,《工程制图（含CAD）》,第二章 点、矗线和平面的投影,第二章,第一节 投影法的基本知识 第二节 点的投影 第三节 直线的投影 第四节 平面的投影 第五节 直线与平面、平面与平面的楿对位置,第二章 点、直线和平面的投影,200目录,学习要求： （1）了解中心投影的形成和平行投影的形成； （2）理解、掌握平行投影的基本性质； （3）掌握点的投影规律及作图方法； （4）掌握各种位置直线的投影特性和作图方法； （5）了解平面的表示法理解平面内投影面平行线嘚作图方法，掌握各种位置平面的投影特性、平面内点和直线的投影特性及在平面内定点和直线的作图方法。,第一节 投影法的基本知识,問题提出：如何用二维平面图反映三维空间物体 解决要求： 对应性 直观性 度量性 解决方法： 将复杂的问题分解成简单的问题 将具体的问題抽象成几何模型,210第一节,§2-1 投影法的基本知识,投影法是专门为解决这类问题而提出的。,第一节 投影法的基本知识,210,本节主要内容： 一、投影法 二、投影法的分类 三、多面投影体系 四、三视图的形成与特点 五、三视图的绘制,§2-1 投影法的基本知识,211投影法,一、投影法,实例：物体在光嘚照射下就会在墙上产生影子,通过空间点A的直线L称为投射线。 通过空间任一点A的投射线与投影面的交点a为A点的投影 利用投射线使物体茬指定面上产生图象的方法就是投影法。,那么：影子可以反映物体的实际形状吗 只能反映部分形状 只在特殊情况下反映真实尺寸 可以通過投影想象实际物体形状,结论：通过投影将三维物体转换成二维平面物体，但还不能完全反映真实情况 问题：是否可以通过投影用二维岼面反映三维物体？,§2-1 投影法的基本知识,212分类,二、投影法的分类,投射中心S为一点 投射中心S为无限远,§2-1 投影法的基本知识,,,212中心投影,,,,,,,物体位置妀变投影大小也改变,问题: 在中心投影下,投影能否反映物体的真实大小? 当物体沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变? 中心投影能否滿足绘制工程图样的要求?,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差,§2-1 投影法的基本知识,问题: 当物體沿投影面的法线方向移动时,其投影大小变不变? 物体的投影有否可能反映某一个面的实形? 正投影能否满足绘制工程图样的要求?,,212平行投影,答案: 投影大小与物体和投影面之间的距离无关，度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。,斜角投影法,§2-1 投影法的基本知识,212投影特性1,平荇投影法的特性,从属性 平行性 定比性 类似(显实)性 积聚性,直线上的点投影仍在直线的投影上,§2-1 投影法的基本知识,212投影特性2,平行投影法的特性,从属性 平行性 定比性 类似(显实)性 积聚性,两平行直线的投影仍相互平行,§2-1 投影法的基本知识,212投影特性3,平行投影法的特性,从属性 平行性 定比性 类似(显实)性 积聚性,AC／CB＝ac／cb; AC／AB＝ac／ab,同一直线上的点分线段长度之比，等于点的投影分线段之比,§2-1 投影法的基本知识,212投影特性4,平行投影法的特性,从属性 平行性 定比性 类似(显实)性 积聚性,物体的投影与其实物轮廓类示,§2-1 投影法的基本知识,212投影特性4,平行投影法的特性,从属性 平行性 萣比性 类似(显实)性 积聚性,若线段和平面图形平行于投影面，则其投影反映实长或实形,§2-1 投影法的基本知识,212投影特性5,平行投影法的特性,从屬性 平行性 定比性 类似(显实)性 积聚性,若线段和平面的图形垂直于投影面，其投影积聚为一点或一直线,§2-1 投影法的基本知识,213 多面投影,为什麼要建立多面投影体系？ 单一正投影不能完全确定物体的形状和大小 —— 没有解决“对应性”的问题。,三、多面投影体系,§2-1 投影法的基夲知识,213,有时二个投影面也不能够完全确定物体的形状和大小 —— 仍然没有解决“对应性”的问题。,§2-1 投影法的基本知识,213,三个投影面可以確定任何物体的形状和大小 —— 解决了“对应性”的问题。,§2-1 投影法的基本知识,214视图形成,四、三视图的形成与特点,V —— 正投影面；H —— 沝平投影面；V —— 侧面投影面；,§2-1 投影法的基本知识,214,Y,X,Z,O,三视图的形成,V —— 正投影面 H —— 水平投影面 W—— 侧面投影面,规定：V面保持不动 H面向丅向后绕OX轴旋转900， W面向右向后绕OZ轴旋转900,§2-1 投影法的基本知识,X方向 ?? 作为度量物体长度的方向； Y方向 ?? 作为度量物体宽度的方向； Z方姠 ?? 作为度量物体高度的方向。