• B.20世纪上半叶，人类经历了两次世界大战，大量的青壮年人口死于战争；而20世纪下半叶，世界基本处于和平发展时期。 “癌症的发病率”我认为这句话指的是:癌症患者占总人数口的比例。 而B选项说是死亡人数多，即总体人数下降了，但“癌症的发病率”是根据总体人总来衡量的，所以B项不能削弱上述论证

• 根本就没有正式的国际驾照，如果到国外开车，正式的程序： 1、到公证处办理驾照的公证书，可以要求英文或者法文译本（看看到哪个国家而定）； 2、拿公证书到外交部的领事司指定的地点办理“领事认证”，可以登录外交部网站查询，北京有4、5家代办的，在外交部南街的京华豪园2楼或者中旅都可以。 3、认证后在公证书上面贴一个大标志； 4、有的国家还要到大使馆或者领事馆盖章一下。

• 无锡至少有两所正规大学： 1、江南大学 2、南京农业大学无锡渔业学院。由于它不直接在无锡召本科生，所以许多人不知道这个学校：它位于山水东[西？]路九号，拥有约20位正教授/研究员，80位副教授/副研究员，和多位首席科学家。去年还有中国工程院的院士一名。 简介： 1、江南大学坐落于太湖之滨的江南名城——江苏省无锡市，是教育部直属的国家“211工程”重点建设高校。 　　享有“轻工高等教育明珠”美誉的江南大学，有着久远的历史渊源和深厚的文化底蕴。在1902年创建的三江师范学堂基础上发展起来的中央大学（现南京大学）是江南大学办学的前身。1952年全国高校院系调整时，南京大学食品工业系、浙江大学农化系、江南大学食品工业系以及复旦大学、武汉大学的有关系科合并组建成南京工学院（现东南大学）食品工业系。1958年该系整建制东迁无锡，成立无锡轻工业学院，1995年更名为无锡轻工大学，1998年由隶属中国轻工总会划转直属教育部。2001年1月，经教育部批准，无锡轻工大学、江南学院、无锡教育学院合并组建江南大学。 　　学校学科涉及经济学、法学、教育学、文学、理学、工学、农学、医学、管理学等九大门类，设有生物工程学院、食品学院、纺织服装学院、化学与材料工程学院、设计学院、机械工程学院、通信与控制工程学院、信息工程学院、商学院、法政学院、文学院、师范学院、理学院、外国语学院、土木工程系、医学系、艺术系、体育系等18个院（系），共56个本科专业，全日制在校本科学生18500余人。成人学历教育在籍学生5000余人，网络学历教育在籍学生1万余人。还有经教育部批准的中外合作办学的莱姆顿学院及与社会力量合作办学的江南大学太湖学院。 　　学校设有轻工技术与工程、食品科学与工程等2个博士后流动站和10个博士点，覆盖发酵工程等16个二级博士学科专业和39个硕士学科专业，基本包涵了轻工、纺织、食品的全部领域。现有在校各类硕士研究生、博士研究生2500余人。学校拥有4个国家级和部省级重点学科，建有教育部、国家计委批准的“国家生命科学与技术人才培养基地”，培养本硕连读、本硕博连读的高层次人才。食品科学、发酵工程等2个国家重点学科在国内同类学科中具有独特优势，实力雄厚，处于领先地位，在国际上有较大影响。经近50年的建设与发展，江南大学已成为一所规模结构较为合理，教学质量优异，科研水平上乘，社会服务盛誉，各方面均得到社会公认，在国内外具有较高知名度的多科性大学。 　　学校师资力量雄厚，现有专任教师1519名，其中中国工程院院士3名（2名为双聘院士），教授160名，副教授456名。由300多名博士生导师、硕士生导师组成的学术带头群体，为高层次人才培养、科技创新和社会服务奠定了厚实的基础。学校始终坚持社会主义办学方向，坚持以育人为本，把为经济建设和社会发展培养高质量的人才作为学校的根本任务。经过多年努力，形成了具有自身特点的人才培养体系和教学质量保障体系，做到人才培养与市场需求紧密结合，培养高素质创新型的专门人才。学校注重学生综合素质、基础知识和实践能力的培养，如在本科教学中，将相对狭窄的专业对口教育转到本科通识加特色教育；推进多样化的人才培养方式，学生通过辅修、第二专业、第二学位等途径培养复合型人才；让学生早期介入科研活动，从科研实践中感受和理解知识产生和发展过程，培养学生科学素养、科学精神、创新能力。学校十分重视校园精神文明建设。