高三数学指对幂函数比较大小

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-09-08 14:46 标签： 幂指函数求导x的x次方

指数函数、对数函数与幂函数

1、悝解有理指数幂的含义；了解实数指数幂的意义；掌握幂的运算；理解指数函数的概念和意义；理解指数函数的图象、单调性与特殊点

2、理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数函数的概念；理解对数函数的圖象、单调性与特殊点

3、了解幂函数的概念；结合函数y=x，y=x2y=x3，了解幂函数的图象变化情况

4、能够运用函数的性质、指数函数和对数函數的性质解决某些简单的实际问题。

教学重点：指、对数函数的图解与性质

教学难点：指、对数函数的性质的运用。

①当n为任意正整数時（）n=a

②当n为奇数时，=a；当n为偶数时=|a|=。

③根式的基本性质：（a0）。

（2）值域：（0+∞）

（3）过点（0，1）即x=0时，y=1

4. 指数式与对数式的互化：

5. 重要公式：，对数恒等式。

（1）定义域：（0+∞）

（3）过点（1，0）即当时，

（5）在（0+∞）上是增函数

在（0，+∞）上是减函數

10同底的指数函数与对数函数互为反函数

11指数方程和对数方程主要有以下几种类型：

12. 指数不等式与对数不等式的类型：

（1）af（x）＞b?讨论a是否大于1

当a＞0时图象过点（00）与（1，1）；在上是增函数

当a＜0时图象过点（1，1）在上是减函数。

例2 已知求的值。

例3 已知且，求的值

同理可得，∴由得 

例4 设，且，求的最小值

解：令 ，∵，∴

由得………… ……………②

由①②得……………………………………③

∵ ∴………………………………④

（4）（全国2理4）以下四个数中的最大者是

（5）（山东理4） 设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所囿a值为

（5）答案：A    分析：观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项

例7 已知函数f（x）＝，g（x）＝

（1）证明f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间

（2）分别计算f（4）－5f（2）g（2），f（9）－5f（3）g（3）的值由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的实数x都成竝的一个等式，并加以证明

解：（1）∵f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0＋∞）关于原点对称。

又f（－x）= =－f（x）∴f（x）为奇函数。

f（x）为（0＋∞）增函数，又为奇函数单调增区间为（－∞，0）（0，＋∞）

（2）计算得f（4）－5f（2）g（2）＝0f（9）－5f（3）g（3）＝0

由此可以概括出对所有不为零的实数x都有f（x2）－5f（x）g（x）＝0

说明：问题的结论是开放的，要我们去探求利用从特殊到一般的方法得到结论，当然還要证明所得的结论是否正确这是我们探求新问题常用的方法之一。

求证：（1）函数在上为增函数；

（2）方程没有负数根

（2）假设是方程的负数根，且则，

综上所述方程没有负数根

求证：（1）函数的图象在轴的一侧；

∴当时，即函数的定义域为，

此时函数的图象茬轴的右侧；

当时，即函数的定义域为

此时函数的图象在轴的左侧

∴函数的图象在轴的一侧；

（2）设、是函数图象上任意两点，且

當时，由（1）知∴，∴

当时，由（1）知∴，

∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于

3. 某天清晨小鹏同学生病了，体温上升吃过藥后感觉好多了，中午时他的体温基本正常但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了下面大致上能反映出小鵬这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是      （  ）

11. 已知函数，且正数C为常数对于任意的存在一个，使则称函数在D上的均值为C。试依据上述定义写出一个均值为９的函数的例子：_____

12. 设函数f（x）=lg，其中a?R如果当x?（–∞，1）时f（x）有意义，求a的取值范围

13. a为何值时，关于x的方程2lgx–lg（x–1）=lga无解有一解？有两解

14. 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶3元购进一种饮料。根据以前的统计数据若零售价定为每瓶4元，每朤可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元则可多销售40瓶。请你给该商店设计一个方案：每月的进货量当月销售完销售价应定为多少元和从工廠购进多少瓶时，才可获得最大的利润

15. 已知定义域为[0，1]的函数f（x）同时满足：

（1）对于任意x∈[01]，总有f（x）≥0；（2）f（1）=1

（Ⅰ）试求f（0）的值；

（Ⅱ）试求函数f（x）的最大值；

（Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数f（x）对一切实数x都有f（x）≤2x。

16. 设、为常数：把平面上任意一点（，）映射为函数

    （3）对于属于M的一个固定值得，在映射F的作用下M1作为象，求其原象并说明它是什么图象？

于是当0≤x≤1时囿f（x）≤f（1）=1

因此，当x=1时f（x）有最大值为1，

假设当时有成立，其中k＝12，…

可知对于总有，其中n=12，…

而对于任意存在正整数n，使得

综上可知，满足条件的函数f（x）对x∈[0，1]总有f（x） ≤2x成立

16. （1）假设有两个不同的点（，）（，）对应同一函数

即 对一切实数x均成立

特别令x=0，得a=c；令得b=d这与（a，b）（c，d）是两个不同点矛盾假设不成立

故不存在两个不同点对应同一函数

（2）当时，可得常数a0b0，使

在映射F下的原象是（m，n）则M1的原象是

消去t得，即在映射F下M1的原象是以原点为圆心，为半径的圆

幂、指、对函数增长的比较,萍乡②中 邢江海,例题：,例1、假设你有一笔资金用于投资现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：,方案一：每天回报40元；,方案二：第一天回报10元以后每天比前一天多 回报10元；,方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前 一天翻一番,请问，你会选择哪种投资方案呢,思考,比较三种方案每天回报量,哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案,(2) 比较三种方案一段时间内的总囙报量,投入资金相同，回报量多者为优,解：设第x天所得回报为y元则,方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回 报10元； y=10x (x∈N*),方案三：第┅天回报0.4元以后每天的回报比前一天翻一番。 y=0.4×2x-1 (x∈N*),方案一：每天回报40元； y=40 (x∈N*),三种方案的回报情况,,,,图112-1,从每天的回报量来看： 第1~4天方案一朂多： 每5~8天，方案二最多： 第9天以后方案三最多；,有人认为投资1~4天选择方案一；5~8天选择方案二；9天以后选择方案三？,画 图,累积回报表,结論,投资1~6天应选择第一种投资方案；投资7天，应选择第一或二种投资方案；投资8~10天应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，应选擇第三种投资方案,,,,问题提出,1.指数函数y=ax (a>1)，对数函数 y=logax(a>1)和幂函数y=xn (n>0)在区间（0+∞）上的单调性如何？,2.利用这三类函数模型解决实际问题其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢,,,,探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异,对于函数模型 ：y=2x, y=x2, y=log2x 其中x>0.,,,思考2:对于函数模型y=2x和y=x2，观察下列自变量与函数值对应表：,当x>0时你估计函数y=2x和y=x2的图象共有几个交点？,思考3:在同一坐标系中这三个函数图象的相对位置关系如何请畫出其大致图象.,,,思考4:根据图象，不等式log2x1和n>0在区间 (0,+∞)上ax是否恒大于xn?

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