同一个层内的和,有 是:()一是:().这意味着,在每一个均匀水平层内 所面临的是一个均匀介质中的反偏移问题,而最终 的反偏移场是位于每一个深度区问内的偏移场所做 出贡献的总和.

为了能够分离出区间[,]对反偏移场的贡 献,对M(,)作关于区间[,,,+]的局部(加窗) Fourier变换和关于-丁的整体Fourier变换.最后, 利用公式(18)得到

同理,对于区间[,],有

从而,在深度一上,总的反偏移场U

对于三维問题,可以采用完全相同的过程来实现外 推场重构.

在策略上,上节所使用的方法在实质上是一种 与反射面无关的方法,即假设在地下的每一个深喥 区问上都有一个偏移场信号,而在局部深度区间上 [,川]加窗的Fourier变换相当于把一个特定的 偏移信号条带(二维)或偏移信号层(三维)分离出来 进行单獨处理.这种做法的合理性在于下列事实, 即每一个偏移信号层或条件在深度方向的延续都是 有限的.在数学上,利用公式(35)和定义是一 ,

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考虑到在区间[,z]外M(,z)一0这一事实, 有

因此,在均匀水平层状介质中关于深度区间[z, z…]的加窗Fourier变换与常规意义下对M(点 k)的Fourier变换是等价的.同样嘚结论对于三 维偏移像场M(,Y,z)和其空间波谱M(是,k,, k)也成立.

5在横向非均匀介质中的应用

在横向不均匀介质中,方程(1)在一k域中的 形式为口

式中,雪代表慢度嘚平方(S=1/V.)沿方向的 Fourier变换,符号"*"代表关于k的褶积.由于 方程(51)是一个关于z的变系数微分方程,所以只 能近似求解.1984年,Gazdag和Sguazzero共同提 出了利用相移加插值(PSPI)的方法來构造方程 (51)的近似解.具体地讲,在PSPI中首先利用 一

组常速度进行波场外推,然后再通过插值的途径 求出与实际偏移速度相对应的外推场. 上述PSPI偏移嘚基本思想完全可以用来解决 反偏移问题.首先,选取一组参考速度进行均匀介 质中的外推场重构,然后再利用插值的方法求出与 反偏移速度V相對应的外推场.具体地讲,如果假 设取了两个参考速度V和Vz,则在深度z上的 与这两个参考速度对应的外推场分别为 Ul(是=l,)一Ale1ol,(52)

式中,A和0分别为相应的模和相角. 同理,与速度V相对应的外推场具有下列形 A=

在形式上,公式(54)一(56)与Gazdag和Sguazzero 的方程(3O)一(32)完全相同.因此,解决非均匀介 质中的F—K反偏移问题的关键是利用上节嘚方法 重构出在给定深度区间上的外推场U(,2—2…, )和U(点,z=z,).对于三维问题和多个参

考速度的情况可以采用类似的方法进行处理. 6结论与结语

在文献当Φ,对反偏移理论的研究一般是通过 对Kirchhoff型偏移算子求逆的途径实现口?].与 此相反,笔者在本文当中从经典的F—K偏移理论 出发,通过由垂直波数到角頻率映射的途径建立了 在常速度条件下F—K域内的反偏移理论和算法. 与同样条件下的Kirchhoff型偏移理论相比,本文 的结果没有经过任何近似,因此是严格精确的. 为了解决不均匀介质中的反偏移问题,本文利 用了在偏移理论研究中所采用的两个基本策略,即 假设在地下的每一个深度区间上都有┅个偏移场信 号及假设在一个外推步长之内传播算子只与定义在 相应深度区间内的薄板或薄层的速度结构有关.因 此,本文所提出的反偏移理論是一种与反射面无关 的成像方法.另外,本文还假设偏移外推场是速度 的连续函数,因此可以利用插值加相移的方法重构 不同深度上的外推场.

盡管本文已经完整地建立了均匀介质中的F— K反偏移理论和算法,并在此基础之上提出了非均 匀介质中的反偏移理论,但是在计算实现方面还有 許多需要解决的问题.具体地讲,在下,步的研究 中首先应该解决本文所提算法在二维空间中的实现 问题,然后是要把二维实现方法推广到三维.

为叻保证不出现倏逝波,在二维和三维F—K

偏移理论中分别加了限定条件/v.=k.?和

/V.=k?+k.这意味着,在由反向外推场

第l期孙建国:均匀介质中的F—K反偏移:基本概念,基本公式及其在非均匀介质

MO",Y,2)的映射过程中,F—K偏移算子剔除了构

成反射信号必不可少的衰减波..鉴于这个事实,

由常速度F—K反偏移给出的观测信號只能与数值

模拟方法给出的结果相似,不可能完全相等.至于

在反偏移场和数值模拟场之间的差别有多大,以及

如何能够通过本文给出的反偏迻理论精确地重构出

与数值模拟结果完全相等的结果,还是两个有待于

Is]孙建国.论三维等时线反偏移?