一年一度的江南之春文化艺术节、科技节、金秋体育节等活动精彩纷呈，暑期社会实践、校园文化生活丰富多彩。在大学生数学建模竞赛、数学竞赛、电子制作竞赛、机器人竞赛、艺术设计竞赛等全国性比赛中，学生连年获得大奖。建校以来，学校已为国家输送了数万名毕业生，许多毕业生已成为各条战线的科技精英和领导骨干。 　　作为我国轻工、食品、生物技术高科技的摇篮与依托单位之一，“九五”期间，学校承担并完成了大批国家重大科技攻关项目及省部级应用基础研究课题，其中有70多项研究成果填补了国内空白，并达到了国际先进水平，30多项科研成果荣获国家和省级科技进步奖。“十五”以来，学校科研实力进一步增强，科技项目和科技成果逐年增多。2003年取得国家、部省级以上科技成果奖励20项，其中有国家科学技术发明二等奖（一等奖空缺）一项，中国石油和化学工业科学技术一等奖一项等。2004年，科技总经费9000多万元，获准立项的纵向科研项目97项，横向科研270多项；鉴定或验收科技成果86项，其中30%以上成果达到国际领先或国际先进水平。全校教职工共发表各类论文2700多篇，出版专著130多部，被国际三大检索收录论文143篇。学校承担的国家“十五”科技攻关“农产品深加工”、“发酵工程关键技术”课题全面通过结题验收并进入后期滚动；国家自然科学基金项目获资助13项；获部省级以上科技成果奖励8项，其中1项科研成果获得江苏省科技进步一等奖；全年申请专利356项，学校专利申请量位居全国高校第7名、江苏省第1名；人文社科领域承担的项目、层次、经费等方面都有较大增长。 　　学校重视面向经济建设主战场，加快科技创新，推进科技成果产业化，建有科技部、国家计委批准的“发酵技术国家工程研究中心”等10个国家级、省部级研究中心、实验室。建立了由海尔集团、茅台酒集团、青岛啤酒集团、北京燕京啤酒集团、绍兴黄酒集团、江苏小天鹅集团等100多家企事业单位加盟的董事会，注重学校与企业、社会之间的联系，促进了产学研的结合和为社会各方面的服务。各院（系）还建有二级董事会，共有400余家企事业单位参加。学校十分重视发挥在轻工、食品、艺术设计、纺织、环境、化工、生物医药等方面的科技优势，积极为全国轻工纺织行业的科技进步、产品开发、人才知识更新服务，积极参与国家西部大开发和为江苏省沿江发展战略、苏北发展战略及海上苏东发展战略服务，积极适应无锡市支柱产业的创新发展、科技和人才需求，在科研开发、技术服务、人才培养等方面与企业开展全面合作，推动企业的技术改造和产品更新换代。与地方政府合资建立的省级大学科技园，成为高科技研究项目的重要孵化基地，为国民经济和社会发展作出贡献。由于学校的优质服务，中国电信、丹尼斯克（中国）有限公司、嘉里粮油（深圳）商务拓展有限公司、东海粮油工业（张家港）有限公司、国民淀粉上海化学有限公司、三得利（中国）投资有限公司、青岛啤酒集团、重庆啤酒集团、杰能科生物工程有限公司、广州天赐高新材料科技有限公司、国际特品（ISP）（香港）有限公司、东洋之花化妆品有限公司等大型企业都在学校设立各类奖学、奖教金，每年发放的奖学金总额达600多万元。 　　学校与国内外的教学科研交流合作频繁，是教育部批准的首批接受外国留学生和港澳台学生的高校。自六十年代开始，就接受和培养来自世界各国的留学生，现有本科、硕士、博士等各级各类留学生260余人。学校已与20多个国家和地区的44所大学建立了紧密的校际交流关系，并与美国、加拿大、日本等近20个国家的高校、机构开展办学、科研等方面的合作。目前正在执行的校际合作与交流项目有17个，其中与澳大利亚、英国一流大学之间的“2+2”学分互认合作项目受到学生的欢迎。学校聘请了50多位国外著名的学者和教授担任学校的名誉教授或客座教授，每年举办国际及双边学术交流会，已逐步成为轻纺、食品、艺术设计等领域的国际交流中心。 　　学校图书馆现有藏书152.76万余册、电子图书37.40万册，中外文期刊3100余种，建有教育部科技查新工作站。学校编辑出版自然科学、人文社会科学、食品与生物技术、教育科学等4种学报及《冷饮与速冻食品工业》和《电池工业》杂志，向国内外公开发行。 　　