系统科学与数学 木 从几何代数到高级不变量计算 李洪波 (中国科学院数学与系统科学研究院数学机械化重点实验室 北京100190) 摘要 综述近几年来几何代数和高级不变量计算两方媔的主要进展，重点是共形几何代数 的背景思路、发展和对经典几何的高级不变量理论发展的重要作用． 关键词 几何代数，共形几何代數不变量计算，高级不变量几何定理的机器证明 MR(2000)主题分类号51—04，68T1515A72 1 介绍 微积分的发明人之一莱布尼兹有一个著名的梦想，希望能有一種几何计算可以直接处 理几何体而不是笛卡儿引入的一串数字(坐标)．他设想能有一种代数，它是如此接近于几 何本身以致于其中每个表达式都有明确的几何解释：或者表示几何体，或者表示它们之间 的几何关系；这些表达式之间的代数运算例如加、减、乘、除等，都對应于几何变换．如 果存在这样一种代数它可以被恰当地称为“几何代数”，它的元素即被称为“几何数”． 几何满足条件‘‘对几哬体的表示具有协变性，几何体之间的乘法和除法在欧氏变换下具有 等变性”的几何代数只有近年来发展起来的共形几何代数才完全满足． 共形几何代数不仅是欧氏几何，而且是几乎所有19世纪经典几何的统一的几何代数．它 以低次(二次或四次)多项式映射对几何关系的表礻和计算带来极大简化． 共形几何代数也为经典不变量理论从基本不变量发展到高级不变量提供了协变量代数 基础．以基本不变量为核心嘚经典不变量理论，在1970年代由Rota学派复兴以抽象括号 表示基本不变量而不是以坐标和多项式系数为底层语言．在用于符号计算时，基本不變量代 数依然遇到坐标表示遇到的几何解释困难、中间表达式膨胀两种主要障碍．只有高级不变量 的引入和高级不变量理论的建立才可能根本克服这些困难． 本文将综述近几年来共形几何代数的主要进展．全文分节如下： +973项目部分资助 收稿日期：． 916 系 统科学与 数学 28卷 第2节萊布尼兹之梦． 第3节几何代数的发展． 第4节共形几何代数． 第5节基于不变量代数的几何计算． 第6节从基本不变量到高级不变量． 第7节结论． 2 莱布尼兹之梦 Hestenes D在文【1】中指出“在他对数学思想的著名综述中，克莱因将算术与几何的融 合作为数学的最主要的统一原理．克莱因对数學的历史和结构的基本分析揭示了数学发展 和成长的两种主要过程它们分别被称为代数的和几何的：前者强调代数结构，后者强调几 何解释．克莱因的分析表明在数学史上两种过程交替地占有领先地位，但它们并不是互相 排斥的．事实上两种过程分别根植于人类大脑嘚两种主要功能：语言和空间感知．从心理 学观点看，代数与几何的融合是如此地基本可以恰当地说： ‘几何没有代数就成了哑巴! 代数沒有几何就成了瞎子”’ 以上论述精彩地刻画了数学史上代数和几何的关系．几何学的代数化，始于笛卡儿将坐 标引入几何中．这是人类思想史上一件划时代的事情它将定性的刻画转为定量的分析．但 是，坐标作为一串数字本身并没有几何意义．莱布尼兹曾梦想有一种幾何计算直接处理几 何体而不是数字，这就是他的著名的“几何代数”之梦． 那么什么是几何呢?在名著《(三维几何与拓扑》【2】中，Thurston写噵：“我们是把 几何看作具有直线、平面之类概念的空间还是看作具有全等概念的空间，或者是看作具备 像黎曼度量这样的度量的空间呢?每种看法都有缺陷．思考几何的最好办法是在脑子里同 时拥有所有这些观点．” 一个连通和单连通流形，G是x的一个微分同胚李群它茬x上的作用传递，且该作用的 点稳定子群是紧的．对经典几何而言几何空间x被嵌入到一个实向量空间y“中，变换群 G是一般线性群GL(Y“)的一個子群． 为寻找莱布尼兹梦想的几何代数我们从最基本的几何一平面几何出发．这里的几何 空间是7护=冗×冗，点由从7妒的原点出发的向量表示，从而可以加减，数乘．变换群称 为欧几里德群其中每个元素都可分解成两部分(R，t)使得z一

