大一数学极限论文极限求解

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-10-13 12:46 标签： 大一数学极限论文

1贵阳学院学院: 数学与信息科学学院专业： 数学与应用数学 学号： 姓名： 史开端 指导教师：姚廷富 2探讨求极限的若干方法引言：极限是数学中一项常用的“工具” 是学习數学必要掌握的方法之一，下面我们就来探讨一下求极限的几种方法：夹逼原理、常用极限法、等价无穷小量与无穷大量法则、洛比达法則、泰勒公式替代法、定积分法、连续性法求极限有很多方法，还有有关级数方面的求法等在此不作讨论。1、夹逼原理求极限 ]1[夹逼原悝：设数列 ， 满足 且 ，??nabncnnabc?limlinnxxac???则 limnxba???例题：求（1） ??（3）设 ??nnu?????? ??则有 ，12221nnu??? ?将不等式同乘以 得 ；即有n21n?112nu??3而 1limli021xxn?????因此 ??352li46xn???? ?2、常用极限法常用极限：（1） ；（2）0sinlm1x??1limxxe??????????例题：求（1） 2sinsinlimcos1lmlm1nn??????????????????????????????? ??所以22licsnne?????????3、等价无穷法求极限 ]2[等价无穷小量：若 则称 与 是當 时的等价无穷小量。??0lim1xfg??fg0x?记作 ??~xfg当 时常用等价无穷小：（ⅰ） ；（ⅱ） ；01~xe???ln1~x?（ⅲ） ；（ⅳ） xxxxxx x?????????????????? ???????????????????124、洛比达法则求极限 ]3[洛比达法则：设：(1)当 时，函数 及 都趋于零； xa??xfF(2)在点 的去惢邻域内 及 都存在且 ； a??xf???0x??(3)当 时 存在(或为无穷大)，那么 时 x???limxaF? a?????limlixxaffF???再设：(1)当 法则算不出结果，不等于极限不存在例如：就是如此。这是因为 Hospital 法则只是充分条件不是必sinlim1cox????要条件。（3）用 Hospital 法则求极限时经常与等价无穷法联用。（4） 型的 Hospital 法则使用时只需检验分母趋向于无穷大即可，分子不趋向 没有关系5、泰勒公式求极限泰勒公式：若函数 在点 存在直至 3184xx????????????（2）原式??????1limanfaanffe???????????????????6、定积分的定义求极限定义：设 在 上可积，则有??xf??,ab????1liinbxaffd???????其中 常取：i?1,2n??（1） ??iai??（2） ibn（3） ??21i i??例题：求 222lmn nn??? ??? ??? ??7解：设 222211nn ina i????????????此和式可看作函数 在 上的定积分的一个黎曼和式即将??2xf??0,区间 等分，介点取每个小区间的右端点所以??0,1n12201 1limli arctn04nn dxa xi ???????????????7、利用连续性求极限定义：若 在点 连续，则有f0x??00limlixxf????????例题：求 ?2limsn????解： ??22 2sisi sin1n????????????由于初等函数在有定义的地方皆连续所以原极限 22sinlmsin11????????????参考文献：[1].《数学分析 》上册第五版华东师范大学數学系编高等教育出版社[2].《高等数学竞赛教程 》 （第二版） 卢兴江、金蒙伟主编 P6-P10 8[3].《数学分析中的典型问题与方法》 （第二版）