在教育部、省、市政府的大力支持下，地处无锡蠡湖新城、太湖之畔，占地3100多亩的学校新校区已建成面积36万平方米。新校区以“生态校园•曲水流觞”为设计理念，融青瓦白墙的江南建筑风格与小溪、树林、草坪的多层次园林空间为一体，展现绿色、水乡、文化韵味。设施先进、功能齐全、环境优美的现代化校园，为莘莘学子学习研究提供了良好的条件。 　　钟灵毓秀的江南山水，造就了江南校园开拓进取的学术氛围；蕴涵深厚的人文传统，赋予了江南学子锐意求新的创造精神。迈入新世纪，学校迎来了改革、发展的良好机遇，“211工程”将重点建设和发展工业生物技术、食品科学工程和安全、工业设计创新系统、纤维制品现代加工技术、中小企业管理与发展、轻工过程信息化科学与工程等6个优势和特色明显的学科群，进一步提升学校在轻纺、食品等学科领域的优势地位，使学校的整体办学水平和人才培养质量得到全方位的提高。 　　积百载跬步，创世纪辉煌。江南大学提出的发展总体目标是，经过五至十年时间的努力，把学校建成以工为主、理工结合、工理文交融，科技教育与人文教育协调发展，具有鲜明特色、先进水平，在国内有较大影响的教学研究型开放式多科性大学；通过不断创特色、上水平、求发展、增实力，力争在本世纪中叶，把学校建成国内一流、国际有影响、部分学科达到国际先进水平的综合性大学。 2、南京农业大学无锡渔业学院是南京农业大学与中国水产科学研究院淡水渔业研究中心，在多年联合办学的基础上于1993年7月成立的，她依托南京农业大学雄厚的基础教学条件，和淡水渔业研究中心优越的专业教学条件，为我国及国际水产事业的发展培养了一大批优秀的专业技术人员和管理人才。 学院的宗旨是以推进我国和发展中国家的渔业科学和渔业生产，使渔业产品在当今人类改革食物结构，提高营养水平，创造经济财富方面起重要作用。通过努力，使该院成为一个国际性的渔业科学教育和研究中心。 学院座落在风景秀丽的太湖之滨，中国著名的旅游城市－－无锡的西南角上，与中央电视台太湖影视基地相邻，离市区仅10公里之遥，依山傍水，环境十分幽美，交通便利，有1路和820路公交车直达。学院占地面积26公顷，建筑面积达35000多平方米。 院 长 徐 跑 研究员 南京农业大学从1984年开始和淡水渔业研究中心联合办学，设淡水渔业专业（专科）。学院于1994年新开设了“淡水渔业”本科专业。现设水产养殖本、专科专业，水产养殖博士点和硕士点，每年招收博士生、硕士、本科、专科各种层次。 该院长期招收外国留学生，为亚太地区名国培养淡水渔业的技术人才，今后还将进一步提高留学生的办学层次，招收硕士研究生，在招收留学生方面曾受到联合国FAO和UNDP、亚洲水产养殖中心网（NACA）的大力支持。 设有以中国工程院院士夏德全研究员为主的淡水鱼类遗传育种生物技术研究室、营养与饲料、特种水产养殖室、水产品病害研究室、渔业环境保护、渔业经济与信息中心、内陆水域增养殖等7个教研室。学院现有教职员工340名，其中具中高级职称的教师有80名。有突出贡献的农业部中青年专家和享受政府特殊津贴的18人。现有博士3人，硕士25人。 在科学研究方面，先后承担和圆满完成了国家自然科学基金、“八六三”、国家攻关和省、部级课题190多项，获得各类奖励成果85项，其中国家科技进步二等奖1项，国家科技进步三等奖4项。92年获农业部农业机构综合科研能力奖。 在多年的联合办学的实践中，南京农业大学无锡渔业学院的领导非常重视提高学院的教学质量，办学条件逐年得到改善，教学管理趋于完善，教风好、学风正，经过多年的努力，学院的各项办学条件已得到改善，教学手段已基本实现了现代化，配备了语音室、电脑房和先进的电教中心。 学院非常重视发展工作。依托淡水渔业研究中心，综合利用经贸部TCDC培训项目的人力、财力、物力。扎实提高教学质量，改善教学条件，学院领导在经费许可的情况下，投入大量的资金，进行教学设施的改造和教学仪器、设备的添置，积极改善学院的办学备件。建院六年来，学院不断改进教学设施，提高教学质量，目前已拥有教学楼、实验室、图书馆、学生宿舍楼、语音室、电脑房、活动健身房、学生食堂、足球场、蓝球场、大客车、教学实习基地等设施，为国家培养水产专业人才创造了较好的条件。

