本科毕业论文题目： 什么叫做矩阵的可交换矩阵嘚性质及矩阵什么叫做矩阵的可交换的条件      学院：    数学与计算机科学学院    班级：   数学与应用数学级班  姓名：       郭立秀         指导教师：张红玉职称：  副教授    完成日期：    年   月  日什么叫做矩阵的可交换矩阵的性质及矩阵什么叫做矩阵的可交换的条件摘要:矩阵是贯穿高等代数的核心,本文从茭换矩阵的定义出发,通过对矩阵理论的深入研究对什么叫做矩阵的可交换矩阵做了深入的探讨归纳总结了什么叫做矩阵的可交换矩阵的一些性质矩阵什么叫做矩阵的可交换的充分条件、充要条件,求一个矩阵的什么叫做矩阵的可交换矩阵的方法,及其在线性代数解题中的应用,并對这些内容进行了举例论证关键词:矩阵什么叫做矩阵的可交换什么叫做矩阵的可交换矩阵运算性质目 录引言  什么叫做矩阵的可交换矩阵的性质  矩阵什么叫做矩阵的可交换的条件  矩阵什么叫做矩阵的可交换的充分条件  矩阵什么叫做矩阵的可交换的充要条件  什么叫做矩阵的可交換矩阵的求法  例题论证  参考文献  引言在高等代数以及线性代数的中,矩阵是一个重要的内容由矩阵的理论可知,矩阵的乘法不同于数的乘法,矩陣的乘法不满足交换律,即当矩阵有意义时,矩阵未必有意义,即使、矩阵都有意义时它们也未必相等或者说,在一般情况下,矩阵,但是在某些特殊凊况下,矩阵的乘法也是满足交换律的,从而研究矩阵与的关系具有重要的意义我们知道若对阶实方阵、,如果满足,则称,什么叫做矩阵的可交换什么叫做矩阵的可交换矩阵有许多良好的性质,研究矩阵什么叫做矩阵的可交换的条件及什么叫做矩阵的可交换矩阵的一些性质对矩阵理论嘚研究具有重要的意义什么叫做矩阵的可交换矩阵的性质性质 设与什么叫做矩阵的可交换矩阵,若与均为对合矩阵,则也为对合矩阵证明因,又,,所以也为对合矩阵性质 设与什么叫做矩阵的可交换矩阵,若与均为幂等矩阵,则,也为幂等矩阵证明 因,又,,,故也是幂等矩阵,有:性质 若,什么叫做矩阵嘚可交换,且是可逆的,则,也是什么叫做矩阵的可交换阵证明 因,可逆,存在,故,,,即,什么叫做矩阵的可交换性质 若,什么叫做矩阵的可交换,且是正交矩陣,则,也什么叫做矩阵的可交换证明因,是正交阵,故,,即,交换性质设与什么叫做矩阵的可交换矩阵,若、均为幂幺矩阵,则也为幂幺矩阵证明因,,,,可证嘚性质 设与什么叫做矩阵的可交换,若、均为幂零矩阵,则也为幂零矩阵证明因,,,,即为幂零矩阵性质 若与什么叫做矩阵的可交换,则以下结论成立：(),其中,分别为正整数()()证明 ()由已知,可得,()、()可由数学归纳法证得性质型如且的二阶上三角阵的什么叫做矩阵的可交换阵仍是二阶上三角矩阵且,其中为任意实数证明又,,所以性质 型如且三阶上三角矩阵的什么叫做矩阵的可交换矩阵仍是三阶上三角矩阵,且其中为任意实数证明又,且故性質 与型如二阶方阵什么叫做矩阵的可交换的矩阵为二阶方阵,其中为任意实数证明,故性质 型如三阶方阵的什么叫做矩阵的可交换阵为三阶方陣,其中为任意实数证明,故性质 如与什么叫做矩阵的可交换,则在复数域上、至少有一个公共的特征向量证明设是复数于上维线性空间,是的一組基,,使,由于,因此所以,在复数域上,必有特征值并存在非令向量使得故,又,所以为与的公共的特征向量复数域上的特征向量为,在下的向量组是与嘚公共的特征向量性质 设,是阶复矩阵,,则存在一个阶可逆矩阵,使得与同为上三角矩阵证明 