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浅谈高数中求解函数极限的方法

　　关键词： 高等数学 函数极限 求解联盟
　　中图分类号：G42文献标识码：A文章编号：（2011）32-0239-01
　　1函数极限的相关概念及性质
　　函数的极限與数列的极限比较类似可以考虑自变量x→+∞时，f（x）所呈现出的变化趋势；也可以考虑当自变量x→a时f（x）所呈现出的变化趋势。不过與数列的极限相比而言函数的极限复杂程度比较高，其根本原因就是由于自变量性质的变化呈现出多样性不过通过分析可以发现，这種复杂性很多时候体现在对极限期定义叙述有所不同等方面而在其它方面，例如极限的性质、运算以及相关的证明方法等都与数列的极限极为相似在理解函数的极限概念时，主要有以下两个定义：
　　第一设f是定义在[a，+∞）的函数其中A为实数，在任给的ε>0的条件下有正数Ｍ（≥a）存在，如果x>M则有| f（x）A| <ε，此时就可以认为在x→+∞A就是函数f的极限，其表达式为：f（x）→A（x→+∞）第二，假设f（x）函數是在点x0的某个空心邻域U0（x0；δ′）中有定义，此时A为定数，如果对于任给的ε>0δ（<δ′）>0，使得当0<| x-x0 |<δ时则| f（x）-A |<ε，则当x趋于x0时可以稱函数f以A为极限，或者也可以称作A是x→x0时f（x）的极限其可以记为f（x）→A（x→x0）。由上述两个概念的分析过程就可以出函数极限的思想及性质如果要利用函数极限进行解题，就要对函数极限各种性质进行熟练的掌握而函数极限的性质可以为以下几点：第一，函数极限有局部有界性即如果f（x）→A（x→x0），则在x0的某个去心邻域内f（x）有界；第二函数极限表现出显著的唯一性，即当x→x0时存在f（x）极限，則这个极限是独一无二的；第三函数极限表现出局部保号性，即如果f（x）→A（x→x0）并且A>0或者<0，则对于任何正数rr>0或者f（x）<-r<0；第四函数極限表现出相应的迫敛性，即当函数g（x）≤f（x）≤h（x）以及limg（x）=Alimh（x）=A两个条件同时具备时，则imf（x）存在并且等于A
　　2求解函数极限的方法
　　在求极限的过程中，利用一些运算方法与技巧以相关的概念、定理和公式为依据进行快速求解。下面我们来看几种求解函数极限的方法
利用极限的描述性定义我们可以将极限的描述性进行如下定义：如果自变量的绝对值|x|无限增大，则函数值f（x）也会相应与常数A無限的接近此时就可以称当x趋向无穷时函数f（x）以A为极限；或者f（x）收敛至A，可以记为A或f（x）→A（x→∞）通过上述描述性说明就可以進行函数极限的估算，而且方法非常简单六种基本初等函数的极限都可以按照描述性定义，与图像相结合后方便的得出不过对于六类基本的初等函数极限需要牢固的掌握，这也是求解复杂函数极限的基础理论但是一些极限的定义容易被混淆，在实际应用的过程中要特別注意
　　2.2 运用两个重要极限求函数极限
　　①重要极限一。■中sinx和x是两个类型完全不同的函数，但是却可以通过该极限促使三角函數和一次函数之间建立起关系二者之间的比值得以实现。而且该极限的应用范围非常广泛在解决一些实际问题时非常有效。例如下题：
　　解：■■=■■=■■
　　 =■■=lim2*■■■■■=■
　　某些三角函数相关的极限可以利用该极限方便的求出比如：
　　lim■，或者lim■等等通过该重要极限均可将这些函数的极限方便、快捷的求出。
　　②重要极限二■1+■■=e
　　求lim1+■■，这其中a和b均为常数
　　在该重要极限中，x趋近无穷而x1趋近于0，该条件与上个重要极限一样要同时满足上述条件才能使用。不过如果使得x=■因为x→∞，因此y→0则该重偠极限可以进行如下代换：
　　■（1+y）■，则可进一步得出重要极限的另外一种形式因此该极限能够扩充为两个极限，为：■1+■■=e以忣lim（1+x）■。在运用该极限时必须注意的是要看x所趋近的是0还是∞如果x→∞，括号内一定要是■其指数为x；如果x→0，则括号内为x指数為■，这些在应用时必须注意相对应不可混淆，如果有一项无法匹配该重要极限就不能用。
　　此外还有四则运算法则等方法，不過因为四则运算方法是最基础的方法之一它与结构良性知识比较接近，在实际的应用过程中只需掌握相关四则运算法则就能够将法则矗接套用进去最终求解，因此此处不做赘述总之，高等数学中极限的地位非常突出而在数列极限与函数极限中，函数极限的作用尤其突出
　　[1]罗伟.探讨求函数极限的三种常用方法[J].数学学习与研究，2011（1）.
　　[2]扶炜刘松.常见的函数极限求法分析[J].时空，2010（4）.
　　[3]张锐.函数極限求解方法归纳[J].周刊2011（5）.

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