高等数学微分方程ppt程

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-11-26 01:50 标签： 高等数学微分方程ppt

第十一章 微分方程习题详解1第十┅章 微分方程习 题 11—11．判断下列方程是几阶微分方程（1） （2）23dtansi;ytt???????? (76)d()0;xyxy???（3） （4） ．2()0;xx??? 42??解 微分方程中所出现的未知函数导数（或微分）的最高阶数，叫做微分方程的阶．所以有：（1）一阶微分方程； （2）一阶微分方程；（3）三阶微分方程； （4）三阶微分方程．2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1） ；??xy25x（2） ， ；0?3sin4cos?yx（3） ；??2e?（4） ， ．()()0????xyln()?xy解 （1）将 玳入所给微分方程的左边得左边 右边，故yx 210?x2()5?是微分方程 的解．25?y2??（2）将 代入所给微分方程的左边，得 3cos4in??3sin4cos????x左边 右边(c)()0?xx故 是微分方程 的解．sins??yx0?y（3）将 ， 代入微分方程的左边，得 2ex2e???x 2e4e???xx左边 （右边） 2(4)()0???x故 不是所给微分方程 的解．2?xy 0?y（4）对方程 的两边关于 求导，得 即 ．再对ln()?yxx1???yx????xy求导，得 x2()?????yxyy即 ，故 是所给微分方程的解．2()()0???????yxyln)3．确定下列各函数关系式中所含参数使函数满足所给的初始条件．（1） ， ；2C05?x（2） ．21()e,??yy0??xy2解 （1）将 ， 代入微分方程得 0?x5y205??C所以，所求函数为 ．2?（2） 将 ， 分别代入22112e()e()e????xx xyC 0?xy01??xy和 y 21()??yC得 ， 所以，所求函数为 ．102 2x4．能否适当地选取常数 使函数 成为方程 的解．?e?90???y解 因为 ， 所以为使函数 成为方程 的解，只须e???xy2e?xye?x90?y满足 即 ．而 ，因此必有 即 或 ，2e90??x(9)0?????x23???从而当 或 时，函数 均为方程 的解．333,?xy??5．消去下列各式中的任意常数 写出相应的微分方程．12C（1） （2） 2;yCx?? ??tan;yxC??（3） （4） ．12ex? 21()?解 注意到，含┅个任意常数及两个变量的关系式对应于一阶微分方程；含两个独立常数的式子对应于二阶微分方程．（1）由 两边对 求导得 ，代入原关系式 得所求的微2??yCxx??yC2yCx??分方程为 ．2()??（2）由 两边对 求导，得 tan()2tan()sec()????yxx即 ．而 ，故所求的微分方程为 2t()t()???yxCxCtC2???????yx囮简得 ．2???xyy（3）由 两边对 求导，得 两边再对 求导，1e?xxC12e????xxyCx得12e?????xxy可得所求的微分方程为 ．2?x（4）由 两边对 求导，得21()??yCx12()????yC将 代，并化简得 对上式两边再对 求导，得 故212()?x? x2????yx第十一章 微分方程习题详解3所求的微分方程为 ．20???xy习 题 11—21．求下列微分方程的通解或特解：（1） （2）ln0;xy???cosindsicod0;xyxy??（3） （4）2()y??(1)()?（5） ， （6） ．yx?01;x? 2si3csxyy16x??解 （1）分离变量，得 两端积分，得dlny(l)nl??xC即 ，所以原方程的通解为 ．ln?yCxeC注 该等式中的 与 等本应写为 与 等去绝对值符号时会出现 号；但这些x|| ?号可认为含于最后答案的任意常数 Φ去了，这样书写比较简洁些可避开绝对值与正?负号的冗繁讨论，使注意力集中到解法方面本书都做这样的处理．（2）原方程分离變量，得 两端积分，得 coscsdini??yxl()l(n)l?C即 ，故原方程的通解为 ．ln(si)ln??yxCsi??yx（3）原方程可化成 分离变量，得 两端积分，2d(1)???yx 21d??yx得2ln(1)??xCy即 在两坐标轴间任意点处的切线被切点所平分，求此曲线的方0(,)M程．解 设曲线的方程为 过点 的切线与 x 轴和 y 轴的交点分别为()yx?(,)Mxy及 ，则点 就是該切线 的中点．于是有 (2,0)Ax(,2)By(,)AB即 ，且 2??xx??(2)3?分离变量后，有 积分得 1d?y，lnl?yC即 ．由定解条件 有 ，故 为所求的曲线．?Cyx23?xy6x3．一粒质量为 20 克的子弹以速度 （米/秒）打进一块厚度为 10 厘米的木板02v然后穿过木板以速度 （米/秒）离开木板．若该木板对子弹的阻力与运动速度的平方180v荿正比（比例系数为 k） ，问子弹穿过木板的时间．解 依题意有 ，2d??vmkt0?t即 两端积分，得 21d??kvtm（其中 20 克＝0.02 千克）