对,的阶数作数学归纳法当时,结论显然成立假设结论對于阶矩阵也成立当,的阶数为时,由于,,至少有一个公共的特征向量,设,,将扩充为的一组基(均为列向量)设()()由得:,于是,由归纳法假设,存在阶可逆矩阵使得,令,由()、()两式,有,令,则,矩阵什么叫做矩阵的可交换的条件矩阵什么叫做矩阵的可交换的充分条件定理()设,至少有一个为零矩阵,则,什么叫做矩陣的可交换()设,至少有一个为单位矩阵,则,什么叫做矩阵的可交换()设,至少有一个为数量矩阵,则,什么叫做矩阵的可交换()设,均为对角矩阵,则,什么叫莋矩阵的可交换()设,均为准对角矩阵,则,什么叫做矩阵的可交换()设是的伴随矩阵,则与什么叫做矩阵的可交换()设可逆,则与什么叫做矩阵的可交换()設,则,什么叫做矩阵的可交换证明()对任意矩阵,均有:,表示零矩阵()对任意矩阵,均有:,表示单位矩阵()对任意矩阵,均有:,为任意实数(),()显然成立()()()时,,均可逆,且互为逆矩阵定理()设,其中,为非零实数,则,什么叫做矩阵的可交换()设,其中为正整数,为非零实数,则,什么叫做矩阵的可交换证明()由可得即,故依定理得,於是,所以()由得,故依定理得,于是,所以可得定理()设可逆,若或或,则,什么叫做矩阵的可交换()设,均可逆,若对任意实数,均有,则,什么叫做矩阵的可交换证奣()若,由可逆得,从而,故若,同理可得,故若,则,故()因,均可逆,故由得可逆,且,则两边取转置可得或由两边取逆可得矩阵什么叫做矩阵的可交换的充要条件定理：下列均是,什么叫做矩阵的可交换的充要条件:()()()()证明 ()由,及可证得()由可证得()分别由,两边取转置可证得()分别由,两边取伴随可证得定理可逆矩阵,什么叫做矩阵的可交换的充要条件是证明分别由,两边取逆可证得定理()设,均为(反)对称矩阵,则,什么叫做矩阵的可交换的充要条件是为对称矩阵()设,有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则,什么叫做矩阵的可交换的充要条件是为反对称矩阵证明()设,均为对称矩阵,由定理(),,因此为对称矩阵若,均为反对称矩阵,则因此也为对称矩阵仿()可证()定理设,均为对称正定矩阵,则,什么叫做矩阵的可交换的充要条件是为对称正定矩阵证明 充分性甴定理()可得,下面证明必要性    因,为对称正定矩阵,故有可逆矩阵,,使,于是,所以为对称正定矩阵,其特征值全为正数而与相似,从而的特征值也全为正數,因此为对称正定矩阵定理 ,,则与什么叫做矩阵的可交换的充分必要条件是、什么叫做矩阵的可交换证明因,,,得,,,所以、什么叫做矩阵的可交换叧一方面,,,所以、什么叫做矩阵的可交换什么叫做矩阵的可交换矩阵的求法定理 若,,其中则与任意方阵什么叫做矩阵的可交换定理若,,其中则什麼叫做矩阵的可交换的矩阵一定是对角矩阵定理一般地,对于任意方阵,可化为Jordan标准型其中为阶单位方阵,即存在可逆矩阵,使,这样和与什么叫做矩阵的可交换的矩阵应满足,即把等式两边同时左乘,右乘得到：,则与什么叫做矩阵的可交换的矩阵,记作可由以下定理得到定理设则矩阵方程嘚一般解有以下结构：把写成分块矩阵其中为矩阵块若(),则为零阶矩阵若（）,则为任意的上三角形矩阵证明把写成于准对角型矩阵相应的分塊矩阵其中为矩阵块则按照分块矩阵的乘法规则,方程可表示成个矩阵方程：,设,即……………()可能出现两种情况当时,将等式()两边同乘以,而在等式右边将用代入,重复这一步骤次得到以下关系式……………   ()又……………    ()在（）式中取,则()式右端的和式中每一个项至少满足一下关系式嘚一个,由()有或又当时,()式变为……………    ()设,则方程()与一下方程同解：其中 即中,位于与对角线平等的每一条线上的元素彼此相等,且(Ⅰ)当时其中為任意参数(Ⅱ)当<时：(Ⅲ)当>时:中任意参数的个数等于数与中较小的一个例题论证例若其中,求什么叫做矩阵的可交换矩阵解 由性质,,其中为任意實数例 若其中,求什么叫做矩阵的可交换矩阵解 由性质其中为任意实数例 设,,求所有与什么叫做矩阵的可交换的矩阵,及所有与什么叫做矩阵的鈳交换的矩阵解 设与什么叫做矩阵的可交换的矩阵　由,得,,,,,,,,,故所求同样可以求得与什么叫做矩阵的可交换矩阵也是例()设矩阵为为对角矩阵,其Φ时,,则,什么叫做矩阵的可交换的充要条件是为对角矩阵()设为准对角矩阵,其中时,,是阶单位矩阵,,则,什么叫做矩阵的可交换的充要条件是为准对角矩阵证明()若,均为对角矩阵,则由定理()知,什么叫做矩阵的可交换若与什么叫做矩阵的可交换,时设,,,∵为对角矩阵,∴,由,即得而时,,故,∴为对角矩阵汸()不难证明()例 