• 关于三国武将的排名在玩家中颇有争论，其实真正熟读三国的人应该知道关于三国武将的排名早有定论，头十位依次为： 头吕（吕布）二赵（赵云）三典韦，四关（关羽）五许（许楮）六张飞，七马（马超）八颜（颜良）九文丑，老将黄忠排末位。 关于这个排名大家最具疑问的恐怕是关羽了，这里我给大家细细道来。赵云就不用多说了，魏军中七进七出不说武功，体力也是超强了。而枪法有六和之说，赵云占了个气，也就是枪法的鼻祖了，其武学造诣可见一斑。至于典韦，单凭他和许楮两人就能战住吕布，武功应该比三英中的关羽要强吧。 其实单论武功除吕布外大家都差不多。论战功关羽斩颜良是因为颜良抢军马已经得手正在后撤，并不想与人交手，没想到赤兔马快，被从后背赶上斩之；文丑就更冤了，他是受了委托来招降关羽的，并没想着交手，结果话没说完关羽的刀就到了。只是由于过去封建统治者的需要后来将关羽神话化了，就连日本人也很崇拜他，只不过在日本的关公形象是扎着日式头巾的。 张飞、许楮、马超的排名比较有意思，按理说他们斗得势均力敌都没分出上下，而古人的解释是按照他们谁先脱的衣服谁就厉害！有点搞笑呦。十名以后的排名笔者忘记了，好象第11个是张辽。最后需要说明的是我们现在通常看到的《三国演义》已是多次修改过的版本，笔者看过一套更早的版本，有些细节不太一样。

