前方高能非战斗人员速速撤离。我们如果要求出一个数值解那么还是简单的，使用Taylor公式在靠近1、且有解析解的地方（比如）展开线性化以后可以求出个近似解，这昰没有计算器的做法

有计算器的时候我们可以这样：

有计算机的时代我们可以这样：

之前看过吴宝俊老师的文章里媔有一段分析非常有操作感，特意授权转到社区上

（1）作为一名理科生，数学是你大学四年里最重要的科目打好基础，你未来专业课程学习难度下降一半；打不好数学基础你未来专业课学习难度增加一倍。

（2）优秀的教材推荐：国内的教材有北大张筑生老师的《数學分析新讲》；引进的教材有，菲赫金哥尔茨的《微积分学教程》国科大现在用的卓里奇的数学分析也是好书。

（3）尽管数学分析这门課如此重要我认为你一定要认真的去学习，但对于大学一年级第一个学期这个特殊的时期我不建议你去仔细研读上面提到的两本书，洇为你的普通物理很可能要挂科

为什么这么说？因为普物中的力学学习前提是学生学习过微积分，掌握了这个基本的数学工具这个湔提如果你不满足，那么这门课的习题你压根就不会算

理论上一个很好的方案是学生先去学至少一个学期的微积分课程，之后在第二个學期再开设普通物理课程这样学生学起来会更容易一些。但是正如我上面所讲到的，普通物理课程只是一个过渡性的课程它并不是哆么核心多么重要的课程，而现在物理学的大厦又盖得太高有太多的知识需要你去学习，时间远不够用所以现在有些学校（包括国内囷国外的）为让自己的学生赶得上世界前沿的潮流，拥有似魔鬼的步伐都对普物课程在时间上进行一定程度的压缩，在第一个学期就会開设普物课程这就对学生提出更高的要求：你要么在中学时代就学过微积分，要么就在这个学期有限的时间内迅速的去掌握微积分这个笁具——否则你就惨了

国内的大学，形势更严峻一些因为国内本科生9月份报到入学以后第一件事是军训，紧接着国庆节放假再之后仩4-5周的课就期中考试。在这么短的时间里掌握普物所需的高等数学有什么用知识难度很大。而如果你又是按部就班的跟着数学老师学习數学分析课程那么在这么短的时间里你所学的数学知识是肯定不足以应付普通物理的考试的。——这样的话你就要挂科了

在我看来，洳果学校把普物课程排在在大学一年级第一个学期开课那么期中考试这门课有将近四分之一的人不及格，是再正常不过的事如果读我攵章的同学刚巧期中考试挂了，那么不必惊慌因为这只是期中考试，最终的成绩要和期末考试加权平均而且还要算上作业成绩和平时簽到的成绩，只要按我的方法去努力你还是有机会挽回的。

（4）普物怎么才能不挂科推荐方案。

按前面分析学习普物之前要求你掌握微积分，没学会微积分就没法做普物的题你的考试就会挂科，所以你要做的就是尽快掌握微积分

跟着数学分析的课程进度去学习，節奏太慢不足以满足物理课程的需要，你只能自己加快节奏我建议你暂时放下手中的经典教材，这些数学分析教材尽管经典但却只適合细细研读的节奏，并不能让你在最短时间内掌握微积分这个数学工具

在这里推荐你看另外一本书：同济大学数学系出版的《高等数學有什么用》（第六版），共有上下两册并有相应的习题全解指南。

这本书谈不上多么优秀多么经典但却非常适合大一新生来学习，洇为这本书比起数学分析教材而言难度较低内容较少，它能够在最短的时间内让你掌握普物课程所需要的数学基础我认为用两个月的時间就足够你把上下两册通读一遍，并且把课后习题都做完而如果你只挑对眼下的学习有用的章节来学习，一个月也就足够了

等你熟悉了极限、求导的概念，能够熟练的对初等函数进行微分积分运算，会求解基本的微分方程并且熟悉向量代数的概念，那么普物对你來说并不存在多大的难度只要适当做一些习题，考试是没问题的

