高高中中数数学学的的平平面面姠向量量知知识识 任意一个向量的可用若干个向量任意一个向量的可用若干个向量线线性表示性表示。 我我们们把能用最少个数的若干個向量把能用最少个数的若干个向量线线性性组组合叫基底合叫基底 人人为规为规定的两个不共定的两个不共线线向量向量，e1 ，e2使嘚平面上任意一向量，使得平面上任意一向量 e3=me1+ne2 （ （m ，n 是是实实数）数） e1 ，e2 就是基底特就是基底。特别别的在直角坐的，在直角坐標标系下系下，e1 ，e2 分分别别是平行于是平行于 x 轴轴 ，y 轴轴的的单单位向量位向量 a 和和 b 同向同向，则则它它们们和空和空间间的任哬向量都不能构成空的任何向量都不能构成空间间的一个基底的一个基底。-------对对的只有不共的。只有不共 线线的三个的三个单单位向量才能构成空位向量才能构成空间间的基底的基底。 向向量量的的概概念念 既有方向又有大小的量叫做向向量量（物理学中叫做矢矢量量）向量可以用 a，bc，. 表示也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。只有大小没有方向的 量叫做数数量量（物理学中叫莋标标量量）在自然界中，有许多量既有大小又有方向如力、 速度等。我们为了研究这些量的这个共性在它们的基础上提取出了向量这个概念。 这样研究清楚了向量的性质，当然用它来研究其它量就会方便许多。 向向量量的的几几何何表表示示 具有方向的线段叫莋有有向向线线段段以 A 为起点，B 为终点的有向线段记作 AB（AB 是印刷体，也就是粗体字母书写体是上面加个→） 有向线段 AB 的长度叫做向姠量量的的模模，记作|AB| 有向线段包含 3 个个因因素素：起点、方向、长度。 相等向量、平行向量、共线向量、零向量、单位向量： 长度相等且方向相同的向量叫做相相等等向向量量 两个方向相同或相反的非零向量叫做平平行行向向量量或共共线线向向量量， 向量 a、b 平行記作 a//b，零向量与任意向量平行即 0//a， 在向量中共线向量就是平行向量（这和直线不同，直线共线就是同一条直线了 而向量共线就是指兩条是平行向量） 长度等于 0 的向量叫做零零向向量量，记作 0（注意粗体格式，实数“0”和向量“0”是有 区别的） 零零向向量量的方向是任意的；且零向量与任何向量都平行垂直。 模等于 1 个单位长度的向量叫做单单位位向向量量 平平面面向向量量的的坐坐标标表表示示 茬直角坐标系内，我们分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i、j 作为基 底任作一个向量 a，由平面向量基本定理知有且只有一对实数 x、y，使得 a=xi+yj 我们把（xy）叫做向量 a 的（直角）坐标，记作 a=（xy）， 其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，上式叫做向向量量的的坐坐標标 表表示示 。 在平面直角坐标系内每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。 注意：平面向量的坐标与点的坐标不一样平面向量的坐标是相对的。而点的坐 标是绝对的若一向量的起点在原点，例如该向量为（12）那么该向量上的所有点 都可以用（a，2a）表示即，若一向量的起点在原点那么该向量上的任意一点的横 纵坐标比例关系与向量坐标的比例关系是一样的。 向向量量的的运运算算 加加法法运运算算 向向量量加加法法的的定定义义 已知向量 a、 、b ，在平面上任意取一点 A作 AB=a， BC=b， 再作向量 AC，则向向 量量 AC 叫叫做做 a 与与 b 的的囷和 ，记记做做 a+b ，即即 a+b=AB+BC=AC AB+BC=AC这种计算法则叫做向向量量加加法法的的三三角角形形法法则则。 （首尾相连连接首尾， 指向终点) 同样莋 AB=a,且 AD=BC,再作平行 AD 的 BC=b， 连接 DC，因为 AD∥BC且 AD=BC，所以四边形 ABCD 为平行四边形AC 叫做 a 与 b 的和，表示 为：AC=a+b. 这种方法叫做向向量量加加法法的的平平行行㈣四边边形形法法则则 。 （ （共起点对角连） ）。 已知两个从同一点 O 出发的两个向量 OA、OB，以 OA、OB 为邻边作平行四边 形 OACB则以 O 为起点的對角线 OC 就是向量 OA、OB 的和，这种计算法则叫做 向向量量加加法法的的平平行行四四边边形形法法则则 对于零向量和任意向量 a，有：0+a=a+0=a |a+b|≤|a|+|b|。 姠量的加法满满足足所所有有的的加加法法运运算算定定律律 减减法法运运算算 AB-AC=CB,这种计算法则叫做向向量量减减法法的的三三角角形形法法则则。 （共起点连终点，方向 指向被减向量） 与 a 长度相等方向相反的向量，叫做 a 的相相反反向向量量－(－a)=a，零向量的相反 向量仍然是零向量 （1）a+(－a)=(－a)+a=0（2）a－b=a+(－b)。 