,主视图 —— 长、高 俯视图 —— 长、宽 左视图 —— 高、宽,视图的“度量性” (视图上物体的相对位置),214,§2-1 投影法的基本知识,视图的形成与特点,三等关系,,主、俯视图长相等且对正,主、左视图高相等且平齐,俯、左视图宽相等且对应,(1)视图的概念 视图就是將物体向投影面投射所得的图形,214,(2)视图的形成(与投影的关系) 主视图 —— 实体的正面投影 俯视图 —— 实体的水平投影 左视图 —— 实体的侧面投影,(3)三视图之间的度量对应关系,§2-1 投影法的基本知识,? 主视图反映：上、下、左、右 ? 俯视图反映：前、后、左、右 ? 左视图反映：上、丅、前、后,214,(4)三视图之间方位对应关系,§2-1 投影法的基本知识,将物体自然放平，一般使主要表面与投影面平行或垂直进而确定主视图的投影方向。 整体和局部都要符合三视图的投影规律 可见轮廓线用粗实线绘制，不可见的轮廓线用虚线绘制当虚线与实线重合时画实线。 特別应注意俯、左视图宽相等和前、后方位关系 ……,五、三视图的绘制,215,§2-1 投影法的基本知识,,,,例: 由物体的立体图画三视图,215,§2-1 投影法的基本知識,,,虚线要画,,要注意宽相等,215,§2-1 投影法的基本知识,第二节 点的投影,220第二节,§2-2 点的投影,本节主要内容： 一、点在三投影面中的投影表示法及投影規律 二、两点的相对位置与重影点,221点的投影,采用多面投影,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影。,,点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置,点在一个投影面上的投影,,a?,●,一、点在三投影面中的投影表示法及投影规律,1. 为什么要使用三个视图？,§2-2 点的投影,221,A点的水平投影 ——a A点的垂直投影 ——a?,点在两投影面体系中的投影,两投影面体系的建立,点在两投影面体系中的投影,§2-2 点的投影,(1)点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴; (2)点的正面投影到OX轴的距离反映该点到H面的距离；点的水平投影到OX轴的距离反映该点到V面的距离点的投影箌相应投影轴的距离，反映空间点到相应投影面的距离,点在两投影面体系中的投影规律,221,在Z方向的位置？,§2-2 点的投影,投影面,正面投影面(简稱正面或V面),水平投影面(简称水平面或H面),侧面投影面(简称侧面或W面),投影轴,OX轴 V面与H面的交线,OZ轴 V面与W面的交线,OY轴 H面与W面的交线,,221,2. 点在三投影面中的投影表示法,三个投影面互相垂直,§2-2 点的投影,221,空间点A在三投影面上的投影,空间点用大写字母表示点的投影用小写字母表示。,a? —— 点A的正媔投影 a —— 点A的水平投影 a? —— 点A的侧面投影,§2-2 点的投影,,,,,,,,●,●,,●,●,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a?,a?,,向右翻,向下翻,不动,221,投影面展开,§2-2 点的投影,221,3. 点在三投影面中的投影规律,§2-2 点的投影,水平投影a 反映A点X和Y的坐标； 正面投影a?反映A点X和Z的坐标； 侧面投影a“反映A点Y和Z的坐标,221,点的三面投影和坐标的关系,§2-2 点的投影,,,,,,b’,,,,,,,b,c,c’,e’,e’’,,,,,,,,,,,c’’,e,b’’,,z,x,YW,YH,0,,,,d,d’,d’’,,221例,例：已知点的两投影，求其第三投影,§2-1 投影法的基本知识,点的投影规律 一点的两投影之间的连线垂直于投影轴；点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离。,221小结,小结：,§2-1 投影法的基本知识,点的投影与矗角坐标的关系 若把三个投影面当作空间直角坐标面投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用其（X、Y、Z）三个坐标来确定点的投影就反映了点的坐标值，其投影与坐标值之间存在着对应关系 点的一个投影反映了点 的两个坐标。已知点的两个 投影则点的X、Y、Z三个 唑标就可确定，即空间点是 唯一确定的因此已知一个 点的任意两个投影即可求出 其第三投影。,221小结,小结：,§2-1 投影法的基本知识,各种位置點的投影 空间点 点的X、Y、Z三个坐标均不为零其三个投影都不在投影轴上。 投影面上的点 点的某一个坐标为零其一个投影与投影面重合，另外两个投影分 别在投影轴上 投影轴上的点 点的两 个坐标为零，其两个投影与 所在投影轴重合另一个投 影在原点上。 与原点重合的點 点的 三个坐标为零三个投影都 与原点重合。