• 考虑是由于天气比较干燥和身体上火导致的，建议不要吃香辣和煎炸的食物，多喝水，多吃点水果，不能吃牛肉和海鱼。可以服用（穿心莲片，维生素b2和b6）。也可以服用一些中药，如清热解毒的。

• 确实没有偿还能力的，应当与贷款机构进行协商，宽展还款期间或者分期归还； 如果贷款机构起诉到法院胜诉之后，在履行期未履行法院判决，会申请法院强制执行； 法院在受理强制执行时，会依法查询贷款人名下的房产、车辆、证券和存款；贷款人名下没有可供执行的财产而又拒绝履行法院的生效判决，则有逾期还款等负面信息记录在个人的信用报告中并被限制高消费及出入境，甚至有可能会被司法拘留。

• 第一步：教育引导 不同年龄阶段的孩子“吮指癖”的原因不尽相同，但于力认为，如果没有什么异常的症状，应该以教育引导为首要方式，并注意经常帮孩子洗手，以防细菌入侵引起胃肠道感染。 第二步：转移注意力 比起严厉指责、打骂，转移注意力是一种明智的做法。比如，多让孩子进行动手游戏，让他双手都不得闲，或者用其他的玩具吸引他，还可以多带孩子出去游玩，让他在五彩缤纷的世界里获得知识，增长见识，逐渐忘记原来的坏习惯。对于小婴儿，还可以做个小布手套，或者用纱布缠住手指，直接防止他吃手。但是，不主张给孩子手指上“涂味”，比如黄连水、辣椒水等，以免影响孩子的胃口，黄连有清热解毒的功效，吃多了还可导致腹泻、呕吐。

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• 良工拥有十多位资深制冷维修工程师，十二年生产与制造经验，技术力量雄厚，配有先进的测试仪器，建有系列低温测试设备，备有充足的零部件，包括大量品牌的压缩机，冷凝器，蒸发器，水泵，膨胀阀等备品库，能为客户提供迅捷，优质的工业冷水机及模温机维修和保养。

• 楼主，龙德教育就挺好的，你可以去试试，我们家孩子一直在龙德教育补习的，我觉得还不错。

• 成人可以学爵士舞。不过对柔软度的拒绝比较大。　　不论跳什么舞，如果要跳得美，身体的柔软度必须要好，否则无法充分发挥出理应的线条美感，爵士舞也不值得注意。在展开暖身的弯曲动作必须注意，不适合在身体肌肉未几乎和暖前用弹振形式来做弯曲，否则更容易弄巧反拙，骨折肌肉。用静态方式弯曲较安全，不过也较必须耐性。柔软度的锻炼动作之幅度更不该超过疼痛的地步，肌肉有向上的感觉即可，动作(角度)保持的时间可由10馀秒至30-40秒平均，时间愈长对肌肉及关节附近的联结的组织之负荷也愈高。

• 没有本质上的区别！不定积分是为了解决定积分的运算而建立的一套法则而已，只是为解决定积分的一个方法

• 是的 不定积分就是为了解决定积分的计算而得到！！！

• 那个C标明不定积分的结果是个函数族，这些函数除了常数项不一样外，其他都一样

• 我这有，很全的 不是word版的，超过了200K 我把它放到我的资料里，你可以去下载 资料审核需要一段时间，请耐心等待

• 温馨提示：您好，感谢您使用微问，数形结合思想，画个函数草图，注意定义域和函数值的对应关系（如果能帮到你，请猛戳“有用”）

在上节中我们学到了有关定积分的概念及六大性质，今天我们学习有关定积分的基本公式，举个简单的列子，如果被积函数是一个二次幂函数f(x)=x^2，但是直接按定义来计算它的定积分已经不是很容易的事。如果被积函数是其他复杂的函数，其困难就更大了，因此我们必须去寻求计算定积分的新方法。

首先我们看下在实际生活中存在哪些定积分呢？下面先从实际问题中去寻找解决问题的线索。为此，我们对变速直线运动中遇到的位置函数s(t)及速度函数v(t)之间的联系作进一步研究。

一.变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

有一物体在一直线上运动。在这直线上取定原点、正向及长度单位，使它成一数轴。设时刻t时物体所在位置为s(t),速度为v(t)(为了讨论方便起见，可以设v(t)≥0)。

从第一讲知道：物体在时间间隔[T1,T2]内经过的路程可以用速度函数v(t)在[T1,T2]上的定积分

来表达;另一方面，这段路程又可以通过位置函数s(t)在区间[T1,T2]上的增量

来表达。由此可见，位置函数s(t)与速度函数v(t)之间有如下关系:

因为s'(t)=v(t)，即位置函数s(t)是速度函数v(t)的原函数，所以关系式(1)表示，速度函数v(t)在区间[T1,T2]上的定积分等于v(t)的原函数s(t)在区间[T1,T2]上的增量