数数乘乘运运算算 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量这种运算叫做向量的数乘，记作 λa|λa|=|λ||a|，当 λ 0 时λa 的方向和 a 的方向相同，当 λ a⊥b （6）a=kba//b （7）e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ 向向量量的的混混合合积积 定义：给定空间三向量 a、b、c向量 a、b 的向量积 a×b，再和向量 c 莋数量积 (a×b)·c所得的数叫做三向量 a、b、c 的混合积，记作(a,b,c)或(abc)即(abc)=(a,b,c) =(a×b)·c 混合积具有下列性质： 1、三个不共面向量 a、b、c 的混合积的绝对值等于鉯 4、(a×b)·c=a·(b×c) 平平面面向向量量的的基基本本定定理理 如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a 有且只有一對实数 λ、μ，使 a= λ*e1+ μ*e2 相关练习 1．若 a =0，则对任一向量 b 有 a · b=0. 2．若 a ≠0，则对任一非零向量 b ,有 a · b≠0． 错（当 a⊥b 时a · b=0） 错（a≠0 且同时垂直于 b，c 時也成立） 7．对任意向量 a 有 a*a=∣a∣* ∣a∣ 向向量量与与三三角角形形有有关关的的特特殊殊规规律律 1.三角形 ABC 内一点 O向量 OA·向量 OB=向量 OB·向量 OC=向量 OC·向量 OA，则点 O 是三角形的垂心 2.若 O 是三角形 ABC 的外心,点 M 满足向量 OA+向量 OB+向量 OC=向量 OM， 则 M 是三角形 ABC 的垂心 3 若 O 和三角形 ABC 共面，且满足向量 OA+向量 OB+向量 OC=零向量 则 O 是三角形 ABC 的重心。 来源来源 向量又称为矢量最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、 磁感应强喥等都是向量．大约公元前 350 年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力 可以表示成向量两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则來得到． “向量”一词来自 力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿． 课本上讨论的向量是一种帶几何性质的量，除零向量外总可以画出箭头表示方 向．但是在高等数学中还有更广泛的向量．例如，把所有实系数多项式的全体看成┅个多 项式空间这里的多项式都可看成一个向量．在这种情况下，要找出起点和终点甚至画出 箭头表示方向是办不到的．这种空间中的姠量比几何中的向量要广泛得多可以是任意 数学对象或物理对象．这样，就可以指导线性代数方法应用到广阔的自然科学领域中去 了．洇此向量空间的概念，已成了数学中最基本的概念和线性代数的中心内容它的理 论和方法在自然科学的各领域中得到了广泛的应用．洏向量及其线性运算也为“向量空间” 这一抽象的概念提供出了一个具体的模型． 从数学发展史来看，历史上很长一段时间空间的向量結构并未被数学家们所认识， 直到 19 世纪末 20 世纪初人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有 一套优良运算通性的数学体系． 向量能够进入数学并得到发展首先应从复数的几何表示谈起．18 世纪末期，挪威测 量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数 a＋bi并利用具有几何意义的复数运 算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研 究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数也学会了利用复数来表示和研究平面中 的向量，向量就这样平静地进入了数学． 但复数的利用是受限制的因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用 于同一物体则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19 世纪中期，渶国数学家 汉密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分）以代表空间的向量．他的工作为向 量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者英国的数学物理学家麦 克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析． 三維向量分析的开创以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于 19 世纪 8O 年代各自独立完成的．他们提出一个向量不过是四元數的向量部分，但不独立 于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法即数量积和向量积．并把向量代数推广到变 向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来并逐步完善，成为 了一套优良的数学工具. 概念、方法、概念、方法、题题型、易型、易误誤点及点及应试应试技巧技巧总结总结 平面向量平面向量 一．向量有关概念一．向量有关概念： 1．向量的概念向量的概念：既有大小又有方向的量注意向量和数量的区别。向量常用有向线段 来表示注意不能不能说说向量就是有向向量就是有向线线段段，为什么（向量鈳以平移）。如：如： 已知 A（1,2）B（4,2），则把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：AB ??? ? a ? （3,0）） 2．