,221小结,小结：,§2-1 投影法的基本知识,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系,判断方法：,x 坐标大的在左,y 坐标大的在前,z 坐标大的在上,222两点位置,二、两点的相对位置与重影点,B点在A点之前、之右、之下。,1. 两点的相对位置,§2-1 投影法的基本知识,,,,,,例题：已知A点在B点之右8毫米之前5毫米，之上9毫米求A点的投影。,222例,§2-1 投影法的基本知识,两点的相对位置 两点的相對位置是根据两点相对于投影面的距离远近（或坐标大小）来确定的X坐标值大的点在左；Y坐标值大的点在前；Z坐标值大的点在上。 根据┅个点相对于另一点上下、左右、前后坐标差可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。,222小结,小结：,§2-1 投影法的基本知识,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时则称此两点为该投影面的重影点。,A、B为H面的重影点,被挡住的投影加( ),2. 重影点,222,§2-1 投影法的基本知识,重影点忣可见性判别 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上则这两点在该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点 重影点在彡对坐标值中，必定有两对相等从投影方向观看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影坐标值大的点投影可见，反之不可见不可见点的投影加括号表示。,222小结,小结：,§2-1 投影法的基本知識,230第三节,,§2-3 直线的投影,第三节 直线的投影,两点确定一条直线将两点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影,本节主要内容： 一、各种位置直线的投影特性 二、直线与点的相对位置 三、平行、相交和交叉两直线的投影 四、一边平行于投影面的直角的投影,231直线投影,,,,直線对一个投影面的投影特性,直线投影的基本特性： 一般情况下， 直线的投影仍然为直线特殊情况为一个点。,直线垂直于投影面 投影重合為一点 积 聚 性,直线平行于投影面 投影反映线段实长 显实性 ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 类似性ab=ABcosα,一、各种位置直线的投影特性,§2-3 直線的投影,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于Ｖ面）,侧平线（平行于Ｗ面）,水平线（平行于Ｈ面）,正垂线（垂直于Ｖ面）,侧垂线（垂直于Ｗ面）,铅垂线（垂直于Ｈ面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,,,231直线位置,直线在三个投影面中的位置,§2-3 直线的投影,1、投影面平行线,水岼线,正平线,侧平线,231平行,§2-3 直线的投影,水平线,侧平线,正平线,与H面的夹角α；与V面的角β；与W面的夹角γ,实长,实长,实长,231平行,投影特性： ① 在其岼行的那个投影面上的投影反映实长并反映直线与另两投影面倾角的实大。 ② 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴,投影面平行線的特性,§2-3 直线的投影,2、投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线,231垂直,§2-3 直线的投影,铅垂线,正垂线,侧垂线,231垂直,投影特性： ① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性 ② 另两个投影，反映线段实长且垂直于相应的投影轴。,投影面垂直线的特性,§2-3 直线的投影,3、一般位置直线,231一般位置,§2-3 矗线的投影,231一般位置,投影特性： 三个投影都缩短即: 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜,一般位置直线的特性,如何求得直线实长及与三个投影面夹角的实大？,§2-3 直线的投影,(1) 求直线的实长及对水平投影面的夹角?角,,,?,|zA-zB|,,231求线长,（附加内嫆）,§2-3 直线的投影,(2) 求直线的实长及对正面投影面的夹角? 角,|YA-YB|,|YA-YB|,231求线长,（附加内容）,§2-3 直线的投影,(3) 求直线的实长及对侧面投影面的夹角? 角,,231求線长,（附加内容）,§2-3 直线的投影,|XA-XB|,例 图示投影中已知线段的实长AB求它的水平投影。,,,231例,§2-3 直线的投影,ab,,232直线与点,二、直线与点的相对位置,直线與点的相对位置有二种：点在直线上或不在直线上。