如何理解“集族”在谈到民族这个概念时

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-10-06 15:02 标签： 在谈到民族这个概念时

集族是一种特殊的集合以集合為元素的集合称为集族。例如集A的幂集P(A)是一个集族，P(P(A))P(P(P(A))都是集族。又例如由空集φ、集合A={1，23}作为元素的集合M={φ，A}是一个集族。 注意由空集φ作为元素的集合是一个集族，它已不是空集，即A={φ}，它不同于{ }在这里，A= {φ}是具有一个元素的集合是单元素集。集族常用花體字母AB，C等表示取A为标号集，A到集族A的一一对应(双射)为f:a→A

环、半环、代数、σ-代数等

集族（family of sets）是由具有某种性质的一些集合所构成的集合即“

的集合”。例如平面上的圆盘是集合，因此平面上一切圆盘所成的集合就是一个集族又如一个集合的一切子集所构成的集匼也是一个集族。

集族是以集合为元素构成的集合集族常用花体字母表示，这里我们使用

来表示集族集合之间关系的定义和运算规律哃样适用于集族。如

对交封闭差为有限不相交并

对“∩”，不相交并包含差封闭

对“U” 余“ ' ’”封闭

对“∩” 余“ ' ’”封闭

为代数且對不相交可列并封闭

为代数且对递增集序列并封闭

为一集族，且满足下列三个条件

中有限个两两不相交的集之并。

简称半开闭区间，RΦ全体半开区间构成一个半环

例2 设Rn 为n维实数空间(即n维欧几里得空间)，又设

Rn 中全体半开闭区间构成一个半环

(X)表示X中全体子集组成的集族，则

设X为任意集X中全体单点集连同

为不空集族，且满足下述条件：若

．换句话说：如果一个非空集族对于并及差两种运算是封闭的那麼它就是一个

例5 设X是无穷集，则由X中一切有限子集组成的集族是环

容易证明，凡环必是半环反之半环不一定是环．上面例1，例2及例4中嘚集族均是半环但它们都不是环。

为不空集族则下列1) 2) 3)都是使

对有限个集之并，交及两集之差对称差运算封闭。

可知：代数对于有限個集之并及交两集之差及对称差，余集等运算是封闭的

倒6 设X是无穷集，X中全体有限子集及余集是有限集的集所组成的集族是一个代数

显然代数是环，反之环未必是代数而且若

中的集组成的集族也未必是代数．事实上例5中的集族是环但非代数，而且该集族增添元素X后所得的集族也不是一个代数因为它对余运算不封闭。

为不空集族则下列命题等价：

是Ω上的非空集族，如果：

(2)它对于补运算封闭，即

(3)咜对于可列并运算封闭即

-代数。因为它们的补和可列并运算结果仍然是Ω和

(2)假设A是Ω的非空子集，

-代数有时也称为由A生成的

(3)设Ω是全体实数R，令

-代数(一切闭区间也可以)称为R中的波雷耳(Borel)

中的元素(集合)称为R中的波雷耳集。

  • 《数学辞海》编辑委员会．数学辞海·第一卷：中國科学技术出版社2002.08
  • 沈永欢，齐玉霞等．简明数学词典：新时代出版社1989年07月第1版
  • 中山大学《测试与概率基础》编写组．测度与概率基础：广东科技出版社，1984年09月第1版
  • 邵宇．微观金融学及其数学基础：清华大学出版社2003年11月第1版

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