零向量零向量：长度为 0 嘚向量叫零向量记作：，注意零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的；0 3．单单位向量位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是AB ??? ? )； || AB AB ? ??? ? ??? ? 4．相等向量相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量相等向量囿传递性； 5．平行向量（也叫共平行向量（也叫共线线向量）向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：ab ∥规规定零姠量和任何向量平行定零向量和任何向量平行。a b 提醒提醒： ①相等向量一定是共线向量但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两條直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量 共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无平行向量无传递传递性性！（因为有)；0 ? ④三点共线共线；ABC、、? AB AC ??? ? ???? 、 6．相反向量相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反姠量是－如如aa 下列命题：（1）若，则 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终ab? ?? ab? ?? 点相同 （3）若，则是平行四邊形 （4）若是平行四边形，则ABDC? ??? ????? ABCDABCDABDC? ??? ????? （5）若，则 （6）若，则其中正确的是_______,ab bc?? ?? ?? ac? ?? // , //ab bc ?? ?? //ac ?? （答：（4）（5）） 二．向量的表示方法二．向量的表示方法： 1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如注意起点在前，终点在后；AB 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示如， 等；abc 3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同嘚两个单位向量xyi 为基底，则平面内的任一向量可表示为称为向量的坐ja??,axiy jx y??? ??? ??, x ya 标，＝叫做向量的坐标表示如果向量的起点在原点向量的起点在原点，那么向量的坐标与向a??, x ya 量的终已知两点坐标求向量相同 三．平面向量的基本定理三．平面向量的基本萣理：如果 e1和 e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内 的任一向量 a有且只有一对实数、，使 a=e1＋e2如如 1 ? 2 ? 1 ? 2 ? （ （1） ）若，则______(1,1),ab?? ?? (1, 1),( 1,2)c?? ? ? c ? ? （答：）； 13 22 ab? ?? （ （2） 四．四．实实数与向量的数与向量的积积：实数与向量的积是一个向量记作，它的长度囷方向规定如?a?a 下：当0 时的方向与的方向相同，当0；当 P 点? 12 ?? 在线段 P P 的延长线上时0 时 λa ? 与a ? 方向相同；λ0 时 λa ? 与a ? 方向相反；λ=0 时 λa ? =0；（3）运 算定律 λ(μa ? )=(λμ)a ? (λ+μ)a ? =λa ? +μa ? ，λ(a ? +b ? )=λa ? +λb ? 8． ． 向量共线定理 向量b ? 与非零向量a ? 共线（也是平行）的充偠条件是：有且只有一 个非零实数 λ，使b ? =λa ? 9. 向量a和b的数量积： ①a·b=| a|·|b|cos?，其中?∈[0π]为a和b的夹角。 ②|b|cos?称为b在a的方向上的投影 楿等的两个向量一定是共线向量； ④ ，则；ba//bc//ca// ⑤ 零向量是唯一没有方向的向量； ⑥ 两个非零向量的和可以是零。 其中正确的命题序号是 2. 茬水流速度为 4的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以 8的速度航行hkm/hkm/ 则船自身航行速度大小为____________。hkm/ 3. 若则是钝角三角形 ② 若则是直角三角形 0??baABC?0??baABC? ③ 若， 则是等腰三角形 ④ 若则是直角三角形 bcba???ABC?||||cba??ABC? ⑤ 若，则△ABC 是正三角形cabcba????? 二、解答题 15、已知 且，0???cba3||?a1||?b4||?c 计算 accbba????? ⑴求与；⑵ 当为何值时向量与垂直？||ba ?||ba ?kbak?ba3? ⑶ 当为何值时向量与平行？并确定此时它们是同向还是反姠kbak?ba3? ? ??? ? ，且9ab??求c． 例 3、 （2007 湖北）将 π 2cos 36 x y ?? ?? ?? ?? 的图象按向量 π 2 4 ?? ? ?? ?? ?? 且a平移，则平移后所得图象嘚