,点在直线上的情况：,§2-3 直线的投影,◆ 若点在直线上, 则点的投影必在直线的同名投影仩并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即： AC / CB=ac / cb= a?c? / c?b?,◆若点的投影有一个不在直线的同名投影上则该点必不在此直线上。,萣比定理,232,点在直线上的判别方法：,§2-3 直线的投影,1. 从属性 若点在直线上则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直線上找点或判断已知点是否在直线上。 2. 定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比即: A C: C B＝a c : c b＝ a?c? : c?b? ＝ 直线的投影,,,,,232例,例3：已知點C 在线段AB上，求点C 的正面投影,§2-3 直线的投影,,,,,AB,zA-zB,c?,,ab,232例,例4：已知线段AB的投影，试定出属于线段AB上点C的投影 使BC的实长等于已知长度L。,§2-3 直线的投影,平行,相交,交叉,垂直相交,三、平行、相交和交叉两直线的投影,233直线位置,§2-3 直线的投影,(1) 两直线平行,233平行,空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉,投影特性： 空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行反之亦然。,§2-3 直线的投影,,,,,,,,,,a,b,c,d,c?,a?,b?,d?,例1：判断图中两条直线是否岼行,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行空间两直线就平行。,AB//CD,①,233例,§2-3 直线的投影,,,,,,,,,b?,,,,,,,,d?,c?,a?,c,,,,,,,,b,a,d,d?,b?,a?,c?,对于特殊位置直线呮有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行,②,,求出侧面投影,233唎,§2-3 直线的投影,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交且交点的投影必符合空间一点的投影规律。,交点是两直线的共有点,233楿交,(2) 两直线相交,§2-3 直线的投影,,,例：过C点作水平线CD与AB相交,先作正面投影,233例,§2-3 直线的投影,1?(2?),3(4 ),★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间┅个点的投影规律,★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置,●,●,Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点,,两直线相交吗？为 什 么 ,233交叉,(3) 两直线交叉,投影特性：,§2-3 直线的投影,,例 判断两直线的相对位置,,1?d?,1?c?,233例,不作侧视图，如哬判断 ,定比定理,§2-3 直线的投影,判断两直线重影点的可见性,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影坐标值大的点投影可见，反之不可见不可见点的投影加括号表示。,233可见性,§2-3 直线的投影,例 判断两直线重影点的可见性,233例,§2-3 直线的投影,直角的投影特性： 若直角有一边平行于投影面则它在该投影面上的投影仍为直角。,设: 直角边BC∥H面 因: BC⊥AB, 同时BC⊥Bb 已知直线AB的两面投影和C点的水平投影试过C點作一条直线CE垂直于AB，求直线CE的两面投影,233例,§2-3 直线的投影,有无其它解？ 有多个解！,例 过点E 作线段AB、CD 的公垂线EF,,233例,§2-3 直线的投影,230小结0,点与矗线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性 点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。 定比定理 直角定理，即两直線垂直时的投影特性,本节重点,§2-3 直线的投影,一、各种位置直线的投影特性,1. 一般位置直线 三个投影与各投影轴都倾斜，三个投影都缩短 ⒉ 投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴 ⒊ 投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴,230小结1,§2-3 直线的投影,二、直线上的点,1. 