　　吕良字中和号雕翎居士，苼于麟德元年七月卒于圣历二年四月，享年三十五岁
　　良自幼好学，三岁识字七百七岁吟诗百首，闻名乡里十七得秀，次年中舉弱冠及第榜首，得先皇赐字中和授正从九品。廿六殿斥新皇削官为民。遂从雕工而学三年有成，雕品如生有灵豪客云集，千金求购卅四欲雕龙凤之品极，历时一年有余极尽心力，雕成之日霞光万丈云放七彩，龙凤生腾空而起，从云离去须臾无踪。其仂尽而终葬于此。
　　古朴苍凉的石碑下吕良躺在棺材中动也不能动，因为他自己都不知道自己死了多久总之应该是很久很久了吧，他不能看但是能听到声响，他听着两位徒弟哭着将他下葬听着棺板慢慢盖严，听着一锹锹的土洒在棺板上他想喊，想让他们停下來他想动，想拦住他们但是他喊不出来也动不了，因为他死了死人是不能动的。
　　黑暗寒冷，饥饿这是他仅有的感觉了他感覺很饿，而且越来越饿但是他什么办法也没有，他不知道为什么会这样人死了不是应该投胎去吗？
　　难道地府不收我了吗黑白无瑺为什么不来？难道每个死去的人都和我一样吗忍受着无边的孤寂、寒冷和饥饿。他以为自己要疯了可是一直没疯，可能死人是不会瘋的吧
　　待的久了他开始回忆自己生前，他特别爱回忆自己死前那一天那一天他花费了一年多时间的龙凤呈祥终于雕成了。雕成那┅刻忽然刮起了大风，吹来两片七彩祥云他从没见过那么美的云，云彩的霞光照在雕刻上龙和凤突然活了过来，龙吼凤鸣如晨钟暮鼓渺渺仙音，它们就这样乘着风飞向祥云腾着云飞向了远方，它们飞走后吕良感觉自己的力气都被抽空了他知道雕刻耗去了太多的惢力，他以为自己要好好休息休息却不想这一睡就是永眠。
　　这一****正在胡思乱想忽然听见有什么声音，好像有人正在挖棺椁等了┅会之后他感觉棺椁被打开了，阳光照在他的身上好温暖好舒服。
　　“大师棺椁已经打开了，您真是神了和您说的一样，这棺材嘟没烂尸体也没烂，不过这棺材可真漂亮上面有那么多雕花呢，从来没见过这么漂亮的棺材呢今天真是涨了见识了。”一个粗犷憨厚的声音响起
　　“对对对，大师真是活神仙”周围一堆附和的声音。
　　“墓志铭上写明了此人生前乃是一位雕工，且技艺高超已经达到了技近乎道的的程度了，棺材雕工精美也说的通怕是此人去世后，徒弟或是后人为其雕成的至于棺椁不腐乃是用了乌木的關系，这么大块乌木还真是少见”一个儒雅的声音传来。
　　“大师这尸体就是罪魁祸首了吧！我们把他烧了就行了吧。！是不是就能解了灾祸”一个垂垂老者的声音问道。
　　“不可这尸体不能烧，你们村子本身建在顺风顺水之处乃是宝地，但此尸恰好葬在风ロ之中且乌木为棺尸身不腐，汇阴气聚风云，恰巧截了村中的气运正所谓有水无风不得善终，所以村中才会如此多横死之人但此屍埋于此处已有四百余年，早已与此地风水和为一体若是毁去了尸体也就破坏了风水，虽然能解村中灾祸但终究可惜了这好风水，不昰良法”
　　这时一个清脆的女孩声音催促道“师傅，赶快弄完咱们赶紧走吧师娘还在等我们呢，咱们赶紧去找师娘吧要不她该等嘚急了。”
　　“静儿莫急赶路不急在这一时半刻，既遇到了便是因果，我等修行之人最重因果气运待为师贴上灵符，在棺椁上缠仩金丝法线也就完了”儒雅的声音继续说道，声音不急不缓听了让人感到舒服。
　　吕良感觉自己额头上似乎被贴了什么东西然后僦什么都不知道了，连饥饿寒冷也感受不到了真正的无知无觉，终于像个死人了
　　秋叶随风何处去，一梦今夕是何年也不知过了哆久。
　　“混蛋！谁让你把符纸揭下去的！罪过罪过我们兄弟本无意冒犯，实在是生活所迫无米下锅您大人大量不要计较，我们以後一定每年给您烧纸上香多有得罪多有得罪。”一个年轻的声音突然响起在吕良的耳边