（5）其实，大学物理课程最大的难点在于数学课程进度与物理课程进喥的衔接这一块如果衔接的不好，学生就会学得不舒服对这个问题，我个人倾向于第二个学期再开设普物课程的培养模式因为这样莋可以给学生足够的时间去学习数学。有些师范类大学采用的就是这样的培养模式比如首都师范大学物理系的培养方案：

但是，这个培養方案是一个正统物理系的培养方案它的课程设置也许无法满足国科大前一年半不分专业的计划。在国科大课程压缩得很紧，于是物悝课程和数学课程在衔接上必然出现问题：

大一上学期力学课要求掌握基本的微积分和向量代数知识但是你还没学；大一下热学课要求能熟练运用多元函数的全微分，偏导数但八成你数学课的进度还没讲到那里。电磁学除微积分向量代数外，还要求你专门学习散度、旋度的相关知识但即便用同济这本书，也要在下册后半部分才会出现其它数学分析教材出现得更晚。

电动力学课要求提前学过数学物悝方法这门课现在国科大后几个学期的课表还没出来，但如果这部分课程也给压缩了那学生的压力就更大。

解决这问题的办法也许只囿一个就是学生自己尽早尽快的掌握数学工具。你必须得自己勤快点在数学这门课程上要有超前进度的学习。否则你就只能自求多福叻

（6）回到数学的学习，我们所说的打好数学基础其实是指的两件事：A.学习数学的思想，掌握数学的概念；B.熟练运用数学的工具

对湔者，你需要做的就是找一本经典的数学分析教材跟着老师一起细细研读，多思考多提问，把不懂的弄明白了这没什么好说的。

对後者你所需要做的就是大量的练习。过去苏联学派流行一种学习方法就是把《吉米多维奇数学分析习题集》的题都做一遍。吉米多维渏习题集是非常经典的一套数学分析习题集基本涵盖了你在大学时代能用到的所有数学分析题型。做这个习题集最直接的好处在于考試时你很可能在卷子上遇到这本习题集上的原题。不是因为出题人懒而是因为这个习题集上面的题目太经典。

现在做这本习题集并不像過去那么流行可能是因为中国的学生从中学时代就开始做太多习题的练习，把大量精力用于初等数学题目的反复训练内心深处太过疲勞，产生抵触情绪吧不过在我看来做这本习题集，对于巩固高等数学有什么用知识而言依旧是很有效果的。

注意：这套习题集一共有㈣千多道题但每种题型都有一部分题目是重复的，所以不用强迫自己都做每种类型做一些就足够了。

做个总结：为了满足物理课程的需要你得在最短时间内熟悉微积分这个数学工具，为此我推荐你使用同济大学的《》把这本书过一遍。而为了学好数学分析你还需偠跟着老师研读一本经典的教材，同时佐以适量的习题练习基本上，整个大学一年级里最重要的课程就是数学你必须花大部分精力把咜学好。

大一除数学分析外还有线性代数课程，由于在物理课程中主要是量子力学使用线性代数的知识，而量子力学要在第五或第六學期才会学习所以在大学第一个学期，物理课程在线性代数方面的要求并不紧迫你可以跟着课程进度慢慢学。

　　即便是把这个判定法中的闭區间换成其他各种区间（甚至包括无穷区间）这个结果最终也是成立的。与此同时也要注意下面的一些问题：有些函数在它的定义区间仩不是单调的但是当我们用导数等于零的点来划分函数的定义区间以后，就可以使函数在各个部分区间上单调这个结论对于在定义区間上具有连续导数的函数都是成立的。还可以得出如果函数在某些点处不可导，则划分函数的定义区间的分点还应包括这些导数不存在嘚点

　　综合以上两种情形，我们可以得出下面的结论：

　　如果函数在定义区间上连续除去有限个导数不存在的点外导函数存在且連续，那么只要用方程f`（x）=0的根及导函数不存在的点来划分函数f（x）的定义区间就能保证导函数f`（x）在各个部分区间内保持固定符号，洇而函数f（x）在每个部分区间上也都是单调的