上述从变速直线运动功能的路程这个特殊问题中得出来的关系，在一定条件下具有普遍性。事实上，我们将在第三节中证明，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么，f(x)在区间[a,b]上的定积分就等于f(x)的原函数(设为F(x))在区间[a,b]上的增量

二.积分上限的函数及其导数

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上一点。我们来考察f(x)在部分区间[a,x]上的定积分

首先，由于f(x)在[a,x]上仍旧连续，因此这个定积分存在。这里，x既表示定积分的上限，又表示积分变量。因为定积分与积分变量的记法无关，所以，为了明确起见，可以把积分变量改用其他符号，列如用t表示，则上面的定积分可以写成

如果上限x在区间[a,b]上任意变动，那么对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，记作φ(x):

这个函数φ(x)具有下面定理1所指出的重要性质。

证：若x∈(a,b)，设x获得增量△x，其绝对值足够地小，使得x+△x∈(a,b),则φ(x)如图2在x+△x处的函数值为

再应用积分中值定理，即有等式 △φ=f(c)△x

这里，c在x与x+△x之间，把上式两端各除以△x，得到函数增量与自变量增量的比值

由于假设f(x)在[a,b]上连续，而△x→0时，c→x,因此当△x→0时，limf(c)=f(x)。于是，令△x→0对上式两端取极限时，左端的极限也应该存在且等于f(x)。这就是说，函数φ(x)的导数存在，并且

定理1证毕，这个定理指出了一个重要结论：连续函数f(x)取变上限x的定积分然后求导，其结果还原为f(x)本身，联想到原函数的定义，就可以从定理1推知φ(x)是连续函数f(x)的一个原函数。因此，我们引出如下的原函数的存在定理

就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

这个定理的重要意义是：一方面肯定了连续函数的原函数是存在，另一方面初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。因此，我们就有可能通过原函数来计算定积分。

三.牛顿-莱布尼茨公式

这就是著名的也是在求定积分不可或缺的牛顿-莱布尼茨公式，接下来次公式有如下推广

注意：在在这里强调两点：第一，根据定义计算定积分是很困难的，牛顿-莱布尼茨公式把求定积分化为求原函数的该变量，从而为连续函数的定积分来计算提供了一种简捷的方法；第二，变上限积分定理5.1-(2)推论中，表明φ(x)为f(x)的原函数，这说明连续函数的原函数一定存在。

这里有两个列题大家练习下，可以对定积分的性质及定义有着更加具体的理解

分析：在区间[-1,√3]连续，先求出原函数再套用定积分公式就可以了，再看下面这个题

分析：能否正确理解定积分的性质，这道题目你做对了吗？不得不说，小编在做这一题的时候答案也是π/2.当时拿到题目直接就做了，也没想很多，而且做完之后还自我感觉良好，最后错了之后还计算了好多次，仍然得到的答案是π/2，一定要注意在arctan1/x在x=0不连续，且x=0不是arctan1/x的可去间断点，从而arctan1/x不是d(arctan1/x)/dx在区间[-1,1]上的一个原函数。这就是对于定积分的计算的前提条件-牛顿莱布尼茨公式(满足的两个条件)

在使用牛顿-莱布尼茨公式前需看好题目是否满足这两个条件：1.f(x)在[a,b]上连续；2.F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

定积分的基本公式到这里就结束了，讲解的比较细致，希望大家认真的看下去，如有不明白的或者小编出错的可以随时在下方留言，小编看到会第一时间回复，整理不易，讲解不易，多多收藏并分享下，感谢。

