洛朗泰勒级数展开的展开点必须不解析吗

来源：蜘蛛抓取(WebSpider) 时间：2020-05-12 07:38 标签： 泰勒级数展开

此即为在z=1处展开

在z=3处化，也同悝：

把1/（z-1）展成泰勒级数展开再把每一项乘上1/（z-3）

求1/(1-z)*z^3 在下列区域内的洛朗泰勒级数展开 希望各位老板能在纸上作答 感激不尽 50分

将复变函數f(z)=1/(z-3)(z-4)以奇点为中心展开为泰勒泰勒级数展开或洛朗泰勒级数展开.

复变函数里函数如果在某点的任一邻域不解析，那么不能泰勒展开；但如果在此点某的圆环域解析那么可以洛朗展开。因此泰勒泰勒级数展开是特殊的洛朗泰勒级數展开。

泰勒泰勒级数展开和洛朗泰勒级数展开有以下差异：

1.洛朗泰勒级数展开有负幂次项而泰勒泰勒级数展开只有正幂次项；

2.洛朗泰勒级数展开的正则部分(非负次幂项）在|z|≤R时有效（同泰勒泰勒级数展开），而主要部分（负次幂项）在|z|≥r时有效的（可视为无穷远点附近嘚关于1/z的泰勒泰勒级数展开）公共有效定义域就是环状区域r≤|z|≤R，因此洛朗泰勒级数展开定义域就是环状区域r≤|z|≤R而且洛朗泰勒级数展开是两个泰勒泰勒级数展开的和。

一个函数若在某点任意次可导那么这个函数就可以在此点泰勒展开。泰勒泰勒级数展开要求复变函數在一个收敛圆盘内解析因此需要函数没有奇点。但是有些函数存在奇点做不到在奇点处的一个收敛圆盘内解析，那么就不能在此点處展开为泰勒泰勒级数展开这时候怎么办呢？

在这种情况下如果函数满足在去除奇点的环域上解析，1843年皮埃尔·阿方斯·洛朗研究得出，此时函数可在环域上可展开为洛朗泰勒级数展开。复变函数 在点 的洛朗泰勒级数展开长这样：

其中 是常数洛朗泰勒级数展开中，正冪部分称为解析部分负幂部分称为主要部分。在挖去孤立奇点 的环形域上,函数的洛朗泰勒级数展开有以下三种形式：

1）没有负幂次项則称该孤立奇点为可去奇点。

2）只有有限项负幂次项则称该孤立奇点为极点。

3）有无穷多项负幂次项则称该孤立奇点为本性奇点。

推廣我们可以定义黎曼面上的函数f在点p关于某坐标卡的洛朗泰勒级数展开。同复变函数类似黎曼面上的洛朗泰勒级数展开也有以上三种形式。(P25)

  • 引入泰勒泰勒级数展开有哪些用处呢对的，可用泰勒泰勒级数展开求函数近似值
  • 引入洛朗泰勒级数展开有哪些用处呢？有人说复变函数的洛朗展开和对其孤立奇点的分类，为复变函数的留数定理做了铺垫暂不知。
  • 问题1：实变函数的洛朗展开等同于泰勒展开吗

答：不等同。实函数是复函数的一种它在某点可以洛朗展开的一个充分条件是在此点可泰勒展开。比如sinxe^x可在R上泰勒展开，当然就可洛朗展开啦但如1/x可在原点洛朗展开（有一个幂次为-1的项），但不可泰勒展开；e＾(1/x)不可在|x|>0泰勒展开但可以洛朗展开；1/((z-1)(z-2))可在z=1或2处洛朗展开(即可在z=1或2的某去心邻域(是一环形域)泰勒展开)，但不可泰勒展开

另外，我们以复变函数在点z0为例它可在点z0洛朗展开的一个充分条件：在z0嘚某环形域解析；它可在点z0泰勒展开的一个充分条件：在z0的某邻域解析。

  • 问题2：对于实变函数它在点z0任意次可导=在点z0的某环形域内可导嗎？这个问题就是说可洛朗展开的那个充分条件和可泰勒展开的那个充分条件等价吗？

答：复变函数中在点z0解析（即在该点的某邻域內可导）可推出在点z0可导；但是，在点z0可导推不出在点z0任意次可导 因此，等式左右两边无直接联系

但有一问题：复变函数点z0任意次可導能推出在点z0的某环形域内可导吗？

  • 问题3：什么情况下复变函数在某点的可导等同于任意次可导？

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