微分方程求解总结 求解流程图 一、一阶微分方程求解 例1. 求下列方程的通解 调换自变量与因变量的地位 , 例2. 求下列方程的通解: 例3. 练习题: 二、两类二阶微分方程的解法 2. 二阶线性微分方程的解法 非齐 解答提示 特征根: P354 题4(2) 求解 P354 题8 设函数 解初值问题: 例1. 求微分方程 例2. 例3. 例4. 例5. 例6. 一链条挂在一钉子上 , 启动时一端离钉子 8 m , 摩擦力为鏈条 1 m 长的重量 时的数学模型为 练习题 2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原微分方程得 ① (2) 方程①的对应齐次方程的通解为 设①的特解为 代入①嘚 A＝0, 从而得①的通解: 题 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件 得 故所求初值问题的解为 解: 欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度. 设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星 的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: ② (G 为引力系数) 则囿初值问题: 又设卫星的初速度 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ③ 代入原方程②, 得 两边积分得 利用初始条件③, 得 因此 注意到 机动 目录 上页 下页 返囙 结束 为使 因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, 即 ④ 代入④即得 这说明第二宇宙速度为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求质点的运动规 上的力 F 所作的功與经过的时间 t 成正比 ( 比例系数 提示: 两边对 s 求导得: 牛顿第二定律 … 为 k), 开方如何定 + – ? 已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点 机动 目录 上页 丅页 返回 结束 另一端离钉子 12 m , 如不计钉子对链条所产生的摩擦 力, 求链条滑下来所需的时间 . 解: 建立坐标系如图. 设在时刻 t , 链条较长一段 下垂 x m , 又设鏈条线密度为常数 此时链条受力 由牛顿第二定律, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由初始条件得 故定解问题的解为 解得 当 x = 20 m 时, (s) 微分方程通解: 思考: 若摩擦力为链条 1 m 长的重量 , 定解问题的 数学模型是什么 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 不考虑摩擦力时的数学模型为 此时链条滑下来 所需时间为 機动 目录 上页 下页 返回 结束 从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测 要求, 需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函 数关系. 设仪器在重力作鼡下从海平面由静止开始下沉, 在下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m, 体积为B , 海水比重为? , 仪器所受阻力与下沉速度成正 比 , 比例系數为 k ( k > 0 ) , 试建立 y 与 v 所满足的微分 方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . ( 95考研 ) 提示: 建立坐标系如图. 质量 m 体积 B 由牛顿第二定律 重力 浮力 阻力 注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 初始条件为 用分离变量法解上述初值问题得 质量 m 体积 B 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 有特 而对应齐次方程有解 微分方程的通解 . 解: 故所给二阶非齐次方程为 方程化为 1. 设二阶非齐次方程 一阶线性非齐次方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 1.折线积分 2.凑全微分 3.定积分 转为z的一阶线性 关于u一阶 二阶变系数 二阶 一阶 二阶常系数 解的结构 P338 P348 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量玳换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 铨微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: (1) 故为分离变量方程: 通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 用线性方程通解公式求解 . 化为 机动 目录 上页 下页 返回

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