已知阶方阵的Jordan标准型为即存在可逆,使则的初等因子为设与什么叫做矩阵的可交换的矩阵其中为矩阵块,的分块方法与相同,则其怹使不为零的上三角形矩阵又与的最大公因式为所以有个非零参数同理与的最大公因式的次数为,所以和都有个非零参数以此类推,可将表示荿其中啊为非零参数,则与什么叫做矩阵的可交换的矩阵由以上求法可以看出,如果阶方阵的特征艮没有重根,则与什么叫做矩阵的可交换的矩陣只有数量矩阵和零矩阵例　设,是阶复矩阵,其中是幂零矩阵而且,求证证明 由于,由性质,存在阶可逆矩阵,使得与同为上三角矩阵,又是幂零矩阵,故其特征值全为零于是,有,从而,,故参考文献北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等代数M版北京：高等教育出版社杨子胥高等代数习題解M济南：山东科技出版社阎家灏,赵锡英什么叫做矩阵的可交换矩阵J兰州工业高等专科学校学报布合力且木·阿不都热合木论什么叫做矩阵的可交换矩阵的一些性质J和田师范专科学校学报曾梅兰线性变换及阵矩什么叫做矩阵的可交换的性质与应用J孝感学院学报戴立辉等矩阵什麼叫做矩阵的可交换的条件及什么叫做矩阵的可交换矩阵的性质J华东地质学院学报姜景莲什么叫做矩阵的可交换矩阵的性质与求法J南平师專学报金辉矩阵什么叫做矩阵的可交换的充要条件J沈阳师范大学学报KailathTLinearSystemsEnglewoodCliffs,NJ:PrenticeHall,CARoveda,RMSchmidUpperboundonthedimensionofminimalrealnatlonsofhneartimelnvanantsystemsIEEETransactionsonAutomaticControlCommutativeMatrixNatureandtheMatrixCanExchangedConditionsAbstract:MatrixisperforativeAdvancedAlgebracore,thisarticlebasedonthedefinition,switchingmatrixbythedeepresearchinthetheoryofmatrices,madeaindepthexchangeofmatrix,andsummarizedthediscussessomepropertiesofexchangeofmatrix,thematrixcanexchangesufficientconditionsarederived,askedforamatrix,theexchangeofmatrixmethodandtheapplicationinlinearalgebraproblemsolving,andthecontentoftheseforexampledemonstratedKeywords:matrixcommutativematrixoperationproperties

给定一个方阵AAX-XA=0是关于X的分量的線性方程组，按普通线性方程组的解法解出来就行了

满足乘法交换律的方阵称为什么叫做矩阵的可交换矩阵，即矩阵AB满足：A·B=B·A。高等代数中什么叫做矩阵的可交换矩阵具有一些特殊的性质下面所说的的矩阵均指n 阶实方阵。

下面是什么叫做矩阵的可交换矩阵的充分条件：

将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积 矩阵的分解法一般有三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解等。

知道一个矩阵,如何求他的什么叫莋矩阵的可交换矩阵
知道一个矩阵A=[0 1 0],如何求他的什么叫做矩阵的可交换矩阵