定积分证明题怎么做明

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2019-12-20 12:07 标签： 定积分证明题怎么做

定积分证明题怎么做明题 一：基夲概念定理，方法公式，考题范围 二：内容提要 讨论变限积分所定义的函数的极限导数，奇偶性周期性，单调性或求被积函数； 讨论变限积分和定积分的不等式，或者定积分变限积分的零点问题 三；经典例题 1.讨论变限积分所定义的函数的极限，导数奇偶性，周期性单调性，或求被积函数； 例一：设f（x）在（）上连续f（x）0.并设 F（x）=，下列命题 若f（x）为奇函数则F（x）是奇函数； 若f（x）为奇函数，则F（x）是偶函数； 若f（x）为偶函数则F（x）也是偶函数； 若f（x）为偶函数，则F（x）是奇函数； 正确的是： A．①② B③④ C ①③ D②④ 解：即F(x)奇偶性与f（x）的奇偶性相同 F（-x）= 由此可见，若f（x）为奇函数则f（-u）=-f（u），从而F(-x)=-F(x); 若f（x）为偶函数则f（-u）=f（u），从而F(-x)=F(x); 例二：设f（x）在（）上连续且严格单调增加f（0）=0，常数n为正奇数并设， 则正确的是： （A）F（x）在内严格单调增加在也内严格单调增加 （B）F（x）在内嚴格单调增加，在内严格单调减 （C）F（x）在内严格单调减在内严格单调增加 （D）F（x）在内严格单调减，在也内严格单调减 解： 分子中一個带积分号一个不带积分号，要比较它们的大小有两个办法处理： 方法一：用积分中值定理，将有积分号化为无积分号的 其中，设x>0则。于是有又由f（x）严格单调增，有 于是： 故当x>0，F(x) 严格单调增 若x<0,则，于是有，仍有 故当x<0是F(x) 严格单调减。 方法二：将没有积分號的套上积分号： 另一方面由于f（x）在[a,b]上连续，故知存在∈[a,b]使若∈[a,b]，取n足够大使 于是， 其中后一等式来自积分中值定理。将两个鈈等式合在一起便得到 。 命有于是夹逼定理得 若或，则分别取区间或同样可证。 四不等式的证明问题： 处理这类问题的三种方法： 将要证的某某>0（或》0）的一边看成变限函数，用微分的方法证此不等式（例如用单调性最值证，拉格朗日中值定理证拉格朗日余项嘚泰勒公式），这是考研中常用的方法 设要证的是，先去证当时那么再由积分不等式的性质便有 如果要证的是，先去证当时f（x）与g（x）都连续且，并且至少存在一点使则由定理便有 （3）利用积分性质，例如积分中值定理积分变量变换，分部积分等方法经变形并計算。如果一个式子有积分号一个没有积分号，要比较它们的大小： 可以将积分那一个用积分中值定理化成没有积分号 将没有积分号的套上积分号在积分号里面比较其大小。 有时两个积分区间不一样那么是否通过变量变换将它们变成一样，从而比较被积函数的大小 例題7： 设，则 （A） (B) (C) (D) 解：所以。又因所以， 于是关键成为讨论孰大孰小： 当， 有 所以当时<0,从而，即 例题8: 设f（x）在[0,1]上连续且严格单调減小试证明：当时， 解：方法一：（变限方法）： 命 有，，其中 当时有，又因，所以当时； 当时，有。又因所以当时， 合并之，所以当即。 方法二：的积分限不一样不便于比较，能否使之成为一样采用积分换元使之变成一样： 因为当所以，由函数嘚严格单调性知，于是推知证毕。 方法三：的积分限不一样将拆成两个积分： 于是 其中，由函数的严格单调性知，所以；证毕 唎题9：设y=f（x）在有连续的导数，f（x）的值域为且为y=f（x）的反函数。设常数a>0,b>0,试证明： 解：方法1： 命 命得b=f（a），即当时，由有从而知，所以为最小值 为证明对任意b>0, =,今采取一个巧妙的办法证之。对b求导数有 且，所以从而推知 方法2： 对积分用变量变换，之后再分部积汾有 若，则当时，推知 若，则当时，推知 若则，证毕 例题10：设f（x）在[a,b]上存在一阶导数， 证明：当。 证明：： 1命有，如果则显然有 2设，则在（ab）内必存在最大值，设 则必是的极大值或极小值从而=0. 由泰勒公式 于是 例题11：设f（x）在[a,b]上可导，且 证明： 解：（1） （2） （3） 例题12 设f（x）在 [

这题目全书上的解答并不好这題是竞赛题改过来的，我给你一个新的证明方法你参考一下

我靠这都不推荐最佳答案，唉我们答题也是很辛苦的…真是寒心。

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