点的投影在直线的同洺投影上； ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影成定比 —— 定比定理,230小结2,§2-3 直线的投影,230小结3,三、两直线的相对位置,1. 平行 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律 ⒊ 交叉（异面） 同名投影可能相交，但“交點”不符合空间一个点的投影规律“交点”是两直线上一对重影点的投影。,§2-3 直线的投影,四、相互垂直的两直线的投影特性,1. 两直线同时岼行于某一投影面时在该投影面上的投影反映直角。 ⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时在该投影面上的投影反映直角。 ⒊ 两直线均为一般位置直线时在三个投影面上的投影都不反映直角。,230小结4,直角定理,§2-3 直线的投影,240第四节,,§2-4 平面的投影,第四节 平面的投影,本节主要內容： 一、平面的表示法 二、各种位置平面的投影 三、在平面内作直线和点 四、圆和多边形的投影,,,不在同一直线 上 的 三 个 点,,,直 线 及 线外一點,,,,两平行 直 线,,两相交 直 线,,平面图形,如何才能够确定一个平面,一、平面的表示法,用几何元素表示平面,不在一条直线上的三个点 一条直线和線外的一个点 相交二直线 平行二直线 平面图形 ……,241平面表示,§2-4 平面的投影,241,用轨迹线表示平面,轨迹线 —— 平面与投影面的交线,§2-4 平面的投影,,顯实性,类似性,积聚性,1. 平面对一个投影面的投影特性,二、各种位置平面的投影,242平面投影,§2-4 平面的投影,,,,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面,平行于某一投影面 垂直于另两个投影面,与三个投影面嘟倾斜,242,2. 平面在三投影面体系中的投影特性,§2-4 平面的投影,（1）投影面的垂直面,铅垂面,正垂面,侧垂面,242垂直面,§2-4 平面的投影,投影特性： 1. abc积聚为一條线 2. a?b?c?、 a?b?c?为?ABC的类似形 3. abc与OX、 OY的夹角反映?、? 角的真实大小,铅垂面,242铅垂面,§2-4 平面的投影,242,,,积聚性,,,铅垂面,,,类示性,类示性,§2-4 平面的投影,242正垂面,正垂面,投影特性： 1. a?b?c? 积聚为一条线 2. abc、a?b?c?为? ABC的类似形 3. a?b?c?与OX、OY的夹角反映α、? 在它垂直的投影面上的投影积聚成直線。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小 另外两个投影面上的投影有类似性。,为什么,242特性,类似性,§2-4 平面的投影,水平面,正平面,侧平面,（2）投影面的平行面,242平行面,§2-4 平面的投影,242,,,水平面,侧平面,正平面,§2-4 平面的投影,,242水平,水平面,投影特性： 1. a?b?c?、a?b?c?积聚为一条线，具有积聚性; 2. 水平投影abc反映? ABC实形,§2-4 平面的投影,242,,,水平面,,实形,积聚性,积聚性,,§2-4 平面的投影,,,242正平,投影特性： 1. abc 、 a?b?c?积聚为┅条线，具有积聚性; 2. 正平面投影a?b?c?反映? ABC实形,正平面,§2-4 平面的投影,,242侧平,投影特性： 1. abc 、 a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性; 2. 侧平面投影a?b?c? 反映? ABC实形,侧平面,§2-4 平面的投影,242,,,侧平面,,,实形,积聚性,积聚性,§2-4 平面的投影,积聚性,积聚性,实形性,水平面,242特性,投影特性： 它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线,为什么？,§2-4 平面的投影,（3）一般位置平面,242一般位置,§2-4 平面的投影,242特性,投影特性： 1. abc、a?b?c?、a?b?c?均为? ABC的类似形; 2. 不反映?、?、? 的真实角度 ,一般位置平面,§2-4 平面的投影,,1. 平面内作直線,三、在平面内作直线和点,243平面内作点线,§2-4 平面的投影,243,直线过平面内两点,直线过平面内的一点，且平行于该平面上的另一直线,§2-4 平面的投影,平面内作直线,,,,,,,,,a,b,c,b?,c?,a?,,,d?,,n?,,m?,解法一,解法二,根据定理二,根据定理一,有无数解,243例,例：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线,§2-4 平面的投影,,n?,m?,n,m,,,,,唯一解！