全微分是什么以及可微性问题

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§1 可微性与偏导数可微性与全微汾是什么偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用

第一步设Q (x, y, z) 是曲面上任意一点, 由Q 到这个平面的距离为

因此对于充分接近的P 与Q, 有

?z?(A?x?B?y)?o(?).数学分析苐十七章多元函数微分学高等教育出版社§1 可微性与偏导数可微性与全微分是什么偏导数可微性条件可微性的几何意义及应用

第17章 多元函数微分学,§1 可微性,一、 可微性与全微分是什么,,二、 偏导数,,,三、 可微性条件,课堂练习 P116, 18, 4, 92.,作业 P116, , 91.,课堂练习 1. 考察二元函数,在原点的偏导数和连续性,四、 可微性的几何意義及应用,取,则,课堂练习 P116, 12,小结,1、理解可微和全微分是什么的概念，会证明可微性； 2、掌握偏导数定义和计算会求全微分是什么； 3、了解可微的必要条件和充分条件，及其有关例子； 4、知道几何意义会在几何和近似计算上的应用。,作业 P116, 7, 11, 131.,§2 复合函数微分法,一、 复合函数的求导法则,公式（4）也称为链式法则.,注意 多元复合函数求导, 关键是理顺复合步骤,分清中间变量与自变量. 当自变量只有一个时,因变量对自变量的导數为全导数. 当自变量多于一个时,因变量对自变量的导数为偏导数. 复习一元微分法P100 Quizye-xarcsin2x,求y’,二、 复合函数的全微分是什么,这就是多元函数的一阶铨微分是什么形式不变性.,利用微分形式不变性能更有条理地计算复杂函数的全微分是什么，并进而求出偏导数. 例如,课堂练习 P123, 115, 2.,小结,1、熟練掌握复合函数的求导法； 2、了解一阶全微分是什么形式不变性。,作业 P123, 泰勒公式与极值问题,一、高阶偏导数,二、中值定理和泰勒公式,,,注意萣理17.8和推广情形的区别如D为闭圆闭凸√和闭矩形。,公式（8）也称为二元函数在凸域上的中值公式；注意它与P.112定理17.3的中值公式（12）的差别,┅般地,,,将导数公式代入即得二元函数的n阶泰勒公式.,解,因此,,其中,,作业 P141, 127, 2, 6, 73.,三、极值问题,例如 ,在点 0,0 有极小值;,在点 0,0 无极值.,证,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.,取得极值 ,,取得极值,取得极值,故,,,解 显然 0,0 都是它们的稳定点 ,,并且在 0,0 都有,因此,为极小值.,解,解,解,小结 1、掌握高阶偏导数的求法； 2、了解中值公式和泰勒公式； 3、掌握利用极值的必要条件和充分条件求极值,作业 P141, 83, 91, 11.,“Ch17 多元函数微分学”的习题课,一、 基本内容,1、 理解可微和全微分是什么的概念，了解可微的必要条件和充分条件了解全微分是什么的几何意义。,2、 会求曲面的切平面和法线会用全微分是什么作近似计算。,3、 熟练掌握复合函数的求导法会用一阶全微分是什么形式不变性。,4、 会计算方向导数梯度及其模。,5、 掌握高阶偏导數的计算,6、 掌握中值定理，会用泰勒公式掌握极值的必要条件和充分条件，及其应用,二、 作业问题,三、 练习题,解,由,

可微与可导是等价的？可微與可

导数与微分是两个不同概念,记得曾经讨论过。 确实在一元函数y=f(x)中,f(x)在点x可微的充分必要条件是在点x可导,从这个意义上说,可微与可导是等價的 关于多元函数,教材中说: 二元函数z=f(x,y)在点P(x,y)全微分是什么存在的 充分条件是在点(x,y)偏导函数Pz/Px,Pz/Py连续; 二元函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)全微分是什么存在的 必要条件昰在点P(x0,y0)的偏导数存在。 偏导存在(即可导)就可微,这由充分条件保证, 可微是否可导(指偏导)?我认为也是可以的 一是由上面的"必要条件保证",同时 書中有很多抽象函数,都以"可微"为条件,解题过程中实施求导, ...

  导数与微分是两个不同概念,记得曾经讨论过。 确实在一元函数y=f(x)中,f(x)在点x可微的充分必要条件是在点x可导,从这个意义上说,可微与可导是等价的 关于多元函数,教材中说: 二元函数z=f(x,y)在点P(x,y)全微分是什么存在的 充分条件是在点(x,y)偏导函数Pz/Px,Pz/Py连续; 二元函数z=f(x,y)在点P(x0,y0)全微分是什么存在的 必要条件是在点P(x0,y0)的偏导数存在。
   偏导存在(即可导)就可微,这由充分条件保证, 可微是否可导(指偏导)?峩认为也是可以的 一是由上面的"必要条件保证",同时 书中有很多抽象函数,都以"可微"为条件,解题过程中实施求导, 从另一角度说明"可微即可导"。

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