线代求特征向量值

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-06-28 04:07 标签： 线代求特征向量

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1第五章 《特征值与特征向量》自測题（100 分钟）一、填空题：（共 18 分每小题 3 分）1、设三阶矩阵 的特征值为－1，12，则 －1 的特征值为（ ） ； *的特征值为AAA（ ） ；（3 + ）的特征值為（ ） E2、设三阶矩阵 ＝0，则 的全部特征向量为（ ） 3、若 ～E，则 ＝（ ） 4、已知 ＝ 与 相似，则 =（ ） =（ A??????x102?B???????102yxy） 。5、设三阶实对称矩阵 的特征值是 12，3矩阵 的属于特征值 1，2 的特征向量分别A是 ，则 的属于特征值 3 的特征向量是（ 1(,)T???T),(2??） 6、設 n 阶方阵 A 有 n 个特征值分别为 2，34，…n，n+1且方阵 B 与 A 相似，则|B-E|=______________二、选择题（共 18 分每小题 3 分）1、已知三阶矩阵 A 的特征值是 0，-22，则下列结論中不正确的是（A） 矩阵 A 是不可逆矩阵（B） 矩阵 A 的主对角线元素之和为 0（C） 特征值 2 和-2 所对应的特征向量是正交的（D） AX=0 的基础解系由一个向量组成 2、矩阵 A 与矩阵（ ）相似???????30（A） ； （B） ； （C） ； （D）????????????301??????30??????3103、下述结論正确的有（ ） 。（A） 阶矩阵 可对角化的充分必要条件是 有 个互不相同的特征值；nAn（B） 阶矩阵 可对角化的必要条件是 有 个互不相同的特征徝；（C）有相同特征值的两个矩阵一定相似；（D）相似的矩阵一定有相同的特征值4、下述结论正确的有（ ） ，其中 为 阶矩阵An2（A）方程 嘚每一个解向量都是对应于特征值 的特征向量；0)(0??xAE? 0?（B）若 为方程 的一个基础解系，则 （ 为21,?)( 21?C?21,非零常数）是 的属于特征值 的全部嘚特征向量；0?（C） 与 有相同的特征值和相同的特征向量；T（D） 与 有相同的特征多项式A5、设 有 3 个线性无关的特征向量，则 应满足条件（ ）???????01yx yx和（A） ；（B） ；（C） ；（D） yx??2?2?6、已知 ,其中 , 是属于特征值 的特征向量. 10P???????10???????21??????1?是属于特征值 的特征向量,则矩阵 P 不能为31??????????123() ,)A?213() ,)B?,C?D?三、计算题（共 49 分）1、 （共 15 分）设 A 为三阶矩阵， ， 是线性无關的三维列向量且满足：1a2?3 ??323①（5 分）求矩阵 B，使得： （ ， ）=（ ， ）B ；A1?231?23②（5 分）求矩阵 的特征值；③（5 分）求可逆矩阵 使嘚 为对角形矩阵。P1?2、 （共 10 分）设三阶实对称矩阵 的秩为 2 是 的二重特征值。若621??A ， 都是 的属于特征值 6T)01(??T)(2??T)3(3??的特征向量①（5 分）求 的另一特征值和对应的特征向量；A②（5 分）求矩阵 。33、 （共 15 分）设三阶实对称矩阵 的各行元素之和均为 3向量 ，AT)12(1???是齐次线性方程组 的两个解T，)10(2???0?X①（5 分）求 的特征值与特征向量； ②（5 分）求正交矩阵 和对角矩阵 使 ；Q?AQT③（5 分）求 及 ，其中 为三阶单位矩阵A6)23(E4、 （共 9 分）设11????????求 。nA四、证明题（共 15 分每小题 5 分）1、 （5 分）设 是 n 阶正交矩阵，且 则 是 的一个特征值。1??AA2、 （5 分）设 是矩阵 的两个不同的特征值对应的特征向量分别为， 21,? 1?，则 线性无关的充分必要条件是： 。?)(2??A02??3、 （5 分）设 为 阶矩阵且存在向量 ，有n0?i ),1(nLii?令： ， ,),(iL?21??32????1??讨论 线性相关性并加以证明。12,.n?4自测题参考答案一、填空题1、 ； ； )2(，?)1(?)542(2、 ，其中 ，3?C?T0,?T)0,1(2?? （ 为不全为零的任意常数） 。T),0(3??321,3、 E4、 ,yx5、 ， （ 为非零常数） TC)2(?C6、n！二、选择题1、C 2、C 3、D 4、D ???????????BE∴ 41321，∴ 的特征值为：11，4A③ 当 ??02031????? xXBE与与?解之，一个基础解系为： ????,,,,221 TT??当 ????????? 0-04 321x与与?解之┅个基础解系为： ?,3T?令 （ ， ）?Q1?23 ???????????????????Q，则 ????????411B令 （ ） （ ）P1?23?Q1?23???????120=（2 - 2 - + ）13323则 ??AP1 ???????411BQ2、解：∵ 是 的二重特征值621?∴ 的属于特征性 6 的线性无关的特征向量有 2 个，由题设知： 为 的属于特征值 6 的線性无关的T)01(??T)12(??A特征向量。又∵r 2)(A∴ ，6∴ 的另一特征值 设 的所对应的特征向量为：A03??3，则有： 即：Tx),(21?,01??T,2T…………（ ）????3x?解（ ） 得一基础解系为： ，???T,?故 的属于特征值 的全部特征向量为： A03??Tk)1,(???)0(?k②令 ,则有：123,P????????061AP∴ =A106???????= ??????102??????06?????????312= ???????423、解：①∵ TTA)3,()1,(?∴ 是 的特征向量。又 都是 的解说0?A21,?Q0?AX明它们也都是 嘚特征向量，特征值为 0；由于 线性无关21,特征值 0 的重数大于 1，于是 的特征值为：30，0；属于 3 的特征向量为： ；属于 0 的特征向量为：)(0?C?不铨为零） ；2121,C?②将 单位化得： ，对 施密特正交化得：0?T???????3,0?21,?， 令：T?2,1 T???????6,2，则 是正交矩阵并且),(10?QQ7????????031AQT③∵ 03??A1?22∴ （ ， ）= （3 ， ）0101??2?即： =?

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