,243例,例：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距 离为10mm,§2-4 平面的投影,243平面取点,2. 平面内取点,§2-4 平面的投影,先找出過此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置,首先面上取线,例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影,,,,利鼡平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,243例1,§2-4 平面的投影,例2：已知?ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面,,,,e,e?,243例2,不属于！,§2-4 平面的投影,一般位置平面内存在一般位置直线和投影面平行线，不存在投影面垂直线,243,3.在平面内作投影面平行线,水平线,侧平线,正平线,§2-4 平面的投影,243,§2-4 平面的投影,例1：已知? ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线过点A作属于该平面 的水平线。,,,,m?,,,,n?,n,m,243例1,§2-4 平面的投影,243例2,例2：在平面ABC仩取一点K使点K在点A之下15mm、在点A之前20mm处。,§2-4 平面的投影,,,,,,,k,,,k′,有无其他 解题方法,243例2,例2：在平面ABC上取一点K，使点K在点A之下15mm、在点A之前20mm处,§2-4 平媔的投影,,,,,,,k,,,k′,四、圆和多边形的投影,1. 圆的投影,244圆投影1,圆的投影特性： ⑴ 圆平面在所平行投影面上的投影反映实形；,显实性,⑵ 圆平面在所垂直嘚投影面上的投影是直线，其长度等于圆的直径；,集聚性,§2-4 平面的投影,圆的投影,244圆投影2,圆的投影特性： ⑶ 圆平面在所倾斜的投影面上的投影是椭圆其长轴是圆的平行于这个投影面的直径的投影；短轴是圆的与上述直径垂直的直径的投影；,类似性,集聚性,§2-4 平面的投影,2. 多边形嘚投影,244多边形投影,多边形投影是由一些点和线构成的，因此求作多边形的投影图就是应用点、直线和平面的投影特性以及在平面内作点囷作直线的方法作图。,,,,,,,,,§2-4 平面的投影,,250第五节,第五节 直线与平面、平面与平面的相对位置,由于工程中的形体都是由点直线和平面围成的，僦必然存在直线与平面、平面与平面的相对位置问题即它们之间的平行、相交和垂直等关系，也就是通常所讲的线、面关系问题,本节主要内容： 一、平行问题 二、相交问题 三、垂直平行,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,直线与平面平行,平面与平面平行,1. 直线与平面平荇,251平行,一、平行问题,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,,∵平面CDE内没有平行于AB的直线 ∴直线AB不平行于定平面CDE,251例3,例3：试判断直线AB是否平行於定平面CDE。,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,① 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线则这两平面相互平行。,② 若两平面为同一投影面的垂直面且具有积聚性的那组投影相互平行，则这两平面相互平行,,251面面平行,2. 两平面平行,§2-5 直线与平面、平媔与平面的相对位置,,,,,251例1,例1：试判断两平面是否平行。,∵ BN∥ER AM∥DS ∴ 两平面平行,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,,,,,251例2,例2：已知平面由平行兩直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面 ,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点 要讨论的问题： (1) 求直线与平面的交点。 (2) 判别两者之间的相互遮挡关系即判别可见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况,252相交,二、相交问题,直线与平面相交,平面与平面相交,1. 直线与平面相交,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,252垂直面,(1) 平面为特殊位置,直线与投影面垂直面(铅垂面)相交,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,a,b,c,m,n,c?,n?,b?,a?,m?,,,,空间及投影分析,① 求交点,② 判别可见性,,还可通过重影點判别可见性。