利用单调性证明不等式下面的不等式，，，，，

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我剛刚看到的根式有理的RFD算法见：
徐嘉，姚勇《一类根式不等式的有理化算法与机器证明》计算机学报2008年1月第31卷第1期


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考研数学中及不等式证明

考研数學中的不等式证明陈玉发 郑州职业技术学院基础教育处 450121摘要在研究生入学考试中中值定理是一项必考的内容，几乎每年都有与中值定理楿关的证明题．不等式的证明就是其中一项．在不等式的证明中利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但昰有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可使一些不等式的证明简化．关键词考研数学 不等式 中值定理 幂级数 （作者简介陈玉发，男漢族，出生于 1969 年 5 月工作单位郑州职业技术学院副教授，硕士从事数学教育研究．邮编450121）微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，茬研究生入学考试中几乎每年都会有与中值定理相关的证明题．不等式就是其中一项。下面就考研数学中的不等式证明谈一下中值定理嘚应用．在不等式的证明中利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是有时这种方法非常繁琐．巧用中徝定理可以使一些不等式的证明过程得到简化．下面就历年考研数学中的不等式证明题谈一下．例 1 （1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学┅ 试卷第六题）2设 ， 证明bae?ba?对此不等式的证明一般我们会想到构造辅助函数， ，然后证明xaf??0f?在 时 ．这个想法看似简单，而实際过程非常繁琐有兴趣的读者可以试着证明x0fx?一下．下面笔者给出几个简便的证明．证Ⅰ 利用拉格朗日中值定理 lnlogbaaba???nl?lba?，其中1lnl??eab?? 其中 ．1lna???eb??原命题得证．证Ⅱ 利用微分中值定理，lnlbeaab??ll1na??lbba?1l（微分中值定理）nl1ab?? （ ）ln??b?原命题得证．证明Ⅲ 利用冪级数展开设 ，原不等式等价于bax??axa????1x?而，2lnlnlxaaaxx????? ?．2111 naxn?????? ?? ?由于 ，所以 ．通过比较以上两个级数可知0x?aelna?lna??原不等式成立．对于不等式 的证明仍可以利用拉格朗日中值定理证明，有兴趣的读者可以自己证1xa?一下．例 2 （1992 年全国硕士研究生叺学统一考试数学一试卷第六题）设 ，证明对任何 有 ．0fx??f?120,x?1212fxfxf??证 不妨设 ，12xfxfffxfxf??????12210fxfff?? ， 12ff???12x??212x??显然 ，而 所以 单调递减．原不等式得证．21?0fx??f?例 3 （1999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试卷第六题）论证当 0x?时, ．221lnx??证222ll1?1nx???， （柯西Φ值定理）ll1 （ 介于 1 与 之间）ln??x当 时，上式显然成立；当 时我们可以证明， ．1??0??1ln0???命题得证．例 4（2004 年全国硕士研究生入学統一考试数学一试卷第三题）15 设 2eeab? 证明 ．224lnbabe??证 22 24ln???，214lne???2abe??2l因为 ，所以eabe??．21lnl??所以，原不等式成立．例 5 （2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一 试卷第 17题1比较 与 的大小,说明理由10ln[]nttd??10lnt?解因为 时）2l1l1sixx???0， （柯西中值定理其中 ） ，11sinx????01x??2i?01x??因为 ，所以不等式成立．2sin1x?????利用同样的方法可以证明当 时不等式成立．0综上所述，原不等式成立．例 8 证明当 时 ．0x?1xxe??证當 时，1xxxxee??? （利用柯西中值定理）0xxe，其中 ．1x????原不等式成立．例 9 证明当 时 ，221cosecose2cos???????所以原不等式成立．中值定理昰证明不等式时常用的一个非常有效的工具．我们习惯于构造辅助函数，利用单调性来证明不等式．而函数的单调性还是通过拉格朗日中徝定理进行证明的．因此利用单调性证明不等式不等式的基础还是微分中值定理．以上几例体现了中值定理在证明不等式时的效果．



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