　　前面我们介绍了导数在函数的单调性问题上的运用，下面我们来探讨曲线的凹凸性及其拐点的确定函数的单调性在图形的反映上，就是曲线的上升或者下降但是曲线在上升或下降的过程中，还要考虑弯曲方向这一问题曲线在上升或下降的过程中有可能是凹的也有可能是凸的曲线弧，根据曲线弧凹凸性的不同我们来研究下曲线的凹凸性及其拐点的判萣。从几何图形上直观地发现在有的曲线弧上，如果任取两点然后联接这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方，而有些曲线弧恰恰与之相反曲线的这种性质就是曲线的凹凸性。故曲线的凹凸性可以用联接曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应的点（即具有楿同横坐标的点）的位置关系来描述下面是曲线凹凸性的定义：

　　假设f（x）在区间I上连续，如果对I上任意两点恒有f（ ）< ，那么称f（x）在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；反之那么称f（x）在I上的图形是（向下）凸的（或凸弧）。

　　如果函数f（x）在I内具有二阶导數那么可以利用二阶导数的符号来判别曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理当I不是闭区间时，定理也一样

　　定理2，假设函数y=f（x）在[ab]上连续，在（ab）内具有一阶和二阶导数，那么：

　　（1）若在（ab）内二阶导函数恒大于零，则函数y=f（x）在[ab]上的圖形是凹的。

　　（2）若在（ab）内二阶导函数恒小于零，则函数y=f（x）在[ab]上的图形是凸的。

　　一般情况下设y=（x）在区间I上连续，区間I内的一点x0如果曲线y=f（x）在经过点〔x0，f（x0）〕时曲线的凹凸性改变了那么就称点〔x0，f（x0）〕为该曲线的拐点

　　寻找曲线拐点的方法如下：从以上的定理可知，由y=f（x）的二阶导数的符号可以判定曲线的凹凸性因此，如果二阶导函数的左右两侧临近异号那么该点就昰曲线的一个拐点。故要寻找一个曲线的拐点只要找出二阶导函数的符号发生变化的分界点即可。如果一个函数的二阶导函数在区间I存茬那么在这样的分界点处必然有二阶导函数为零的横坐标值；除此以外，二阶导函数不存在的点也有可能是二阶导函数符号发生变化嘚分界点。综合以上的分析和探讨在判定区间I上的连续曲线的拐点时，我们可以得出这样的结论：

　　求出二阶导函数并解出二阶导函數为零的横坐标值求出在区间I内二阶导函数不存在的点，对于求出的横坐标值或二阶导函数不存在的点检查二阶导函数在这些横坐标徝的左右两侧的值是否异号。如果异号则为曲线的拐点；反之，则不是

　　在高等数学有什么用学习中，导数的求解方法以及与导数楿关的概念都是非常深奥、难以理解的因此需要重点学习。而导数这一章节作为整个课程的核心不管在平常测试还是其他任何

中都处於整本教材的重要地位，并且这一章节是后续课程内容比如微分问题、积分问题、多元函数的微积分等章节的必备基础知识故学好导数這一章节是学好高等数学有什么用这门课程的基础。

　　在以往的学习和教学经历中我遇到多数的学生学习起高等数学有什么用来简直難熬甚至非常吃力，我认为找不到学习高等数学有什么用这门课程的方法和技巧是学生们学习吃力费事的关键在这里，结合教学中的好

还有不好的经验并引以为戒，以及大学生学习高等数学有什么用时常常出现的问题详细地讲述了导数的求解问题，期望大家能够取得良好的学习成效

　　上面的内容进一步说明了，在求解导数的问题时尤其要注意使用洛必达法则以找到方便快速的解题方法如此便可鉯化繁为简，把难的问题简单化提高解决问题的效率。再就是导数真的是对后续章节的学习非常重要因此我们不止要深入地了解导数嘚定义还要吃透定义，彻底领会导数的含义学习导数要精通多种常用的求解导数的方法和了解不太常见的求解方法，以便在闲暇时研究探讨更要创新性地把导数运用到实际生活当中，去解决生活中的问题