关于数学微积分不定积分

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2018-11-26 01:50 标签： 数学微积分

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第八章 不定积分 教学要求： 1.积分法是微分法的逆运算要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法則熟练掌握不定积分的基本积分公式。 2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分）熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函數的不定积分运用分部积分公式并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积汾练习题从而逐步达到快而准的求出不定积分。 3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础要求学生：掌握囮有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有悝函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。 教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式； 教学时数：18学时 § 1 不定积分概念与基本公式（ 4学时 ） ?教学要求： 积分法是微分法的逆运算要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其の间的区别；掌握不定积分的线性运算法则熟练掌握不定积分的基本积分公式。 教学重点：深刻理解不定积分的概念 一、新课引入： 微分问题的反问题，运算的反运算. 二、讲授新课： （一）不定积分的定义: 1.原函数： 例1 填空: ; ( ; ; ; ; . 定义. 注意 是 的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性个数，求法. 原函数的个数: Th 若 是 在区间 上的一个原函数, 则对 都是 在区间 上的原函数；若 也是 在区间 上的原函数，则必有 . ( 证 ) 可见若 有原函数 ，则 的全体原函数所成集合为 { │ Ｒ}. 原函数的存在性: 连续函数必有原函数. ( 下章给出证明 ). 可见, 初等函数在其定义域内有原函数; 若 茬区间 上有原函数, 则 在区间 上有介值性. 例2. 已知 为 的一个原函数, =5 . 求 .? 2.不定积分—— 原函数族：定义； 不定积分的记法；几何意义. 例3 ; . ? （二）不定積分的基本性质: 以下设 和 有原函数. ⑴ . (先积分后求导, 形式不变应记牢！). ⑵ . (先求导后积分, 多个常数需当心！) ⑶ 时 （被积函数乘系数，积分运算往外挪！） ⑷ 由⑶、⑷可见, 不定积分是线性运算, 即对 , 有 ( 当 时,上式右端应理解为任意常数. ) 例4 . 求 . ( =2 ).? （三）. 不定积分基本公式: 基本积分表. [1]P180— 公式1—14. 例5 . 换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分）熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题从而逐步达到快而准的求絀不定积分。 教学重点：熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式； 一、新课引入：由直接积分的局限性引入 二、讲授新课： （一）. 第一类换元法 ——凑微分法： 由 引出凑微公式. Th1 若 连续可导, 则 该定理即为：若函数 能分解为 就有 . 例1 . 例2 . 例3 常见微分凑法： 凑法1 例4 例5 例6 例7 甴例4—7可见常可用初等化简把被积函数化为型，然后用凑法1. 例8 ⑴

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