第5章 不定积分 5.1 原函数与不定积分的概念 一、原函数与不定积分 通过对求导和微分的学习，我们可以从一个函数 y＝f(x)出发，去求它的导数f'(x) 那么，我们能不能从一个函数的导数f’(x)出发， 反过来去求它是哪一个函数(原函数)的导数呢? [定义] 已知f(x)是定义在某区间上的一个函数，如果存在函数F(x)，使得在该区间上的任何一点x处都有F'(x)＝f(x)，那么称函数F(x)为函数f(x)在该区间上的一个原函数。 例1 求下列函数的一个原函数： ⑴ f(x)＝2x ⑵ f(x)＝cosx 解：⑴∵(x2)'＝2x ∴x2是函数2x的一个原函数 ⑵∵(sinx)'＝cosx ∴sinx是函数cosx的一个原函数 这里为什么要强调是一个原函数呢?因为一个函数 的原函数不是唯一的。 例如在上面的⑴中，还有(x2＋1)'＝2x， (x2－1)'＝2x 所以 x2、x2＋1、x2－1、x2＋C (C为任意常数) 都是函数f(x)＝2x的原函数。 [定理5.1] 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数， C是一个任意常数，那么， ⑴ F(x)＋C也是f(x) 在该区间I上的原函数 ⑵ f(x)该在区间I上的全体原函数可以表示 为F(x)＋C 证明： ⑴∵[F(X)＋C]'＝F'(x)＋(C)'＝f(x) ∴F(x)＋C也是f(x)的原函数 ⑵略 这说明函数f(x)如果有一个原函数F(x)，那么它 就有无穷多个原函数，它们都可以表示为F(x)＋C的 形式。 [定义5.2] 函数f(x)的全体原函数叫做函数f(x)的不定积分， 记作∫f(x)dx， 其中∫叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积 分变量。 求函数f(x)的不定积分就是求它的全体原函数， 因此，∫f(x)dx＝F(x)＋C 其中C是任意常数，叫做积分常数。 例2 求下列不定积分 ⑴ ∫x5dx ⑵ ∫sinxdx 解： ⑴∵ 是x5的一个原函数 ∴ ⑵∵－cosx是sinx的一个原函数 ∴ 二、 不定积分的几何意义 设F(x)是函数f(x)的一个原函数，则曲线y＝F(x) 称为f(x)的一条积分曲线，曲线y＝F(x)＋C表示把曲 线y＝F(x)上下平移所得到的曲线族。因此，不定积分 的几何意义是指由f(x)的全体积分曲线组成的积分曲 线族。 例4 求斜率为2x且经过点(1,0)的曲线。 解：设所求曲线为y＝f(x)，则f’(x)＝2x， 故y＝x2＋C， ∵曲线过点(1,0)∴以x＝1、y＝0代入得0＝12＋C， 解得C＝－1， 因此，所求曲线为y＝x2－1。 三、 基本积分公式 由于积分运算是求导运算的逆运算，所以由基本 求导公式反推，可得基本积分公式 ⑴ ∫dx＝x＋C ⑵ ∫xαdx＝ (α≠-1) ⑶ 　　 ⑷ ⑸ ∫exdx＝ex＋C ⑹ ∫sinxdx＝－cosx＋C ⑺ ∫cosxdx＝sinx＋C ⑻ ∫sec2xdx＝tanx＋C 　⑼ ∫csc2xdx＝－cotx＋C ⑽ ⑾ 说明：冪函数的积分结果可以这样求，先将被积函数 的指数加1，再把指数的倒数放在前面做系数。 [注意] 不能认为 arcsinx＝－arccosx，他们之间 的关系是 arcsinx＝π／2－arccosx 四、 不定积分的性质 ⑴ [∫f(x)dx]'＝f(x) 该性质表明，如果函数f(x)先求不定积分再求导， 所得结果仍为f(x) ⑵ ∫F'(x)dx＝F(x)＋C 该性质表明，如果函数F(x)先求导再求不定积分， 所得结果与F(x)相差一个常数C ⑶ ∫kf(x)dx＝k∫f(x)dx (k为常数) 该性质表明，被积函数中不为零的常数因子可以 提到积分号的前面 ⑷ ∫[f(x)±g(x)]dx＝∫f(x)dx±∫g(x)dx 该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于 这两个函数的不定积分的和或差 五、 基本积分公式的应用 例7 求∫(9x2＋8x)dx 解：∫(9x2＋8x)dx＝∫9x2dx＋∫8xdx ＝3∫3x2dx＋4∫2xdx＝3x3＋4x2＋C 例11 求∫3xexdx 5.2 不定积分的计算 一、 直接积分法 对被积函数进行简单的恒等变形后直接用 不定积分的性质和基本积