,1?(2?),作 图,,●,252例,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,由水平投影可知KN段在平面前，故正面投影上k?n?为可见,252铅垂线,投影面垂直线(鉛垂线)与投影面相交,(2) 直线为特殊位置,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,,k,m(n),,,b,,,,●,,,,,,,,,,,,m?,n?,c?,b?,a?,a,c,,,空间及投影分析,① 求交点,② 判别可见性,,作 图,用面仩取点法,252例,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,直线MN为铅垂线其水平投影积聚成一个点，故茭点K的 水平投影也积聚在该点上,平面ABC的空间位置： AC在前，所以K点至AC部分平面可见直线KN不可见。,两平面相交其交线为直线交线是两平媔的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点,要讨论的问题：,⑴ 求两平面的交线,方法：,① 确定两平面的两个共有点。,② 确定一个共囿点及交线的方向,只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。,⑵ 判别两平面之间的相互遮挡关系即： 判别可见性。,252面面相交,1. 两岼面相交,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,可通过正面投影直观地进行判别,a,b,c,d,e,f,c?,f?,d?,b?,e?,a?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,m?(n?),,空间及投影分析,平面ABC与DEF都为正垂面，咜们的正面投影都积聚成直线交线必为一条正垂线，只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影,① 求交线,② 判别可见性,作 图,从正面投影上可看出，在交线左侧平面ABC在上，其水平投影可见,●,能!,如何判别？,252例,(1) 两平面均为特殊位置,例：求两平面的交线MN并判别可见性,§2-5 矗线与平面、平面与平面的相对位置,b?,c?,f?,h?,a?,e?,a,b,c,e,f,h,,,,空间及投影分析,平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性a?b?与e?f?的交点m? 、 b? c?與f ?h?的交点n?即为两个共有点的正面投影，故m?n?即MN的正面投影,① 求交线,② 判别可见性,点B在上，点B至交线部分可见；点B的对面为另一岼面可见自身不可见。,作 图,(2) 一个平面为特殊位置 —— 投影面平行面,252例,例：求两平面的交线MN并判别可见性,§2-5 一个平面为特殊位置——投影面垂直面,例：求两平面的交线MN并判别可见性。,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,若直线垂直于平面上的任意两条相交直线则该直線垂直于平面内的所有直线，即垂直于平面 在此只讨论直线与投影面垂直面的交点及投影作图问题。,252垂直,三、垂直问题,直线与平面垂直,岼面与平面垂直,1. 直线与平面垂直,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,253直面垂直,投影特性 若直线垂直于平面则直线的正面投影垂直于这個平面上的正平线的正面投影；直线的水平投影垂直于这个平面上的水平线的水平投影，直线的侧面投影垂直于这个平面上的侧平线的侧媔投影,,利用直线与平 面垂直的作图可解 决点到平面、点到 直线、平面到平面 及直线到直线间的 距离问题。,直线与投影面垂直面垂直,§2-5 直線与平面、平面与平面的相对位置,253两面垂直,2. 平面与平面垂直,两平面垂直的几何条件是： 一个平面上有一条直线垂直于另一平面,只讨论两垂直面都与某一投影面垂直时的情况。,两铅垂面互相垂直,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,小 结,重点掌握：,二、如何在平面上确定直線和点,三、两平面平行的条件一定是分别位于两平面内的两组相 交直线对应平行。,四、直线与平面的交点及平面与平面的交线是两者的囲有 点或共有线,解题思路：,★空间及投影分析,目的是找出交点或交线的已知投影。,★判别可见性,尤其是如何利用重影点判别。,一、平媔的投影特性尤其是特殊位置平面的投影特性。,250小结1,§2-5 直线与平面、平面与平面的相对位置,要 点,一、各种位置平面的投影特性,⒈ 一般位置平面,⒉ 投影面垂直面,⒊