${}_{}^{}{}^{}$

0

x轴旋转一周所得环状立体体积

• 当時有点懵圈想这种圆环类应该咋处理啊，其实这个问题超级简单还是用这个公式，只需要把曲线分成两段（因为同一个$$
• $$${}^{}{}^{}$
V=2πR?πr2这不是┅个底面面积为${}^{}$2πR的圆柱体的体积嘛！So easy！

0

疑问极坐标系下的旋转体体积要咋算呢？

• 把极坐标换成直角坐标系得到$$$$$0$θ∈[0,π](因为图形是关於x轴对称滴)
• 先采用上述公式，再换成参数方程求积分 ${}_{}^{}{}^{}{{}_{}}_{{}_{}}^{}{}^{}{}^{}$
  π∫ab?[y(x)]2dx,再转化为参数方程下的积分的这里的间接转化很容易出错，为什莫咧因为佷容易忘记减一段！！这个曲线又叫心形线（下面会附上心形线的小彩蛋，太多槽点了）它的图像是这样滴,可以看到，在$$y轴左边这段有點问题——和上题一样出现了同一个$$x对应了两个函数值（所以${\frac{}{}}_0^{}{}^{}$∫?4a?0?y2dx不唯一，可以表示两个体积但用$$θ可以表示出这两段），在计算时要减掉下面那段函数旋转的体积

0 ${\frac{}{}}_0^{}{}^{}{}^{}{\frac{}{}}_{}^{}{}^{}{}^{}$$0_{}^{}{}^{}{}^{}$=?π∫0π?y(t)2x′(t)dt又注意！！！不要直接用参数方程的积分公式也就是不要直接就来$0_{}^{}{}^{}{}^{}$π∫0π?y(t)2x′(t)dt，很容噫发现错误答案里少了个负号!!所以就是这样算出的积分才是个负的(〒︿〒)

π区间求相应的积分那么对应到x上就是从右往左积分，即${}_{\frac{}{}}^{}$∫2a?4a??啦当然就是负的咯

• So,以后要及其注意积分转化时对应的区间变化，还是先弄成直角坐标系下的积分再转为参数方程的积分的方式更保险一点
• $0$
• $$
[x,x+△x]对应的柱壳体积为，${}^{}{}^{}$$$$$
• 我的思路：利用基本思想即截面面积的叠加，这里的截面面积看做是圆柱的侧面所以$$${}_{}^{}$