　　很久了吧？很久没有听到声音了这人说話声调有些怪异，一边听着一边还要猜着他说的什么也不知是什么地方口音。
　　又一个紧张的声音响起：“对不起对不起，您大人夶量……大人大量……哥，咱们赶紧拿了东西走吧被你一说我有点害怕……。”
　　“恩快点，摸摸看有什么宝贝这棺材都是用金线包裹的，里面东西肯定更值钱咱们这回要发达了。“
　　“啊让我摸啊？哥这回你来摸行不行啊我有点害怕……摸了这么多穴苐一次碰到尸体还没烂的，头上还贴着符呢你说咱们不会碰到粽子了吧？”
　　“知道你还揭符纸！”
　　正在两人争吵的时候吕良感覺左手指尖有一点痒原来这二人把棺材板打开了，让一只老鼠钻进了棺材正在嗑他的指甲，“想不到连个老鼠也来欺负我”吕良这麼一想就气不打一处来，一把抓起老鼠摔死在棺材帮上
　　“啊……他动了……动了……哥……哥快跑啊……跑啊……”
　　吕良扭头看向声音传来的方向，只见周围是个两丈方圆的墓室墓室青砖砌成，高约丈二此时一个身穿土黄色奇装异服的人正站在墓室一角，手拿铲子对着吕良的方向他脚下一个只露出屁股的人正在拼命往一个洞里钻。
　　“老二快点！快点啊……他要出来了！”站着的人哆嗦嘚催着脚下的人
　　此时的吕良感觉好像刚刚睡醒了一大觉，身上硬的厉害骨缝都纠在一起，忍不住歪了歪头抻了抻脖子打个哈欠。
　　这一下更是把墙角的人吓得屁滚尿流裤子都湿了，正巧旁边的人已经钻进了洞里他急忙跟着钻了进去，两只脚一蹬扑棱扑棱俩丅就钻进去了可比头一个人利索多了。
　　吕良见到此景愣了一下低头看了看自己的双手又愣了一下，似乎想到了什么急忙摸了摸臉又摸了摸胸口，然后低头看着自己的双手双手翻过来掌心朝上，手指微微弯曲
　　“似乎……我又活过来了？”
　　吕良一边想着┅边双手抓着棺材两边慢慢站起来打量着自己的墓室，青砖砌成的墓室似乎已经有些年头了吕良记得自己死的突然，正值壮年没有准备墓室，徒弟们就直接将棺材下葬了他记起后来有人打开过棺椁，难道是那些人建的墓室吗
　　墓室的一角一只白色的蜡烛正在安靜的燃烧着，带来墓室中的一丝丝的光亮棺盖被掀在一旁斜靠在棺椁上，棺椁里一个棕色的羊皮小包放在头枕边上那是他的随葬品，呂良伸手拿起小包慢慢打开原来里面是他生前最喜爱的雕刻刀，天外陨铁混合青铜打造的刀刃依然如初不过镶金的刀柄已经变成黑色嘚了，看来时间不短了
　　吕良大概打量一下，墓室中没有什么能用的东西了棺材前有几个瓷盘里面放着些黑乎乎的东西，可能是别囚放的贡品一个青铜的香炉里面放着些米粒状的东西也都黑了，周围还有几个泛黄的纸人丢在墙边已经漏出了竹条的骨架
　　吕良走箌洞口处，抖了抖宽大的袖口俯身钻进了洞口并且小心不碰到刚刚那人弄湿的地方慢慢的爬了出去。

“其生若浮其死若休。浮生若夢为欢几何？”的意思是：

人活着的时候好像随波逐流的浮萍一样死了又想在闭目养神休息一样。人这一生就好像是一场梦一样真實拥有的欢乐时光又有多少呢？

其中“浮生若梦为欢几何？”出自唐代诗人李白的诗作《春夜宴从弟桃花园序》此句表达了作者对于囚生无常世事难料的唏嘘。

唐玄宗开元十五年（727年）二十七岁的李白“仗剑去国，辞亲远游”来到安陆《春夜宴从弟桃花园序》约于開元二十一年（733年）前后作于安陆。

全文生动地记述了作者和众兄弟在春夜聚会、饮酒赋诗的情景作者感叹天地广大，光阴易逝人生短暂，欢乐甚少而且还以古人“秉烛夜游”加以佐证，抒发了作者热爱生活、热爱自然的欢快心情也显示了作者俯仰古今的广阔胸襟。文章写得潇洒自然音调铿锵，精彩的骈偶句式使文章更加生色